Le applicazioni della proporzionalità Le grandezze direttamente proporzionali DEFINIZIONE. Due grandezze si dicono proporzionali se il rapporto che le lega può essere espresso mediante una proporzione numerica. ESEMPIO Consideriamo il numero di riviste vendute da un’edicola. Se ogni rivista costa € 3 si ha che il ricavo è: 1 copia € 3 2 copie € 6 5 copie € 15 7 copie € 21 Poiché quando la prima grandezza raddoppia, raddoppia anche la seconda, quando la prima triplica, triplica anche la seconda e così via, possiamo dire che le grandezze hanno un rapporto costante. DEFINIZIONE. Due grandezze variabili x e y si dicono direttamente proporzionali se il rapporto tra x e y è costante. Le applicazioni della proporzionalità

Le applicazioni della proporzionalità Le grandezze direttamente proporzionali In generale se indichiamo con k il coefficiente del rapporto, possiamo scrivere y x = k Il coefficiente k si chiama coefficiente di proporzionalità diretta e può assumere qualsiasi valore diverso da zero. Per rappresentare due grandezze direttamente proporzionali possiamo utilizzare un diagramma cartesiano o una rappresentazione tabulare. Riferendoci all’esempio considerato otteniamo: 1 2 5 7 3 6 15 21 x y REGOLA. Il grafico della proporzionalità diretta è una semiretta passante per l’origine. Le applicazioni della proporzionalità

Le applicazioni della proporzionalità Le grandezze inversamente proporzionali ESEMPIO Consideriamo 50 ragazzi in un campeggio estivo con una scorta d’acqua di 400 litri. Se ogni ragazzo beve 0,5 litri a testa durata scorta 16 giorni 2 litri a testa durata scorta 4 giorni 1 litro a testa durata scorta 8 giorni Se la prima grandezza (x) raddoppia, la seconda (y) dimezza e viceversa. Se la prima triplica, la seconda diventa 1/3 e così via. In questo caso le due grandezze hanno il prodotto costante cioè: DEFINIZIONE. Due grandezze variabili x e y si dicono inversamente proporzionali se il prodotto fra x e y è costante. Le applicazioni della proporzionalità

Le applicazioni della proporzionalità Le grandezze inversamente proporzionali In generale se indichiamo con k il coefficiente del prodotto, possiamo scrivere x  y = k Il coefficiente k si chiama coefficiente di proporzionalità inversa e può assumere qualsiasi valore diverso da zero. Per rappresentare due grandezze inversamente proporzionali possiamo utilizzare un diagramma cartesiano o una rappresentazione tabulare. Riferendoci all’esempio considerato otteniamo: 0,5 litri 1 litro 2 litri 8 litri 16 gg 8 gg 4 gg 1 gg x y REGOLA. Il grafico della proporzionalità inversa è un ramo di iperbole equilatera. Le applicazioni della proporzionalità

Le applicazioni della proporzionalità I problemi del tre semplice diretto ESEMPIO Stefano ha speso 8 € per l’acquisto di 10 quaderni. Se avesse acquistato 14 quaderni quanto avrebbe speso? Le grandezze in esame sono direttamente proporzionali in quanto raddoppiando, triplicando ecc… il numero dei quaderni, raddoppia, triplica ecc… il loro costo. Poiché quando due grandezze sono direttamente proporzionali il rapporto tra valori corrispondenti è costante, avremo: che si risolve con il calcolo Continua Le applicazioni della proporzionalità

Le applicazioni della proporzionalità I problemi del tre semplice diretto Osserviamo che per costruire la proporzione risolvente si può seguire il seguente schema: Numero di quaderni 10 14 Costo in Euro 8 x Seguendo il verso delle frecce è possibile scrivere la proporzione: che è equivalente a quella del problema (10 : 8 = 14 : x) perché si ottengono una dall’altra applicando la proprietà del permutare i medi e poi dell’invertire. REGOLA. Per risolvere un problema del tre semplice diretto: si traccia lo schema dei dati; si disegnano due frecce aventi lo stesso verso; si costruisce la proporzione risolutiva seguendo il verso delle frecce. Le applicazioni della proporzionalità

Le applicazioni della proporzionalità I problemi del tre semplice inverso ESEMPIO Per coprire il tetto di una casa servono 2000 tegole di 800 cm2 ciascuna. Se usassimo tegole da 500 cm2 ciascuna, quante ne occorrerebbero? Le grandezze in esame sono inversamente proporzionali in quanto raddoppiando la superficie di ciascuna tegola, si dimezza il numero delle tegole. Poiché quando due grandezze sono inversamente proporzionali il prodotto tra valori corrispondenti è costante, avremo: cioè la proporzione che si risolve con il calcolo Continua Le applicazioni della proporzionalità

Superficie di una tegola I problemi del tre semplice inverso Osserviamo che per costruire la proporzione risolvente si può seguire il seguente schema: Superficie di una tegola 800 cm2 500 cm2 Numero di tegole 2000 x Seguendo il verso delle frecce è possibile scrivere la proporzione: che è equivalente a quella del problema. REGOLA. Per risolvere un problema del tre semplice inverso: si traccia lo schema dei dati; si disegnano due frecce aventi verso opposto; si costruisce la proporzione risolutiva seguendo il verso delle frecce. Le applicazioni della proporzionalità

Le applicazioni della proporzionalità I problemi di ripartizione semplice diretta ESEMPIO Tre fratelli devono dividersi un’eredità di € 150 000 in parti proporzionali alle loro età. Quanto spetterà a ciascuno sapendo che hanno rispettivamente 36, 32 e 28 anni? Indichiamo con x, y, z le quote che spettano a ciascun fratello. Poiché devono essere direttamente proporzionali ai numeri 36, 32 e 28, possiamo scrivere la seguente serie di rapporti Applichiamo la proprietà del comporre relativa ad una serie di rapporti Continua Le applicazioni della proporzionalità

Le applicazioni della proporzionalità I problemi di ripartizione semplice diretta Poiché x + y + z = 150 000 e 36 + 32 + 28 = 96: da cui 15000 : 96 = y : 32 x = 15000  36 : 96 = 56250 (€) da cui (€) 15000 : 96 = y : 32 y = 15000  32 : 96 = 50000 da cui (€) 15000 : 96 = y : 32 z = 15000  28 : 96 = 43750 Le applicazioni della proporzionalità

Le applicazioni della proporzionalità I problemi di ripartizione semplice inversa ESEMPIO Tre comuni investono € 1 312 200 per costruire un ponte. La somma va divisa in parti inversamente proporzionali alle distanze dei comuni dal ponte. Quale sarà la spesa sostenuta da ogni comune sapendo che distano rispettivamente 5 km, 6 km e 12 km? Indichiamo con x, y, z le quote di denaro che devono pagare i tre comuni. Tali quote sono inversamente proporzionali a 5, 6 e 12, di conseguenza direttamente proporzionali agli inversi di questi numeri Applichiamo la proprietà del comporre Continua Le applicazioni della proporzionalità

Le applicazioni della proporzionalità I problemi di ripartizione semplice inversa Poiché x + y + z = 1 312 200 e da cui (€) da cui (€) da cui (€) Le applicazioni della proporzionalità

Le applicazioni della proporzionalità Le percentuali DEFINIZIONE. La percentuale è un rapporto che ha come conseguente 100. Per risolvere un problema sulle percentuali si deve impostare e risolvere la proporzione Totale Parte percentuale Tasso percentuale Le applicazioni della proporzionalità

Le applicazioni della proporzionalità Le percentuali ESEMPIO Nel corso di un’intervista presso una scuola è risultato che su 300 studenti 120 praticano sport. Possiamo esprimere lo stesso rapporto in relazione a 100 mediante l’uguaglianza che equivale alla proporzione 120 : 300 = x : 100 Risolvendola otteniamo 120  100 : 300 = 40 Possiamo dire che il 40% degli studenti pratica uno sport. Le applicazioni della proporzionalità