Le trasformazioni isometriche Congruenza diretta e inversa PROPRIETÀ. La congruenza tra due figure piane mantiene inalterata la lunghezza dei segmenti e l’ampiezza degli angoli; ciò che cambia è la posizione delle figure nel piano. DEFINIZIONE. Si chiamano movimenti rigidi quelle trasformazioni geometriche che mantengono inalterate forma ed estensione. Possiamo distinguerli in: Movimenti rigidi diretti: sono quelli che si compiono nel piano in cui si trovano le figure da sovrapporre. In questo caso tali figure sono direttamente congruenti. A B Movimenti rigidi inversi: sono quelli che si compiono uscendo dal piano in cui si trovano le figure da sovrapporre. In questo caso tali figure sono inversamente congruenti. Le trasformazioni isometriche

Le trasformazioni isometriche La traslazione Consideriamo il triangolo rettangolo ABC e spostiamolo nel piano in modo tale che i segmenti che uniscono A con A’, B con B’ e C con C’ siano paralleli tra loro e tali da avere: la stessa lunghezza, che prende il nome di modulo; la stessa direzione, quella della retta a cui appartengono; lo stesso verso di percorrenza, in questo caso da sinistra verso destra, come indicato dalla freccia. DEFINIZIONE. La traslazione è un movimento isometrico diretto del piano determinato da un vettore che fissa modulo, direzione e verso di spostamento. PROPRIETÀ. La traslazione è una trasformazione geometrica che conserva la misura delle lunghezze e l’ampiezza degli angoli; due figure ottenute mediante una traslazione sono direttamente congruenti. Le trasformazioni isometriche

Le trasformazioni isometriche La rotazione La rotazione è un movimento rigido che permette di ruotare una figura attorno a un punto, detto centro di rotazione, di un angolo con ampiezza assegnata. La rotazione può essere oraria o antioraria. DEFINIZIONE. La rotazione è un movimento isometrico diretto del piano determinato da un centro di rotazione e da un angolo orientato che definisce l’ampiezza e il verso del movimento nel piano. PROPRIETÀ. La rotazione è una trasformazione geometrica che conserva la misura delle lunghezze e l’ampiezza degli angoli; due figure ottenute mediante una rotazione sono direttamente congruenti. Le trasformazioni isometriche

Le trasformazioni isometriche La simmetria assiale DEFINIZIONE. La simmetria assiale di asse a è un movimento isometrico del piano ed è tale da associare ad ogni punto del piano un punto simmetrico rispetto alla retta a. PROPRIETÀ. La simmetria assiale è una trasformazione geometrica che conserva la misura delle lunghezze e l’ampiezza degli angoli; due figure ottenute tramite una simmetria assiale sono inversamente congruenti. DEFINIZIONE. Tutti i punti della figura che appartengono contemporaneamente anche all’asse si chiamano punti uniti. PROPRIETÀ. Una figura possiede un asse di simmetria se esiste una retta tale che è possibile associare a ciascun punto della figura un altro punto anch’esso appartenente alla figura. Le trasformazioni isometriche

Le trasformazioni isometriche La simmetria centrale DEFINIZIONE. La simmetria centrale di centro O è un movimento isometrico diretto del piano ed è tale da associare ad ogni punto del piano un punto simmetrico rispetto al centro O. PROPRIETÀ. Due punti qualunque A e A’ si corrispondono in una simmetria centrale di centro O se O è il punto medio del segmento AA’. PROPRIETÀ. La simmetria centrale è una trasformazione geometrica che conserva le misure delle lunghezze e l’ampiezza degli angoli; due figure ottenute tramite una simmetria centrale sono direttamente congruenti. PROPRIETÀ. Una figura possiede un centro di simmetria se esiste un punto tale che è possibile associare a ciascun punto della figura un altro punto anch’esso appartenente alla figura. Le trasformazioni isometriche

Le trasformazioni isometriche La simmetria e i poligoni Bisettrice di un angolo La bisettrice dell’angolo è l’asse di simmetria dell’angolo. Tutti i punti della bisettrice r e il vertice V sono punti uniti. Triangolo isoscele In un triangolo isoscele la bisettrice, l’altezza, l’asse e la mediana, rispetto alla base, coincidono nello stesso segmento. La retta r che contiene tale segmento rappresenta l’asse di simmetria del triangolo. Tutti i punti notevoli del triangolo e gli altri punti del segmento CH sono punti uniti. Le trasformazioni isometriche

Le trasformazioni isometriche La simmetria e i poligoni Triangolo equilatero In un triangolo equilatero la bisettrice, l’altezza, la mediana e l’asse di ciascun lato coincidono nello stesso segmento. Le rette r1, r2, r3, che contengono tali segmenti sono tre assi di simmetria del triangolo equilatero. Parallelogrammo Il punto O d’incontro delle due diagonali è il centro di simmetria del parallelogrammo. In generale il parallelogrammo non ha assi di simmetria. Le trasformazioni isometriche

Le trasformazioni isometriche La simmetria e i poligoni Rettangolo Le due rette r1 e r2, perpendicolari nei punti medi della base e dell’altezza, sono assi di simmetria. Il punto O, intersezione delle rette r1 e r2, rappresenta il centro di simmetria del rettangolo. Quadrato Le quattro rette r1, r2, perpendicolari nei punti medi dei lati, e r3 e r4, contenenti le diagonali BD e AC, sono gli assi di simmetria del quadrato. Il punto O, comune alle quattro rette, è il centro di simmetria del quadrato. Le trasformazioni isometriche

Le trasformazioni isometriche La simmetria e i poligoni Rombo Le due rette r1 e r2 contenenti le diagonali sono assi di simmetria del rombo. I punti del segmento AC sono punti uniti dell’asse r2, i punti dell’asse BD sono punti uniti dell’asse r1. Il punto O, intersezione delle due diagonali, è il centro di simmetria del rombo. Trapezio isoscele La retta r perpendicolare alle due basi e passante per il loro punto medio è l’asse di simmetria del trapezio. Le trasformazioni isometriche

Le trasformazioni isometriche La simmetria e i poligoni Poligoni regolari Le sei rette della figura a lato rappresentano altrettanti assi di simmetria. In generale, un poligono regolare ha tanti assi di simmetria quanti sono i suoi lati. Tutti i poligoni con un numero pari di lati hanno anche un centro di simmetria; quelli con un numero dispari di lati non possiedono centro di simmetria. Circonferenza e cerchio Qualunque retta passante per il centro della circonferenza rappresenta un asse di simmetria. La circonferenza possiede quindi infiniti assi di simmetria. Il centro O della circonferenza è il centro di simmetria ed è punto unito di tutti questi assi. Le trasformazioni isometriche