Centralità e centralizzazione XIII Modulo 24 maggio 2016 Fiorenza Deriu Dipartimento di Scienze Statistiche

Centralità locale e globale Si ha quando un punto ha un gran numero di connessioni con gli altri punti del suo ambiente circostante – ampio vicinato di contatti diretti Si ha quando un punto ha una posizione strategica all’interno della rete – nella struttura complessiva della rete Riguarda la preminenza relativa di un punto focale nel proprio vicinato Preminenza di un punto nell’intera rete Centralità e centralizzazione

La centralizzazione Centralità Centralizzazione Concetto diverso ma spesso confuso con quello di centralità Centralità Centralizzazione Si riferisce a un punto del grafo Indica particolari caratteristiche, proprietà particolari della struttura dell’intero grafo Centro strutturale del grafo è il punto o l’insieme dei punti intorno a cui il grafo centralizzato è organizzato Centralità e centralizzazione

La centralità locale Concetto di centralità si lega al concetto sociometrico di «stella» Per questo motivo il modo più semplice per calcolarla è far riferimento si gradi dei vari punti di un grafo Un punto è centrale se ha un grado elevato  quindi è ben collegato, è al centro del suo vicinato Nel caso di grafi orientati, avremo una misura di centralità locale in entrata e una misura di centralità in uscita  distingueremo tra «centralità interna» e una «centralità esterna» Centralità e centralizzazione

La misurazione della centralità locale È possibile estendere la misurazione della centralità locale di un punto anche alle sue connessioni indirette – quelle cioè di distanza superiore a 1 (a più passi) In genere in tali casi il vicinato può essere allargato alle connessioni di distanza 2 Talora possono essere fissate soglie più elevate MA occorre fare attenzione! In grafi di modesta densità la maggior parte dei punti tende a essere collegata da connessioni indirette. È improbabile che si possano fare confronti utili tra punteggi di centralità locale a distanza 4 se la maggior parte dei punti è collegata a questa distanza con quasi tutti gli altri punti – più ricche di informazioni le connessioni a distanza 1 e 2 Centralità e centralizzazione

Quanti punti centrali possono esserci in una rete? Può esserci più di un punto centrale in una rete A, B e C sono centri locali della rete – grado 5 – Tuttavia anche se A avesse un rado più alto di B e C non sarebbe il centro della rete  la sua centralità è essenzialmente locale  il grado dunque ci informa SOLO su quanto bene i punti siano collegati con i loro ambiti locali Centralità e centralizzazione

I confronti I confronti dei punteggi di centralità hanno senso solo tra membri di una stessa rete o tra reti delle stesse dimensioni Meglio utilizzare la misura relativa di centralità locale di Freeman (1979) C= grado/(n-1) Occorre anche considerare lo stesso tipo di relazione – relazioni diverse hanno densità diverse e quindi i confronti di centralità possono risultare misleading Reti di conoscenza e affettive - diversa densità Grado 25 su 100 punti centralità locale relativa 0,25 Grado 25 su 30 punti centralità locale relativa 0,86 Grado 6 su 10 punti centralità locale relativa 0,66 C= grado/(n-1) numero connessioni effettive su numero delle connessioni possibili Centralità e centralizzazione

La centralità globale di Freeman Basata sulla vicinanza o closeness tra punti È espressa in termini di distanza fra i vari punti Si richiama il concetto di percorso da intendersi come la sequenza di linee distinte che collega due punti – la lunghezza del percorso è il numero di tali linee La lunghezza del percorso più breve è la distanza geodetica tra due punti Un punto è globalmente centrale se si trova a breve distanza da molti altri punti, cioè è «vicino» a molti altri punti del grafo Grado 25 su 100 punti centralità locale relativa 0,25 Grado 25 su 30 punti centralità locale relativa 0,86 Grado 6 su 10 punti centralità locale relativa 0,66 C= grado/(n-1) numero connessioni effettive su numero delle connessioni possibili Centralità e centralizzazione

La misurazione della centralità globale La vicinanza è misurata come somma delle distanze geodetiche da tutti gli altri punti del grafo In un grafo non orientato la somma delle distanze è data dal totale di riga/colonna (ricordiamo che sono identici) Un punto con bassa somma è più vicino agli altri punti  la vicinanza è il reciproco della somma della distanza In un grafo orientato, i percorsi debbono essere misurati lungo linee che vanno nella stessa direzione  vicinanza in entrata e vicinanza in uscita Grado 25 su 100 punti centralità locale relativa 0,25 Grado 25 su 30 punti centralità locale relativa 0,86 Grado 6 su 10 punti centralità locale relativa 0,66 C= grado/(n-1) numero connessioni effettive su numero delle connessioni possibili Centralità e centralizzazione

Centralità locale e globale A, B, C hanno rispettivamente come somma di distanze geodetiche 43, 33 e 43, per cui B è più centrale a livello globale agli altri punti della rete G ed M hanno entrambi come somma di distanze geodetiche 37  quindi sono meno centrali a livello globale di B ma più centrali a livello globale di A e C che lo sono a livello locale J, K e L sono più centrali a livello globale di quanto non siano tutti gli altri punti di grado 1 Grado 25 su 100 punti centralità locale relativa 0,25 Grado 25 su 30 punti centralità locale relativa 0,86 Grado 6 su 10 punti centralità locale relativa 0,66 C= grado/(n-1) numero connessioni effettive su numero delle connessioni possibili Centralità e centralizzazione

La «betweenness» di Freeman Esprime la misura in cui un punto particolare sta tra i vari altri punti del grafo Un punto di grado relativamente basso può giocare un importante ruolo di «intermediazione» ed essere molto centrale rispetto alla rete G ed M si trovano fra moltissime coppie di punti La betweenness indica la misura in cui un attore può giocare la parte del «mediatore» o «guardiano» con un potenziale di controllo nei confronti degli altri Grado 25 su 100 punti centralità locale relativa 0,25 Grado 25 su 30 punti centralità locale relativa 0,86 Grado 6 su 10 punti centralità locale relativa 0,66 C= grado/(n-1) numero connessioni effettive su numero delle connessioni possibili Centralità e centralizzazione

La betweenness e la dipendenza locale Un punto è dipendente da un altro se i percorsi che lo connettono agli altri punti passano attraverso quest’ultimo E dipende da A per accedere a tutte le altre parti del grafo La proporzione di betweennees di un punto Y per una coppia di punti X e Z è la proporzione di geodetiche colleganti la coppia (X,Z) passanti per Y  esprime quindi in che misura Y sta tra X e Z Grado 25 su 100 punti centralità locale relativa 0,25 Grado 25 su 30 punti centralità locale relativa 0,86 Grado 6 su 10 punti centralità locale relativa 0,66 C= grado/(n-1) numero connessioni effettive su numero delle connessioni possibili Centralità e centralizzazione

Le misure di Freeman e Bonacich   Grado 25 su 100 punti centralità locale relativa 0,25 Grado 25 su 30 punti centralità locale relativa 0,86 Grado 6 su 10 punti centralità locale relativa 0,66 C= grado/(n-1) numero connessioni effettive su numero delle connessioni possibili Centralità e centralizzazione

Le misure di Freeman e Bonacich   Grado 25 su 100 punti centralità locale relativa 0,25 Grado 25 su 30 punti centralità locale relativa 0,86 Grado 6 su 10 punti centralità locale relativa 0,66 C= grado/(n-1) numero connessioni effettive su numero delle connessioni possibili Centralità e centralizzazione

Misure tra loro complementari La centralizzazione Misura quanto un grafo abbia una struttura centralizzata Densità Centralizzazione Descrive la misura in cui la coesione è organizzata intorno a particolari punti focali Descrive il livello generale di coesione Grado 25 su 100 punti centralità locale relativa 0,25 Grado 25 su 30 punti centralità locale relativa 0,86 Grado 6 su 10 punti centralità locale relativa 0,66 C= grado/(n-1) numero connessioni effettive su numero delle connessioni possibili Misure tra loro complementari Centralità e centralizzazione 15

…segue Grafo fortemente centralizzato intorno al punto focale A Grado 25 su 100 punti centralità locale relativa 0,25 Grado 25 su 30 punti centralità locale relativa 0,86 Grado 6 su 10 punti centralità locale relativa 0,66 C= grado/(n-1) numero connessioni effettive su numero delle connessioni possibili Grafo fortemente centralizzato intorno al punto focale A Centralità e centralizzazione 16

Come misurare il livello di centralizzazione? Freeman (1979) mostra che le misure di centralità di un punto possono essere convertite in misure del livello generale di centralizzazione riscontrabile in diversi grafi Egli identifica tre tipi di centralizzazione di un grafo a partire dalle e diverse misure di centralità di un punto Rapporto fra la somma reale delle differenze tra i punteggi di centralità del punto più centrale e quelli di tutti gli altri e la loro somma possibile F1 F2 Grado 25 su 100 punti centralità locale relativa 0,25 Grado 25 su 30 punti centralità locale relativa 0,86 Grado 6 su 10 punti centralità locale relativa 0,66 C= grado/(n-1) numero connessioni effettive su numero delle connessioni possibili F3 Centralità e centralizzazione 17

Tre modalità di operativizzazione F2 F1 Misura basata sul grado è più sensibile alla dominanza locale Misura basata sulla betweenness è più sensibile alla concatenazione dei punti 0≤C≤1 Misura basata sulla vicinanza o centralità globale Grado 25 su 100 punti centralità locale relativa 0,25 Grado 25 su 30 punti centralità locale relativa 0,86 Grado 6 su 10 punti centralità locale relativa 0,66 C= grado/(n-1) numero connessioni effettive su numero delle connessioni possibili F3 Centralità e centralizzazione 18

Questioni problematiche Le misure di centralizzazione ci dicono se un grafo è organizzato intorno ai suoi punti più centrali, ma non ci dicono se questi punti centrali includono un aggregato distinto di punti che si raggruppano insieme in una parte del grafo I punti di un grafo, singolarmente più centrali, potrebbero risultare dispersi nel grafo Occorre identificare un “centro strutturale” nel grafo, cioè un singolo punto o un aggregato di punti attorno al/ai quali ruota l’intera organizzazione del grafo Grado 25 su 100 punti centralità locale relativa 0,25 Grado 25 su 30 punti centralità locale relativa 0,86 Grado 6 su 10 punti centralità locale relativa 0,66 C= grado/(n-1) numero connessioni effettive su numero delle connessioni possibili Approccio della centralizzazione nucleare di Stokman e Snijders Centralità e centralizzazione 19

Centralizzazione nucleare di Stokman e Snijders “Centro” del grafo è l’insieme dei punti con i più alti punteggi di centralità di punto Una volta identificato il “centro” del grafo, si passa allo studio della struttura delle relazioni fra questo centro e tutti gli altri punti del grafo Punti con la più alta centralità Prima frattura naturale nella distribuzione dei punteggi di centralità Grado 25 su 100 punti centralità locale relativa 0,25 Grado 25 su 30 punti centralità locale relativa 0,86 Grado 6 su 10 punti centralità locale relativa 0,66 C= grado/(n-1) numero connessioni effettive su numero delle connessioni possibili Seconda frattura naturale nella distribuzione dei punteggi di centralità Centralità e centralizzazione 20

Il “centro assoluto” di un grafo” Corrisponde all’idea di centro d un cerchio o di una sfera È il punto focale attorno a quale il grafo è strutturato Il centro assoluto deve essere un UNICO punto per cui il concetto è diverso da quello di centro strutturale Se il centro di un cerchio è equidistante da tutti i punti della circonferenza, il centro di un grafo dovrebbe essere equidistante da tutti i punti del grafo medesimo Occorre attenuare il concetto di equidistanza e parlare di “distanza minima”  il centro assoluto è quello più vicino a tutti gli altri punti in termini di distanza di percorso Grado 25 su 100 punti centralità locale relativa 0,25 Grado 25 su 30 punti centralità locale relativa 0,86 Grado 6 su 10 punti centralità locale relativa 0,66 C= grado/(n-1) numero connessioni effettive su numero delle connessioni possibili Centralità e centralizzazione 21

Formula di Christofides (1975) Usiamo la matrice delle distanze per concettualizzare e calcolare il centro assoluto di un grafo Costruiamo la matrice delle distanze, cioè quella che contiene i percorsi più brevi fra ogni coppia di punti Calcolo della “eccentricità” o “separazione” di un punto  cioè il valore più alto di riga o di colonna   Attenzione! Matrici orientate distanze in entrata ≠ distanze in uscita e quindi separazione all’interno ≠ separazione all’esterno La “eccentricità” di un punto è la lunghezza della più lunga geodetica incidente ad esso Il centro assoluto è dunque quello con la più bassa eccentricità Grado 25 su 100 punti centralità locale relativa 0,25 Grado 25 su 30 punti centralità locale relativa 0,86 Grado 6 su 10 punti centralità locale relativa 0,66 C= grado/(n-1) numero connessioni effettive su numero delle connessioni possibili Centralità e centralizzazione 22

Un esempio di centro assoluto B C D E ecc 1 2 Grado 25 su 100 punti centralità locale relativa 0,25 Grado 25 su 30 punti centralità locale relativa 0,86 Grado 6 su 10 punti centralità locale relativa 0,66 C= grado/(n-1) numero connessioni effettive su numero delle connessioni possibili B è il nostro centro assoluto Centralità e centralizzazione 23

Un esempio di “punto immaginario” – centro assoluto B C D E ecc 1 2 Z 0,5 1,5 Grado 25 su 100 punti centralità locale relativa 0,25 Grado 25 su 30 punti centralità locale relativa 0,86 Grado 6 su 10 punti centralità locale relativa 0,66 C= grado/(n-1) numero connessioni effettive su numero delle connessioni possibili NON è possibile individuare un centro assoluto – tutti i punti sono ugualmente centrali Punto immaginario Z a metà strada fra A e B con 6 possibili collocazioni diverse Centralità e centralizzazione 24

Un esempio di “punto immaginario” – unico centro assoluto Z è unico centro assoluto con eccentricità 1,5 Grado 25 su 100 punti centralità locale relativa 0,25 Grado 25 su 30 punti centralità locale relativa 0,86 Grado 6 su 10 punti centralità locale relativa 0,66 C= grado/(n-1) numero connessioni effettive su numero delle connessioni possibili Centralità e centralizzazione 25

Studio di approfondimento sulla centralità Studio di Schwartz e Mariolis negli anni Settanta  banca dati sulle più importanti aziende americane  arrivarono ad includere 500 società industriali e 250 società commerciali e finanziarie operanti negli Usa nel 1962 e tutti i nuovi ingressi fino a 1973 La banca dati arrivò a includere 1.131 aziende e ben 13.574 consiglieri di amministrazione Lo studio si basò proprio sulla distinzione concettuale di legami deboli e forti di Granovetter Legami forti quelli in cui erano coinvolti dirigenti esecutivi a tempo pieno Legami deboli quelli in cui erano coinvolti direttori non esecutivi part-time Grado 25 su 100 punti centralità locale relativa 0,25 Grado 25 su 30 punti centralità locale relativa 0,86 Grado 6 su 10 punti centralità locale relativa 0,66 C= grado/(n-1) numero connessioni effettive su numero delle connessioni possibili Centralità e centralizzazione 26

L’analisi dei legami forti Formula più complessa in relazione al sistema di ponderazione perché occorreva considerare la direzione assegnata alle linee del grafo Per le società senders il valore delle linee è calcolato sul numero dei direttori inviati ponderato per la grandezza del CdA ricevente // viceversa per i riceventi o heads cioè il numero di direttori ricevuti è stato ponderato per la grandezza del consiglio di amministrazione dell’inviante Si aggiunge però una ulteriore ponderazione, nel senso che non vennero assunti i punteggi assoluti tout court ma assunsero il 90% del punteggio per chi inviava e il 10% per chi riceveva, sulla base sell’assunto che in uno scambio di cariche direttive è più importante dare che ricevere La misura di centralità di Bonacich risultò fortemente correlata con i gradi delle società stesse (0,91) ma l’uso della formula ponderata mise in evidenza quelle imprese che pur avendo un basso grado erano tuttavia collegate con società con alta centralità Grado 25 su 100 punti centralità locale relativa 0,25 Grado 25 su 30 punti centralità locale relativa 0,86 Grado 6 su 10 punti centralità locale relativa 0,66 C= grado/(n-1) numero connessioni effettive su numero delle connessioni possibili Centralità e centralizzazione 27

L’analisi di picco Un picco è un punto che è più centrale di qualsiasi altro cui è collegato Mintz e Schwartz ampliano l’analisi introducendo il concetto di ponte, punto centrale che collega due o più picchi Grado 25 su 100 punti centralità locale relativa 0,25 Grado 25 su 30 punti centralità locale relativa 0,86 Grado 6 su 10 punti centralità locale relativa 0,66 C= grado/(n-1) numero connessioni effettive su numero delle connessioni possibili Un cluster è l’insieme di tutti i contatti diretti di un picco, salvo quelli che hanno analoga connessione di distanza 1 con un altro picco  così i picchi si trovano al cure dei loro cluster Centralità e centralizzazione 28

Le importanti conclusioni dello studio di Schwartz, Bearden et al. La rete intersocietaria americana si presenta come un “modello a centralità di banca” Le banche sono le aziende più centrali della rete sia in base a legami forti che deboli Rete di incroci estensiva a livello nazionale strutturata su legami deboli; raggruppamenti intensivi a livello regionale strutturati su legami forti I cluster intensivi regionali erano creati da legami forti di imprese finanziarie e non, ma i legami forti delle banche erano i centri focali della rete di legami forti Grado 25 su 100 punti centralità locale relativa 0,25 Grado 25 su 30 punti centralità locale relativa 0,86 Grado 6 su 10 punti centralità locale relativa 0,66 C= grado/(n-1) numero connessioni effettive su numero delle connessioni possibili Centralità e centralizzazione 29

Grazie! …ora proseguiamo con qualche esercizio Centralità e centralizzazione