Reti elettriche in regime sinusoidale Modulo 2 Reti elettriche in regime sinusoidale

Il regime sinusoidale Un circuito elettronico opera in regime sinusoidale quando le tensioni e le correnti in esso presenti hanno un andamento sinusoidale.

Segnali periodici nel dominio del tempo I principali segnali periodici impiegati nell’elettronica e nelle telecomunicazioni (in fase di analisi, progettazione, collaudo, ecc.) sono: - il segnale sinusoidale il segnale ad onda quadra il segnale rettangolare il segnale triangolare il segnale a dente di sega Un segnale può essere descritto e/o analizzato nel dominio del tempo o nel dominio della frequenza.

Analisi di un segnale Nel dominio della frequenza Nel dominio del tempo Che consiste nel determinare l’andamento del segnale al variare del tempo (forma d’onda e relazione analitica). In laboratorio ci si avvale dell’oscilloscopio. Con tale tipo di analisi si determinano parametri come l’ampiezza, il periodo; e se ne calcolano altri come il valor medio ed efficace, la frequenza, la fase, ecc. Nel dominio della frequenza Che consiste nel determinare lo spettro del segnale, cioè l’insieme delle frequenze che lo costituiscono. In laboratorio ci si avvale dell’analizzatore di spettro. Con tale tipo di analisi si determinano parametri come la banda del segnale, la potenza trasportata dal segnale (fissato il numero delle armoniche). In questo modulo cercheremo di imparare l’analisi nel dominio del tempo.

Descrizione di un segnale sinusoidale Consideriamo un generatore sinusoidale. La tensione generata varia in modo sinusoidale ed è descritta dalla relazione: dove A è l’ampiezza della sinusoide, o valore di picco, e T è il periodo (l’intervallo di tempo dopo il quale la sinusoide si ripete in modo uguale).

Parametri di un segnale sinusoidale L’ispezione diretta della forma d’onda di un segnale sinusoidale consente di valutare l’ampiezza ed il periodo della medesima. Noto il periodo, possiamo ricavare: la frequenza della sinusoide (ovvero il numero di cicli eseguiti in un secondo): la pulsazione angolare (la velocità angolare del vettore che ruotando genera la sinusoide): Un segnale sinusoidale può, quindi, essere indifferentemente espresso con una delle tre relazioni:

Altri tipi di segnale (1) Vediamo, in rapida rassegna, gli altri tipi di segnale:

Altri tipi di segnale (2) Un altro parametro dell’analisi nel dominio del tempo è il duty cycle. Esso caratterizza i segnali a due livelli (quadra, rettangolare e impulsivo). E’ definito come il rapporto percentuale tra la durata del livello alto (TH) e la durata del periodo (T): E’ un numero puro (o adimensionale). Per l’onda quadra è pari, sempre, al 50%, essendo, per definizione, la durata del livello alto eguale a quella del livello basso. Per un treno di impulsi è inferiore o al massimo eguale al 10%: ciò significa che la durata dell’impulso è un decimo, o meno, della durata del periodo. In laboratorio, per la generazione di tali segnali, si utilizza un particolare dispositivo detto generatore di funzioni.

Altri tipi di segnale (3) I fronti verticali dei segnali a due livelli non sono, nella realtà, perfettamente verticali. Tra i parametri che caratterizzano l’analisi di un segnale nel dominio del tempo troviamo, quindi, anche il tempo di salita, tr, (il tempo che il segnale impiega per passare dal 10% al 90% della sua escursione totale) e il tempo di discesa, tf (il tempo che il segnale impiega per passare dal 90% al 10% della sua escursione totale) .

Valore efficace (1) Il valore efficace (Veff o VRMS) di un segnale in tensione o in corrente è quel valore che dovrebbe avere una tensione o una corrente continua per fornire, nello stesso intervallo di tempo, e ad uno stesso carico, la stessa potenza fornita dalla tensione o corrente variabile. Nel caso di una tensione sinusoidale, si può dimostrare che il valore efficace vale:

Valore efficace (2) L’utilizzo principale del valore efficace è quello per il calcolo della potenza media, P, espressa in watt (W) che un segnale sinusoidale fornisce ad un carico resistivo, R:

Valore efficace (3) Si può dimostrare che per ciascuna delle forme d’onda canoniche il valore efficace è quello riportato nella successiva tabella di riepilogo.

Valore medio Il valore medio, o componente continua, di un segnale periodico è definibile come il rapporto tra l’area netta sottesa dalla forma d’onda del segnale in un periodo T ed il periodo stesso.

La sinusoide e la cosinusoide L’andamento delle funzioni sinusoidale e cosinusodale è mostrato in figura (in tali funzioni la variabile indipendente è l’angolo ϑ che varia tra 0° e 360° o, in radianti, tra 0 e 2π). Nell’ambito dell’elettronica, però, è preferibile esprimere tali sinusoidi in funzione del tempo. Vediamo come fare.

La generazione di una sinusoide (1) Consideriamo un cerchio di raggio A, con centro nell’origine di un sistema di assi cartesiani. Consideriamo, inoltre, il raggio vettore che unisce il centro della circonferenza ad un generico punto P giacente sulla medesima. Supponiamo ora di far muovere tale raggio in senso antiorario con velocità angolare costante e pari a ω. Si otterrà una variazione nel tempo dell’angolo ϑ: dove ω, la velocità angolare, assume anche la denominazione di pulsazione angolare.

La generazione di una sinusoide (2) Riportiamo, ora, su un riferimento cartesiano, la proiezione di tale vettore lungo l’asse delle ordinate ed il tempo in cui tale proiezione si manifesta. Ma tale proiezione è proprio il seno dell’angolo formato dal vettore rotante:

La generazione di una sinusoide (3) Se all’istante iniziale il raggio vettore forma con l’asse delle ascisse un angolo, ϑ0, allora si avrà: Tale angolo è anche indicato come fase angolare o fase della sinusoide.

Sinusoide rappresentata per mezzo di un vettore In base a quanto visto è possibile affermare che ad una sinusoide si può associare un vettore. In particolare: la lunghezza del raggio vettore corrisponde all’ampiezza della sinusoide; l’angolo ϑ0 corrisponde alla fase della sinusoide; la velocità di rotazione del vettore corrisponde alla pulsazione angolare della sinusoide.

I numeri complessi (1) Nell’insieme dei numeri reali il problema: non trova soluzione. E’ Gauss che per primo prova a risolvere tale problema introducendo un altro insieme, quello dei numeri immaginari. L’unità di tale insieme è l’unità immaginaria, indicata con j: Pertanto potremo scrivere: L’insieme dei numeri reali è disgiunto da quello dei numeri immaginari. La somma di un numero reale e di un numero immaginario da luogo ad un numero complesso. Ad esempio:

I numeri complessi (2) L’insieme dei numeri reali è disgiunto da quello dei numeri immaginari. La somma di un numero reale e di un numero immaginario da luogo ad un numero complesso. Ad esempio: è un numero complesso formato dalla parte reale 3 e da quella immaginaria 2. I numeri complessi possono essere rappresentati geometricamente ricorrendo al piano di Gauss. In tale piano i numeri reali sono posti sull’asse delle ascisse e quelli immaginari sull’asse delle ordinate. Il numero complesso W=a+jb, ad esempio, è rappresentato da un vettore che unisce l’origine degli assi col punto di coordinate (a,b).

I numeri complessi (3) Se un numero complesso è rappresentabile, geometricamente, con un vettore e se ad un vettore è associabile una sinusoide, allora ad una sinusoide possiamo associare un numero complesso. Questo tipo di notazione è ampiamente utilizzata nell’ambito delle telecomunicazioni. Tra le forme impiegate per rappresentare un numero complesso vi è la forma cartesiana: e la forma polare: che identifica il vettore per mezzo della sua lunghezza, o modulo, |W|, e la fase, ϑ, che rappresenta l’angolo che il vettore forma con l’asse delle ascisse.

Conversione tra forma cartesiana e forma polare di un numero complesso (1) Dal momento che queste due forme sono equivalenti deve essere possibile passare da una forma all’altra e viceversa. Per far ciò introduciamo la formula di Eulero: Se sono noti il modulo e la fase di un numero complesso, determiniamo la parte reale e quella immaginaria nel seguente modo: Se, invece, sono note la parte reale e quella immaginaria, allora determiniamo il modulo e la fase nel seguente modo: se W è nel primo o quarto quadrante

Conversione tra forma cartesiana e forma polare di un numero complesso (2) Se, invece, sono note la parte reale e quella immaginaria, allora determiniamo il modulo e la fase nel seguente modo: se W è nel primo o quarto quadrante se W è nel secondo o terzo quadrante

Operazioni con i numeri complessi (1) Vediamo ora come eseguire le quattro operazioni su due numeri complessi. Dati due numeri complessi, in forma cartesiana: eseguiamo la somma: la sottrazione: il prodotto: la divisione:

Operazioni con i numeri complessi (2) Vediamo ora come eseguire le operazioni di prodotto e quoziente su due numeri complessi in forma polare. Dati due numeri complessi, in forma polare: eseguiamo il prodotto: il rapporto:

Descrizione dei segnali sinusoidali tramite i numeri complessi Un numero complesso può rappresentare un vettore; ed un vettore può rappresentare una sinusoide. Possiamo allora rappresentare una sinusoide con un numero complesso. Un fasore è un vettore che fornisce il valore efficace (RMS) e la fase di una sinusoide. Quindi, data la seguente sinusoide, ad essa associamo il fasore: Nell’analisi dei circuiti in regime sinusoidale tutte le grandezze elettriche in gioco sono isofrequenziali. Per tale ragione non interessa rappresentare la frequenza; e perciò si usano i fasori.

L’impedenza (1) In regime continuo un bipolo resistivo è caratterizzato da una resistenza pari al rapporto tra la tensione misurata ai morsetti del bipolo stesso e la corrente che in esso circola: In regime sinusoidale un bipolo può comprendere anche effetti capacitivi e/o induttivi. Si tratta di elementi che causano uno sfasamento tra tensione e corrente presente ai loro capi. Inoltre hanno un comportamento che varia al variare della frequenza. In regime sinusoidale l’impedenza che un bipolo presenta è definita dal rapporto tra il fasore della tensione presente ai suoi capi ed il fasore della corrente che in esso circola:

L’impedenza (2) L’impedenza potrà quindi essere espressa in due modi: come un numero complesso in forma polare: o come un numero complesso in forma cartesiana: Dove R=Re[Z] è la parte reale dell’impedenza ed è dovuta agli effetti resistivi del bipolo e X=Im[Z] è la parte immaginaria dell’impedenza ed è dovuta agli effetti reattivi (induttivi e capacitivi) del bipolo.

Analisi dei circuiti in regime sinusoidale L’impedenza complessiva di n bipoli in serie è pari alla somma delle singole impedenze: La parte reale di tale impedenza sarà costituita dalla somma aritmetica delle parti reali delle singole impedenze. La parte immaginaria sarà costituita dalla somma algebrica delle singole parti immaginarie. L’impedenza complessiva di n bipoli in parallelo è pari all’inverso della somma degli inversi delle impedenze dei singoli bipoli:

Il condensatore (1) Il condensatore è un componente elettrico costituito da due elementi metallici (armature) separati da un isolante (dielettrico). Lo scopo del condensatore è quello di immagazzinare una certa quantità di carica Q quando ai suoi capi vi è la tensione V. Definiamo, quindi, capacità di un condensatore: La capacità del condensatore dipende dalle caratteristiche fisiche del condensatore (S, superficie delle armature, d, distanza tra le armature, ε, costante dielettrica dell’isolante tra le armature) per mezzo della seguente relazione:

Il condensatore (2) In regime continuo il condensatore si comporta come un circuito aperto (ciò è evidente se si pensa alla sua costituzione fisica). In regime sinusoidale il condensatore consente la circolazione di corrente (esternamente ad esso). Esso, però, determina uno sfasamento tra tensione e corrente. La relazione che lega il fasore della tensione a quello della corrente è la seguente: La tensione risulta quindi sfasata di 90° in ritardo rispetto alla corrente. Gli impieghi di un condensatore sono molteplici (disaccoppiatore continua-sinusoidale, immagazzinatore di carica elettrica, filtri, oscillatori sinusoidali, temporizzazione, ecc.).

Il condensatore (3) Il rapporto tra i valori efficaci della tensione e della corrente che interessano un condensatore si definisce reattanza capacitiva: Conseguentemente possiamo anche scrivere: Osservando la relazione tra reattanza capacitiva e frequenza si può affermare che alle basse frequenze il condensatore tende a comportarsi come un circuito aperto. Alle alte frequenze tende a comportarsi come un cortocircuito.

Il condensatore (4) Due o più condensatori in serie sono equivalenti ad un condensatore la cui capacità vale: Due o più condensatori in parallelo sono equivalenti ad un condensatore la cui capacità vale:

L’induttore (1) L’induttore è un componente elettrico costituito da un solenoide avvolto in aria o su un materiale ferromagnetico. Lo scopo dell’induttore è quello di immagazzinare energia in un campo magnetico. Il parametro che lo definisce, l’induttanza, è pari al rapporto tra il flusso concatenato in un induttore e la corrente che vi circola: L’induttanza di un induttore dipende dal numero di spire in cui è avvolto il solenoide e dalla riluttanza magnetica:

L’induttore (2) In regime continuo l’induttore si comporta come un cortocircuito e, pertanto, la tensione ai suoi capi è nulla. In regime sinusoidale la tensione ai capi dell’induttore è presente ma risulta sfasata dalla corrente in esso circolante: La tensione risulta quindi sfasata di 90° in anticipo rispetto alla corrente. Gli impieghi di un induttore sono molteplici (disaccoppiatore continua-sinusoidale, immagazzinatore di campo magnetico, filtri, oscillatori sinusoidali, ecc.).

L’induttore (3) Il rapporto tra i valori efficaci della tensione e della corrente che interessano un induttore si definisce reattanza induttiva: Conseguentemente possiamo anche scrivere: Osservando la relazione tra reattanza induttiva e frequenza si può affermare che alle basse frequenze l’induttore tende a comportarsi come un cortocircuito. Alle alte frequenze tende a comportarsi come un circuito aperto.

L’induttore (4) Due o più induttori in serie sono equivalenti ad un induttore la cui induttanza vale: Due o più induttori in parallelo sono equivalenti ad un induttore la cui induttanza vale:

Fenomeni transitori (1) Abbiamo affermato che un condensatore, in corrente continua, si comporta come un circuito aperto. E allora, che cosa accade nel circuito di figura alla chiusura dell’interruttore T?

Fenomeni transitori (2) Alla chiusura dell’interruttore T inizia il processo di carica del condensatore ed una corrente i fluisce nel circuito esterno al condensatore. Sul condensatore inizia ad accumularsi una carica elettrica q e, conseguentemente, tra le armature si manifesterà una tensione v, via via crescente ed in opposizione ad E. Il fenomeno ha fine quando la tensione ai capi del condensatore è divenuta pari ad E: in quel momento la corrente si annulla e sulle armature del condensatore è presente la carica Q=CE.

Fenomeni transitori (3) La legge matematica con cui cresce la tensione ai capi del condensatore è la legge esponenziale crescente il cui andamento è mostrato in figura. Il valore finale a cui tende la tensione ai capi del condensatore, Vf, in questo tipo di circuito coincide con E. La corrente, inizialmente massima, tende a diminuire con legge esponenziale decrescente il cui andamento, anche qui, è mostrato nella figura a fianco. Il valore iniziale della corrente, I0, è pari ad E/R.

Fenomeni transitori (4) La legge matematica con cui cresce la tensione ai capi del condensatore, la legge esponenziale crescente, è descritta dalla relazione: La legge esponenziale decrescente, con cui diminuisce la corrente, è descritta dalla relazione successiva. In ciascuna delle due relazioni compare una costante, la costante di tempo, che vale:

Fenomeni transitori (5) Consideriamo un condensatore che sia stato in precedenza caricato ad una tensione V0. Se colleghiamo tale condensatore ad un resistore R, per mezzo di un interruttore, alla chiusura di quest’ultimo il condensatore inizierà a scaricarsi. Il fenomeno avrà fine dopo che il condensatore si sarà del tutto scaricato. La corrente è sostenuta dalla tensione vc ed il condensatore si comporta come un generatore temporaneo. L’energia ai suoi capi si trasforma via via in energia termica, per effetto joule, e viene dissipata dal resistore R.

Fenomeni transitori (6) La legge matematica con cui decresce la tensione ai capi del condensatore è la legge esponenziale decrescente il cui andamento è mostrato in figura. La corrente, inizialmente massima, tende a diminuire con legge esponenziale decrescente il cui andamento, anche qui, è mostrato nella figura a fianco. Il valore iniziale della corrente, I0, è pari a V0/R. Da notare che il verso della corrente è opposto a quello che aveva la corrente di carica: ciò giustifica la forma del grafico.

Fenomeni transitori (7) La legge matematica con cui decresce la tensione ai capi del condensatore, la legge esponenziale decrescente, è descritta dalla relazione: La legge esponenziale decrescente, con cui diminuisce la corrente, è descritta dalla relazione successiva. Anche qui, in ciascuna delle due relazioni, compare una costante, la costante di tempo, che vale: