TEORIA ELEMENTARE DEGLI INSIEMI

Il concetto di insieme In matematica la parola “insieme” si usa per indicare un raggruppamento, una raccolta di elementi La nozione di insieme e di elemento di un insieme saranno considerate come concetti primitivi Un insieme si può considerare definito solo se è possibile decidere inequivocabilmente se un elemento appartiene o no all’insieme.

Esempi di insieme L’insieme delle vocali dell’alfabeto italiano L’insieme degli stati europei L’insieme dei numeri interi relativi L’insieme degli alunni della I° B

Non sono insiemi I grandi fiumi d’Italia Gli alunni intelligenti della I°B Le persone simpatiche I libri piacevoli

Insieme finito ed infinto Se gli elementi di un insieme sono in numero limitato, l’insieme si dice finito Se gli elementi di un insieme non sono in numero limitato, l’insieme si dice infinito

Sono finiti L’insieme delle vocali dell’alfabeto italiano L’insieme degli stati europei L’insieme dei pianeti del sistema solare

Sono infiniti L’insieme dei punti di un piano L’insieme dei numeri interi relativi L’insieme dei numeri naturali pari

Come si indicano gli insiemi e gli elementi di un insieme Gli insiemi si indicano con le lettere maiuscole: A, B, C...... Gli elementi di un insieme si indicano con le lettere minuscole: a,b,c........

Il simbolo di appartenenza Per indicare che un elemento a appartiene ad un insieme A si usa il simbolo di appartenenza

Il simbolo di non appartenenza Per indicare che un elemento a non appartiene ad un insieme A si usa il simbolo di non appartenenza

Rappresentazione di un insieme Un insieme può essere rappresentato in tre modi diversi: rappresentazione mediante i diagrammi di Eulero-Venn; rappresentazione tabulare o per elencazione; rappresentazione intensiva cioè mediante la proprietà caratteristica.

Diagrammi di Eulero-Venn x

Rappresentazione tabulare Gli elementi di un insieme sono elencati uno a uno per esteso racchiusi tra parentesi graffe A={0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} N={0;1;2;3;...}

Rappresentazione intensiva A = {x / x “è vocale dell’alfabeto” } Gli elementi di un insieme sono individuati mediante una legge di appartenenza cioè mediante una proprietà caratteristica che consente di stabilire se un elemento appartiene o no ad un insieme A = {x / x “è vocale dell’alfabeto” }

Esempi di rappresentazione intensiva

Insiemi uguali Diremo uguali due insiemi A e B quando hanno esattamente gli stessi elementi e scriveremo

{ } oppure Insieme vuoto Un insieme la cui proprietà caratteristica non è soddisfatta è privo di elementi ed è vuoto. Tutti gli insiemi vuoti coincidono. Esiste, quindi, un solo insieme vuoto e lo indicheremo con i simboli oppure { }

Sottoinsieme Considerati due insiemi A e B , si dice che B è un sottoinsieme di A quando ogni elemento di B appartiene anche ad A A B

Sottoinsieme L’insieme B può essere eventualmente uguale ad A oppure all’insieme vuoto. In questo caso B è detto sottoinsieme improprio. B è detto sottoinsieme proprio di A quando B non è vuoto ed esistono elementi di A che non appartengono a B.

Sottoinsieme Da quanto detto si conviene che ogni insieme ammette come sottoinsiemi impropri se stesso e l’insieme vuoto.

Operazioni fondamentali con gli insiemi Intersezione; Unione; Complementare; Differenza;

Insieme intersezione Dati due insiemi A e B si chiama loro intersezione l’insieme degli elementi appartenenti sia ad A che a B In forma simbolica si scrive:

Insieme intersezione B A

Insieme unione Dati due insiemi A e B si chiama loro unione l’insieme degli elementi appartenenti ad A oppure a B In forma simbolica si scrive:

Insieme unione A B

Esempio

Insieme differenza Si definisce differenza di due insiemi A e B considerati nell’ordine, l’insieme costituito dagli elementi di A che non appartengono a B. In forma simbolica si scrive:

Esempio

Esempio A B rosa glicine tulipano viola oleandro mimosa C

Insieme complementare Si definisce complementare di un insieme B rispetto ad un insieme A (con B  A), l’insieme degli elementi di A che non appartengono ad B. In forma simbolica si scrive:

Insieme complementare CA(B) A B

Esempio di insieme complementare

Fine