Definizioni di probabilità Classica: la probabilità di un evento E è il rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi possibili (supposti egualmente possibili) Frequentista: la probabilità di un evento E ripetibile è il limite della frequenza di successi all’aumentare del numero di prove.

P(p  G)=Area(G) / Area(T) Si scelga un punto P a caso all’interno di un triangolo equilatero di lato 3. Si determini la probabilità che la distanza di P da ogni vertice sia maggiore di 1. Sessione ord. 2006-2007-corsi sperimentali P(p  G)=Area(G) / Area(T) Area(G)= Area T –3*Area (settore circolare) G 1

Definizione Assiomatica di Probabilità

EVENTI Nell’ambito della probabilità l’esito di una qualsiasi esperienza viene detto evento. Un evento si dice aleatorio o casuale se non si è nelle condizioni per esprimere un giudizio certo sul suo verificarsi o meno. Evento certo : è quello il cui verificarsi è certo Evento impossibile: è quello il cui verificarsi è impossibile Eventi elementari Eventi composti  Lancio un dado : esce la faccia 3  Lancio un dado esce un pari Eventi incompatibili: se il verificarsi dell’uno esclude la possibilità del verificarsi dell’altro Evento lancio un dado: esce un pari Evento lancio un dado:esce un dispari

ESEMPI DI EVENTI LEGATI AL LANCIO DI UN DADO A= esce un pari = {2,4,6} B= esce un dispari = {1,3,5} C= esce un numero divisibile per 5 = {5} D= esce un numero maggiore di 2 = {3,4,5,6} E= esce un multiplo di 3 = {3,6}

Insieme di tutti i possibili esiti di un dato esperimento SPAZIO CAMPIONARIO: Insieme di tutti i possibili esiti di un dato esperimento Lancio un dado: S={1,2,3,4,5,6} Un evento elementare è un elemento di S Uscita della faccia 2 L’insieme di tutti gli eventi di cui posso indagare la probabilità dato un certo esperimento corrisponde a P (S), ovvero dall’insieme delle parti di S. {1,3,5} e {3,6} sono alcuni elementi di P (S) Come tutte le altre branche della matematica anche per la probabilità si è avuta la necessità di un riferimento assiomatico che costituisca il fondamento Logico di tale teoria. Questo riferimento assiomatico non dice cos’ è la probabilità ma i principi generali ai quali deve sottostare ogni definizione che si dia. Anche l’insieme vuoto e l’insieme S sono eventi: Il primo corrisponde all’evento impossibile, l’altro all’evento certo.

Definizione assiomatica di probabilità Dato P definiamo una funzione P che associa ad ogni evento un numero reale. P : P (S) R A P(A) Tale funzione è detta misura di probabilità se gode delle seguenti proprietà: Per ogni evento A vale 0  P(A)  1 P(S)=1 Se A e B sono eventi incompatibili, vale P(AB)=P(A)+P(B) Se A è un evento e P una misura di probabilità p=P(A) è detta probabilità dell’evento A

Proprietà S={s1,s2,s3,..,sk,…,sn} Se S ha n elementi la probabilità di ogni evento elementare è P(sk)=1/n La probabilità di un evento impossibile è 0 La probabilità di un evento certo è 1 Se A e B sono incompatibili allora P(A B)=P(A)+P(B) (*) Se A e sono complementari (o contrari) allora

Probabilità subordinata Se A e B sono due eventi tali che la valutazione della probabilità di B è influenzata dalle informazioni in possesso sull’evento A, allora tali eventi sono detti dipendenti in caso contrario si dicono indipendenti Se A e B sono indipendenti allora P(A  B)=P(A)*P(B) Se A e B sono dipendenti( ad esempio B dipende da A) allora per misurare la probabilità di B dobbiamo tenere conto di quanto l’avverarsi di A condiziona l’avverarsi di B. S Probabilità del prodotto logico: Allo stesso modo diciamo che dati due eventi A, e B vale P(AB)=P(A) *P(B/A) A B

ESEMPI In un’urna ci sono 19 palline rosse e 31 nere. Qual è la probabilità che estraendo successivamente 2 palline siano la prima rossa (evento A) e la seconda nera (evento B) ? 1o caso: la pallina viene rimessa nell’urna dopo la prima estrazione  A e B sono indipendenti P(A B)= P(A)*P(B) = (19/50)*(31/50) 2o caso: la pallina non viene rimessa nell’urna dopo la prima estrazione  A e B sono dipendenti P(A B)= P(A)*P(B/A) = (19/50)*(31/49)

E = “almeno un centro in n tiri” Un tiratore spara ripetutamente ad un bersaglio; la probabilità di colpirlo è di 0,3 per tiro. Quanti tiri deve fare per avere probabilità maggiore di 0,99 di colpirlo almeno una volta? Sessione ordinaria 2005-2006-corsi sperimentali E = “almeno un centro in n tiri” E’ = “nessun centro in n tiri” P(E)=1-P(E’) E’=E1 E2 E3 E4  …. En P(E’)=P(E1)*P(E2)*…*P(En)= P(E)=1-P(E’)=1- > 0,99

Un’urna contiene 10 palline 7 delle quali arancioni e 3 blu. Si estrae una pallina a caso e, senza rientrodurla, se ne estrae un’altra. Qual è la probabilità che almeno una delle due estratte sia arancione? A1=estraggo una arancione alla prima estraz B1=estraggo una blu alla prima estraz A2=estraggo una arancione alla seconda estraz. B2=estraggo una blu alla seconda estraz. Modalità 1: E= almeno una pallina arancione E’=nessuna arancione= tutte e due blu P(E’)=P(B1 B2)=P(B1)*P(B2/B1)= (3/10)*(2/9)=6/90 P(E)=1-P(E’)=84/90 Modalità 2: E=(A1 B2)  (A1  A2)  (B1  A2) P(E)=P(A1 B2)+P (A1  A2)+P (B1  A2)= =P(A1)*P(B2/A1)+P(A1)*P(A2/A1)+P(B1)*P(A2/B1)= = (7/10)*(3/9) + (7/10)*(6/9) + (3/10)*(7/9) =84/90

Si hanno due urne ( I e II) contenenti rispettivamente 5 palline rosse e 3 nere, e 3 palline rosse e 7 nere. Si estrae una pallina a caso senza poter conoscere da quale si sia estratta. Valutare la probabilità che la pallina estratta sia rossa. A1=si estrae dalla prima urna A2=si estrae dalla seconda urna R=si estrae una pallina rossa E= (A1 R)  (A2 R) P(E) =P (A1 R)+ P(A2 R)= =P(A1)*P(R/A1)+P(A2)*P(R/A2)= = (1/2)*(5/8) + (1/2)*(3/10) = 37/80

ESERCIZI Su un tavolo ci sono due sacchetti: il primo contiene 3 palline nere e 5 rosse; il secondo contiene 5 palline nere, 3 rosse e 8 verdi; Se lancio nel lancio di un dado esce il numero 2 o 4 si estrae una pallina dal primo sacchetto, in caso contrario dal secondo sacchetto. Valutare la probabilità: a)di estrarre una pallina nera; b)di estrarre una pallina verde; c)di estrarre una pallina rossa; d)di non estrarre una pallina nera. Soluzioni : a) 1/3 b) 1/3 c) 1/3 d) 2/3

Si scelga un punto P all’interno di un cerchio Si scelga un punto P all’interno di un cerchio. Si determini la probabilità che esso sia più vicino al centro che alla circonferenza del cerchio. Sessione Suppletiva 2006-2007 corsi sperimentali

Un’urna contiene 150 palline, che possono essere di vetro o di plastica, bianche o nere. Per la precisione: 62 palline sono bianche, 38 sono di vetro nero e 40 sono di plastica bianca. Calcolare la probabilità che, estratta a caso una pallina, non sia di plastica nera. Sessione Suppletiva 2005-2006 corsi sperimentali

In un circolo ricreativo si trovano n ragazzi scelti in modo casuale In un circolo ricreativo si trovano n ragazzi scelti in modo casuale. Scrivere un programma che determini la probabilità che almeno due ragazzi compiano gli anni lo stesso giorno. In particolare si determini il numero minimo di ragazzi per cui tale probabilità è superiore al 90%