Geometria descrittiva dinamica Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge LE OPERAZIONI GEOMETRICHE INTERSEZIONE TRA PIANI PARALLELI Il disegno è stato eseguito nell’a. s. 2008/09 da Notarandrea Sirio della classe 3°C del Liceo artistico “G. Misticoni” di Pescara per la materia :“Discipline geometriche” Insegnante: Prof. Elio Fragassi Il materiale può essere riprodotto citando la fonte Autore Prof. Arch. Elio Fragassi

a Ç b ® x Î (a; b) t1a Çt1b T1x a Ç b (x’ ; x”) x t2a Çt2b T2x Geometria descrittiva dinamica Intersezione tra piani paralleli – Introduzione (1) Stabilito che l’intersezione tra due piani genera una retta secondo la seguente formalizzazione insiemistica a Ç b ® x Î (a; b)   e la corrispondente formalizzazione descrittiva t1a Çt1b T1x a Ç b (x’ ; x”) x t2a Çt2b T2x si esprime la seguente definizione verbale L’intersezione tra due piani genera una retta che ha le tracce nel punto d’intersezione delle omonime tracce dei piani e le proiezioni, sui semipiani del diedro, derivanti dalle tipologie geometrico-descrittive dei piani stessi.

Geometria descrittiva dinamica Intersezione tra piani paralleli – Introduzione (2) Poiché le tracce delle rette sono punti, si conviene che essi possono essere reali o impropri. Pertanto se le tracce sono punti reali l’intersezione dei piani genererà una retta reale con le caratteristiche geometrico-descrittive derivanti dai due piani. Se le tracce sono improprie si genera una retta anch’essa impropria. Perché ciò si verifichi è necessario che i due piani siano paralleli in quanto alla legge del parallelismo è necessario associare, sempre, il concetto di elemento improprio e, viceversa, al concetto di elemento improprio è necessario associare, sempre, la legge del parallelismo. Si ricorda, sinteticamente, quanto di seguito per le rette e i piani: Due (o più) rette parallele si intersecano in un punto improprio e, viceversa, per un punto improprio passano due (o più) rette parallele. Due (o più) piani paralleli s’intersecano in una retta impropria e, viceversa, per una retta impropria passano due (o più) piani paralleli Stabilito ciò per due piani a e b paralleli la formalizzazione insiemistica sarà la seguente: mentre la forma descrittiva si esplicita nel seguente algoritmo (a // b) (a Ç b) x¥Î (a ; b) t1a Çt1b T¥1x a // b a Ç b (x’¥ ; x” ¥) x¥ t2a Çt2b T¥2x

–perché tali sono le tracce dei piani – Geometria descrittiva dinamica Intersezione tra piani paralleli – Casi elementari (1) Esempio 01 Siano assegnati, come dal disegno dell’Es.01, i due piani generici (a Ð p1+, Ð p2+) e (b Ð p1+, Ð p2+)  nello spazio del 1° diedro Applicando l’algoritmo grafico si ha t1a Çt1b T¥1x a Ç b (x’¥; x” ¥) x¥ t2a Çt2b T¥2x E’ evidente, in modo elementare, che applicando le leggi del parallelismo tra rette –perché tali sono le tracce dei piani – si determinano due tracce T¥1x e T¥2x improprie per le quali dovrà passare la retta impropria x¥ d’intersezione tra i due piani.

Geometria descrittiva dinamica Intersezione tra piani paralleli – Casi elementari (2) Esempio 02 Siano assegnati i due piani generici (a Ð p1+, Ð p2+) collocato nel 1° diedro e (b Ð p1+, Ð p2-) collocato nel 4° diedro. Nel disegno dell’Es.02 si nota che i due piani presentano, graficamente, tracce parallele anche se, in questo caso, la posizione dei piani, nella forma descrittiva, fa in modo che t2b intersechi la traccia t1a. Applicando l’algoritmo grafico si ha che, anche in questo caso, nonostante l’apparente intersezione grafica evidenziata, i due piani sono paralleli perché tali sono le rispettive omonime tracce. Conseguentemente la retta d’intersezione sarà una retta impropria x¥ che passerà per le rispettive tracce improprie T¥1x e T¥2x t1a Çt1b T¥1x a Ç b (x’¥;x” ¥) x¥ t2a Çt2b T¥2x

Geometria descrittiva dinamica Intersezione tra piani paralleli – Casi elementari (3) Esempio 03 Siano assegnati i due piani generici (aÐ p1-, Ðp2+) collocato nel 2° diedro e (bÐ p1+, Ðp2-) collocato nel 4° diedro. Come si nota nel disegno dell’Es. 03 i due piani, anche se sono collocati su due diedri opposti presentano, graficamente, tracce parallele che, estendendole, si intersecano. Ma l’intersezione che si genera è solo apparente in quanto si intersecherebbero (solo graficamente) t1b con t2a e t2b con t1a che sono due coppie di rette sghembe. Quindi, anche in questo caso applicando l’algoritmo grafico si dimostra che siamo in presenza di una retta impropria x¥ dovendo la stessa passare per le sue tracce improprie T¥1x e T¥2x t1a Çt1b T¥1x a Ç b (x’¥;x” ¥) x¥ t2a Çt2b T¥2x

Geometria descrittiva dinamica Intersezione tra piani paralleli – Casi elementari (4) Esempio 04 Siano assegnati i due piani proiettanti (a^p1+, Ðp2-) collocato nel 4° diedro e (b^p1-, Ðp2+) collocato nel 2° diedro. Come si nota nel disegno dell’Es. 04 i due piani, anche se sono collocati su due diedri opposti presentano, graficamente, tracce parallele che, estendendole, si intersecano. Ma l’intersezione che si genera è solo apparente in quanto si intersecherebbero (solo graficamente) t1b con t2a e t2b con t1a. Infatti le due coppie di rette (t1b;t2a) e (t2b;t1a) sono, nello spazio tridimensionale, due coppie di rette sghembe Pertanto, anche in questo caso, applicando l’algoritmo grafico si evidenzia come siamo in presenza di una retta impropria x¥ dovendo essa passare per le corrispondenti tracce improprie T¥1x e T¥2x t1a Çt1b T¥1x a Ç b (x’¥;x” ¥) x¥ t2a Çt2b T¥2x

Geometria descrittiva dinamica Intersezione tra piani paralleli – Casi particolari (5) Esempio 05 Siano assegnati i due piani proiettanti (a^p1+, Ðp2+) collocato nel 1° diedro e (b^p1-, Ðp2-) collocato nel 3° diedro Come mostra il disegno dell’Es. 05 i due piani, anche se sono collocati su due diedri opposti presentano, graficamente, tracce parallele che si intersecano. Anche in questo caso è bene non farsi ingannare dall’aspetto grafico che indurrebbe a pensare alla presenza di una retta reale d’intersezione Ma l’intersezione che si genera è solo apparente in quanto si intersecherebbero (solo graficamente) t1b con t2a e t2b con t1a. Infatti le due coppie di rette (t1b;t2a) e (t2b;t1a) sono, nello spazio tridimensionale, due coppie di rette sghembe. Pertanto, anche in questo caso applicando l’algoritmo grafico si evidenzia come siamo in presenza di una retta impropria x ¥ dovendo essa passare per le corrispettive tracce improprie T¥1x e T¥2x. t1a Çt1b T¥1x a Ç b (x’¥;x” ¥) x¥ t2a Çt2b T¥2x

Geometria descrittiva dinamica Intersezione tra piani paralleli – Casi particolari (6-1) Esempio 06 Siano assegnati i due piani generici paralleli alla linea di terra (Es.06) entrambi collocati nello spazio del 1° diedro: (aÐp1+,Ðp2+, //lt) e (bÐp1+,Ð p2+,//lt) Date le caratteristiche grafico-geometriche delle tracce, (t1a//t1b) e (t2a//t2b), e la collocazione nel medesimo diedro viene, immediatamente, da pensare a due piani paralleli la cui retta impropria x¥ passerà per le due tracce improprie T¥1x=(t1a Ç t1b) e T¥2x=(t2a Ç t2b) In realtà (Es.06.1) intersecando i due piani con un terzo piano generico g(Ðp1+, Ðp2+) si ottengono due rette distinte come di seguito: (a Ç g) = r(r’; r”) e (b Ç g) = s(s’ ;s”). Queste due rette, che non sono parallele, si intersecano in un punto reale X(X’=-x; X”=y) (-x e y esprimono i valori numerici di aggetto e quota del punto reale X) dello spazio del 2° diedro. Per questo punto passerà, quindi la retta orizzontale x(x’; x”) mentre il punto reale X rappresenta il luogo d’intersezione dei tre piani.

Dal che si evince che i due piani assegnati non sono paralleli Geometria descrittiva dinamica Intersezione tra piani paralleli – Casi particolari (6-2) Esempio 06 Quindi per X=(a Ç b Ç g) passeranno sia in due piani assegnati sia il terzo piano. Dal che si evince che i due piani assegnati non sono paralleli Per definire il parallelismo tra i due piani e, quindi, la definizione delle tracce improprie T¥1x e T¥2x operiamo nel modo seguente (fig Es.06.2). Assumendo (s Î b) come retta principale, si disegna la retta r//s. Operando su p1+ costruiamo la proiezione r’//s’ passante per T1r quindi per il piede di T1r conduciamo r” che ci definisce T2r che dovrà appartenere a t2g essendo la retta r complanare alla retta s. Per questa seconda traccia della retta r passerà la traccia seconda del piano a. Si può affermare, ora, che essendo a//b applicando l’algoritmo grafico relativo siamo in presenza di una retta x¥ passante per T¥1x e T¥2x t1a Çt1b T¥1x a Ç b (x’¥;x” ¥) x¥ t2a Çt2b T¥2x

Geometria descrittiva dinamica Intersezione tra piani paralleli – Casi particolari (6-3) Esempio 06 Allo stemmo modo (Es.06.3) assumendo la retta (r Î a) come retta di riferimento si disegna la retta s//r. Operando su p2+ costruiamo la proiezione s”//r” passante per T2s quindi per il piede di T2s conduciamo s’ che ci definisce T1s che dovrà appartenere a t1g essendo la retta s complanare alla retta r. Come mostra il disegno perché b sia parallelo ad a è necessario che t1b cambi luogo aumentando il valore dell’aggetto passando per T1s. Si può affermare, a questo punto, che essendo a//b applicando l’algoritmo grafico relativo siamo in presenza di una retta x¥ passante per T¥1x e T¥2x. t1a Çt1b T¥1x a Ç b (x’¥;x” ¥) x¥ t2a Çt2b T¥2x

Geometria descrittiva dinamica Intersezione tra piani paralleli – Casi particolari (7) Esempio 07 Siano assegnati i seguenti piani proiettanti come nell’Es. 07 (a Ð p1+, ^ p2+) e (b ^p1-, Ð p2-) Dato il parallelismo grafico, guardando l’immagine, viene subito da pensare che siamo in presenza di due piani paralleli In realtà il solo aspetto grafico della rappresentazione inganna perché trattasi di due piani incidenti come viene mostrato nella figura dell’Es.07.1. Infatti se estendiamo t1b intersechiamo t1a determinando la traccia T1x e, allo stesso modo, estendendo la t2b intersechiamo la traccia t2a determinando la traccia T2x Definite queste tracce possiamo identificare anche la retta x (x’; x”) quale retta dell’intersezione tra i due piani. Da ciò si evince che l’aspetto, esclusivamente grafico, può ingannare se non si completa con l’analisi delle didascalie che l’accompagnano e lo completano.

Geometria descrittiva dinamica Intersezione tra piani paralleli – Casi particolari (8) Esempio 08 Siano assegnati i seguenti piani generici come dell’Es. 08, collocati nel secondo diedro (a Ð p1-, Ð p2+) e (b Ð p1-, Ð p2+) Dato il parallelismo grafico e la collocazione nello stesso diedro, guardando l’immagine, viene subito da pensare che siamo in presenza di due piani paralleli. In realtà il solo aspetto grafico della rappresentazione inganna perché trattasi di due piani incidenti come viene mostrato nella figura dell’Es.08.1 Completando la lettura dell’immagine, unitamente alle didascalie degli elementi grafici, si evince subito che la traccia t2a interseca la traccia t2b determinando la traccia T2x. Mentre estendendo la t1a e la t1b si identifica la T1x. Determinate queste due tracce possiamo identificare la retto x(x’; x”) quale retta reale generica collocata nel primo diedro quale retta d’intersezione tra i due piani. Da questi esempi si evince che è assolutamente necessario analizzare in modo completo il disegno, sia esso negli elementi grafici che nelle corrispondenti didascalie per non incorrere né in errori grafici né in errori concettuali

Per maggiore completezza ed approfondimento degli argomenti si può consultare il seguente sito http://www.webalice.it/eliofragassi