Matrici Definizioni Matrici Rettangolari Quadrate 02/01/2019 Identica Diagonali principale e secondaria Diagonale Scalare triangolare Nulla Dello stesso tipo Uguali Riga/colonna trasposta 02/01/2019

Introduzione Matrici-definizione e terminologia Rettangolari Quadrate Operazioni con le matrici Principali proprietà delle operazioni tra matrici Definizione di inversa di una matrice quadrata 02/01/2019

Definizione e terminologia Si chiama matrice a m righe ed n colonne o anche matrice di tipo (m,n) un insieme formato da mxn numeri, reali o complessi, disposti in una tabella su m linee orizzontali dette righe e su n linee verticali dette colonne. Questi numeri (elementi di una matrice) sono rappresentati tutti da una stessa lettera minuscola munita di due indici, il primo dei quali indica la riga, i , mentre il secondo indica la colonna, j , a cui l’elemento appartiene. Una matrice viene indicata con una lettera maiuscola ed è rappresentata con il simbolo a11 a12 …. a1n a21 a22 …. a2n A= [ a ij ] = …. …. .… .… am1 am2 …. amn 02/01/2019

Matrici Rettangolari Definizione Una matrice si dice rettangolare se il numero delle righe è diverso dal numero delle colonne. Se diciamo m le righe ed n le colonne, per una matrice rettangolare si avrà che m è diverso da n. Facciamo un esempio concreto di matrice rettangolare 4 3 5 A = 1 9 2 02/01/2019

DEFINIZIONI una matrice si dice nulla se ha nulli tutti i suoi elementi, e si scrive: A = 0. Due matrici si dicono dello stesso tipo quando hanno lo stesso numero di righe e di colonne. In due matrici dello stesso tipo, gli elementi di ugual posto si dicono corrispondenti. Due matrici dello stesso tipo, A e B, si dicono uguali quando tutti gli elementi corrispondenti sono uguali, e si scrive: A = B Si chiama matrice (o vettore) riga una matrice con un’unica riga, cioè una matrice di tipo (1,n). Si chiama matrice (o vettore) colonna una matrice con un’unica colonna, cioè una matrice di tipo (m,1). 02/01/2019

Trasposta di una matrice Definizione Si chiama trasposta della matrice A, la matrice At: a11 a12 .... a1n a11 a21 …. am1 A = a21 a22 .... a2n At = a12 a22 …. am2 ... ... ... ... ... . …. …. …. …. am1 am2 ... amn a1n a2n …. amn Che si ottiene dalla A scambiando, ordinatamente, le righe con le colonne. 02/01/2019

Matrici quadrate Una matrice si dice quadrata se il numero delle righe è uguale al numero delle colonne In una matrice quadrata: a11 a12 …. a1n A = a21 a22 …. a2n …. …. … …. an1 an2 …. ann gli elementi a11, a22,…..,ann costituiscono la diagonale principale, mentre gli elementi a1n,….,an1 costituiscono la diagonale secondaria. In una matrice quadrata, due elementi aik e aki, che hanno gli stessi indici in ordine inverso, si dicono coniugati: i loro posti sono dunque simmetrici rispetto alla diagonale principale. 02/01/2019

Matrici Quadrate Definizione La matrice quadrata che ha uguali ad 1 tutti gli elementi delle diagonale principale mentre i rimanenti elementi sono nulli, si chiama matrice identica (o matrice unità) e si indica con I. Essa assume questa forma: 1 0 0 … 0 I = 0 1 0 … 0 0 0 1 … 0 … … … … … 0 0 0 … 1 02/01/2019

Matrici Quadrate Definizione a11 0 0 … 0 0 a22 0 … 0 0 0 a33 … 0 Una matrice quadrata: a11 0 0 … 0 0 a22 0 … 0 0 0 a33 … 0 … … … … … 0 0 0 … ann 02/01/2019

Che ha uguali a 0 tutti gli elementi che non si trovano sulla diagonale principale, si chiama matrice diagonale. Si osservi che la matrice identica è una particolare matrice diagonale, in cui è: a11 = a22 = … = ann = 1. Se poi risulta a11 = a22 = … = ann = a ± 0, la matrice diagonale si dice matrice scalare. Una matrice quadrata si dice triangolare se ha nulli tutti gli elementi al di sopra o al di sotto della diagonale principale. 02/01/2019

OPERAZIONI CON LE MATRICI SOMMA TRA MATRICI DEFINIZIONE Si chiama somma di due matrici dello stesso tipo A= [aik] e B = [bik] la matrice dello stesso tipo: A+B = [aik + bik], Ottenuta sommando gli elementi corrispondenti nelle due matrici date. ESEMPIO 1 4 0 5 8 3 6 12 3 + = 0 8 -5 2 1 -6 2 9 -11 02/01/2019

Matrice opposta di una data Definizione Si chiama matrice opposta di una matrice A = [aik] la matrice dello stesso tipo: -A = [-aik], che ha come elementi, rispettivamente, gli opposti di quelli di A Dalla definizione data, risulta che: A + ( - A ) = [aik] + [-aik] = [0ik]. Una volta definita la matrice opposta, è possibile definire anche la differenza tra matrici: 02/01/2019

Differenza tra matrici Definizione Si chiama differenza tra due matrici dello stesso tipo A e B la somma della matrice A con l’opposta della matrice B, cioè: A – B = A + ( - B ). Facciamo un esempio: 2 3 4 6 7 4 -4 -4 0 5 7 1 _ 8 1 0 = -3 6 1 4 3 1 1 4 0 3 -1 1 02/01/2019

Prodotto di una matrice per un numero Definizione Data una matrice A = [ aik ] e un numero reale r, si chiama prodotto della matrice A per il numero r (o del numero r per la matrice A) la matrice: Ar = rA = [ raik ] I cui elementi si ottengono moltiplicando per r <<tutti>> gli elementi di A. 02/01/2019

Facciamo un esempio Data la matrice 2 3 1 6 9 3 A = 1 0 2 , 3A = 3 0 6 0 3 5 0 9 15 02/01/2019

A tale scopo, prendiamo in esame inizialmente un caso particolare. Prodotto tra matrici Definiamo ora un’altra operazione tra matrici che interviene in molte applicazioni ( nell’ambito della geometria, della fisica,dell’economia,…). A tale scopo, prendiamo in esame inizialmente un caso particolare. Sia A una matrice riga e B una matrice colonna. Se A e B hanno lo stesso numero di elementi, si dà la seguente: 02/01/2019

Definizione Si chiama prodotto della matrice riga A, di tipo (1,p), per la matrice colonna B, di tipo ( p, 1 ), la matrice C, di tipo ( 1, 1 ) , costituita dal numero che si ottiene moltiplicando ogni elemento di A per l’elemento che in B gli corrisponde in sequenza, e poi sommando i prodotti ottenuti. Se dunque è b11 A = [ a11 a12 a13 ... a1p ] , B = b21 b31 …. bp1 02/01/2019

Risulta, per definizione: A*B = [a11b11+a12b21+a13b31+…+a1pbp1] Facciamo un esempio: -4 A = [ 1 5 2 ] , B = 3 7 A * B = [ 1* (-4)+5*3+2*7 ] = [ 25 ] 02/01/2019

(m,n), i cui elementi si ottengono nel modo seguente: Consideriamo ora la matrice A, di tipo ( m, p), e la matrice B, di tipo ( p, n ). In questo caso le colonne di A sono uguali al numero delle righe di B, e quindi si possono moltiplicare le matrici riga di A con le matrici colonna di B. Definizione Si chiama prodotto della matrice A, di tipo ( m,p ), per la matrice B, di tipo (p, n), la matrice C, di tipo (m,n), i cui elementi si ottengono nel modo seguente: L’elemento che in C occupa la iesima riga e la kesima colonna è il prodotto della iesima riga di A per la kesima colonna di B. 02/01/2019

cik = ai1b1k+ai2b2k+…+aipbpk Pertanto diciamo che se è: A = [ aik ] , ( con i = 1, 2, 3, … , m; k = 1, 2, 3, … , p ), B = [ bik ], ( con i = 1, 2, 3, …, p; k = 1, 2, 3, …, n ), Allora, per definizione, è: A * B = C = [ cik ], dove: cik = ai1b1k+ai2b2k+…+aipbpk 02/01/2019

Facciamo ora un esempio di prodotto di due matrici: 2 1 1 -2 2 1 1 -2 A = 3 5 e B = 6 3 7 -1 Poiché la matrice A è di tipo ( 3, 2 ) e la matrice B è di tipo ( 2, 2) , esse sono conformabili per il prodotto, ossia per esse si può eseguire il prodotto in quanto il numero di colonne della prima matrice è uguale al numero di righe della seconda matrice. Pertanto sarà: c11 c12 C = c21 c22 c31 c32 02/01/2019

c11=2*1 + 1*6=8 c12=2*(-2) + 1*3= -1 c21= 3*1 + 5*6 = 33 Dove: c11=2*1 + 1*6=8 c12=2*(-2) + 1*3= -1 c21= 3*1 + 5*6 = 33 c22=3*(-2) + 5*3=9 c31=7*1+(-1)*6=1 c32=7*(-2)+(-1)*3 = -17 E quindi: 8 -1 A * B = 33 9 1 -17 Bisogna ricordare che, in generale, il prodotto tra matrici non è commutativo. 02/01/2019

Definizione di inversa di una matrice quadrata Si chiama matrice inversa di una matrice quadrata A una matrice B ( se esiste ) che, moltiplicata a destra e a sinistra per A, dia come prodotto la matrice identica I. In altre parole: se la matrice B è inversa della A, per definizione, deve essere: A*B = B*A = I, E pertanto, la matrice B, se esiste, deve essere necessariamente quadrata e dello stesso ordine di A. Ogni matrice che ammetta un’inversa si dice invertibile, o non singolare, in caso contrario si dice singolare. 02/01/2019

Raffaela Scognamiglio Fine presentazione Docente : Raffaela Scognamiglio 02/01/2019