La circonferenza e il cerchio

La circonferenza e il cerchio La circonferenza è una linea chiusa formata da tutti i punti del piano che hanno la stessa distanza da un punto interno O. Questo punto O si chiama centro della circonferenza e la distanza fra i punti della circonferenza e il centro si chiama raggio della circonferenza. Centro O A B C raggio circonferenza cerchio O Il cerchio è la parte di piano racchiusa da una circonferenza che ne costituisce il contorno. Esso è quindi formato dalla circonferenza stessa e da tutti i punti interni ad essa; il centro e il raggio della circonferenza sono anche il centro e il raggio del cerchio.

Punti, rette e circonferenze I punti del piano su cui giace una circonferenza possono essere interni, appartenenti o esterni alla circonferenza. Si dicono: A O B r interni, se lo loro distanza dal centro è minore del raggio OA < r OB < r appartenenti alla circonferenza, se la loro distanza dal centro è uguale al raggio, OA = r OB = R esterni se la loro distanza dal centro è maggiore del raggio, OA > r OB > r B A r O r O A B

Punti, rette e circonferenze Una retta giacente sullo stesso piano di una circonferenza può essere secante, tangente o esterna ad essa. o r a H Retta secante la circonferenza: La retta ha in comune con la circonferenza due punti e la sua distanza dal centro è minore del raggio OH < r Retta tangente alla circonferenza: La retta ha in comune con la circonferenza un solo punto e la sua distanza dal centro è uguale al raggio OH = r La retta si dice tangente alla circonferenza e il punto in comune si chiama punto di tangenza. Tangente e raggio sono perpendicolari. o r H a o r H a Retta esterna alla circonferenza: La retta non ha in comune con la circonferenza alcun punto e la sua distanza dal centro è maggiore del raggio OH > r

Punti, rette e circonferenze Due circonferenze giacenti sullo stesso piano possono essere tra loro secanti, tangenti esternamente o internamente, una esterna all’altra, una interna all’altra e concentriche. r o’ o r’ Due circonferenze secanti : Le due circonferenze hanno due punti in comune e la distanza dei loro centri è minore della somma dei raggi OO’ < r + r’ o’ r’ o r Due circonferenze tangenti esternamente: Le due circonferenze hanno un solo punto in comune e la distanza dei loro centri è uguale alla somma dei raggi OO’ = r + r’ Due circonferenze tangenti internamente: Le due circonferenze hanno un solo punto in comune e la distanza dei loro centri è uguale alla differenza dei raggi OO’ = r’ - r o’ o r r’ }

Punti, rette e circonferenze Due circonferenze una esterna all’altra: Le due circonferenze non hanno alcun punto in comune e la distanza dei loro centri è maggiore della somma dei loro raggi OO’ > r + r’ o’ r’ o r } Due circonferenze una interna all’altra: Le due circonferenze non hanno alcun punto in comune e la distanza dei loro centri è minore della differenza dei raggi OO’ < r’ - r } r r’ o≡o’ Due circonferenze concentriche: Le due circonferenze sono una interna all’altra e hanno lo stesso centro OO’ = r’ - r

Parti di circonferenza e di cerchio arco corda A B D C O diametro Le parti di una circonferenza Si chiama arco la parte di circonferenza limitata d due punti A e B, detti estremi dell’arco, e si indica con AB. Si chiama corda ogni segmento che unisce due punti della circonferenza. Ogni corda passante per il centro si chiama diametro. Consideriamo una circonferenza di centro O e raggio r e in essa disegniamo una corda AB. Il triangolo AOB è isoscele, in esso l’altezza, la bisettrice e la mediana relativa alla base AB coincidono, quindi l’altezza OH è anche mediana, per cui AH = HB. r o B A H Il segmento OH è la distanza della corda dal centro. Possiamo concludere dicendo che: La perpendicolare condotta dal centro a una qualsiasi corda divide tale corda in due parti congruenti; essa è quindi asse della corda.

Parti di circonferenza e di cerchio B Settore circolare Le parti di un cerchio settore circolare: rappresenta la parte di cerchio limitata dall’arco AB e dai due raggi. O A B Segmento circolare a una base segmento circolare a una base: Ciascuna delle due parti di cerchio limitata dalla corda e dagli archi corrispondenti. segmento circolare a due basi: Parte di cerchio limitata da due corde. Segmento circolare a due basi O

Angoli al centro e alla circonferenza B b Si chiama angolo al centro di una circonferenza ogni angolo avente il vertice coincidente con il centro della circonferenza. α Particolari angoli al centro sono: O α A B ° quello retto formato da due semirette perpendicolari: α = 90° B A α α’ ° 2. quelli piatti formati da due semirette adiacenti, cioè dal diametro.

Angoli al centro e alla circonferenza Particolari angoli al centro sono: A=B α O 3. quello giro formato da due semirette sovrapposte: α = 360° O P A a B b Angoli alla circonferenza Si chiama angolo alla circonferenza un angolo che ha il vertice sulla circonferenza e i cui lati possono essere entrambi secanti oppure uno secante e l’altro tangente alla circonferenza. O P a b

Proprietà degli angoli al centro e degli angoli alla circonferenza α α’ Angoli al centro che insistono su archi congruenti sono tra loro congruenti. o α β A B In una qualsiasi circonferenza ogni angolo alla circonferenza è la metà dell’angolo al centro che insiste sullo stesso arco. o α B A α’’’ α’’ α’ Tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono tra loro congruenti.

Proprietà degli angoli al centro e degli angoli alla circonferenza Angoli alla circonferenza che insistono su archi congruenti sono tra loro congruenti. A B D O C In una circonferenza ogni angolo alla circonferenza che insiste su una semicirconferenza è un angolo retto. Tutti i triangoli aventi un vertice appartenente a una circonferenza e un lato coincidente con un diametro della circonferenza stessa sono triangoli rettangoli. α β O A B P Osserviamo che:

Il teorema di Pitagora e la circonferenza Se in una circonferenza inscriviamo un triangolo avente un lato coincidente con il diametro, questo triangolo è rettangolo e in esso ipotenusa=diametro c d Abbiamo quindi le seguenti relazioni:

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