2. I TRIANGOLI A cura di Mimmo CORRADO

IL TRIANGOLO Definizione Il triangolo è l’insieme dei punti interni ad una spezzata chiusa costituita da tre segmenti e dai punti appartenenti ai tre segmenti. Vertice A B C Angolo γ Lato a Lato b Angolo β Angolo α Lato c

CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI IN BASE AI LATI Triangolo Isoscele Triangolo Scaleno Triangolo Equilatero Lati diversi l’uno dall’altro Due lati congruenti Tre lati congruenti

CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI IN BASE AGLI ANGOLI Triangolo Acutangolo Triangolo Ottusangolo Triangolo Rettangolo Cateto 2 ipotenusa 90° Cateto 1 Tre angoli acuti Un angolo ottuso Un angolo retto

RETTE PERPENDICOLARI Definizione Due rette si dicono perpendicolari quando, intersecandosi, formano quattro angoli congruenti, ciascuno dei quali è detto angolo retto.

RETTA PERPENDICOLARE Teorema Per un qualunque punto P del piano è possibile tracciare una e una sola retta perpendicolare ad una retta assegnata. P r H

ASSE Definizione L’asse di un segmento AB è la retta perpendicolare al segmento AB passante per il suo punto medio. A B M

CIRCOCENTRO Definizione Il circocentro di un triangolo è il punto di incontro dei tre assi. Il circocentro è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo (circonferenza passante per i tre vertici). A B C M K N I

ALTEZZA Definizione L’altezza relativa ad un lato di un triangolo è il segmento di perpendicolare al lato condotto dal vertice opposto. A B C H

ALTEZZA Definizione L’ortocentro di un triangolo è il punto di incontro delle tre altezze. A B C H K N O

ALTEZZA Definizione La mediana relativa a un lato di un triangolo è il segmento che ha per estremi un vertice e il punto medio del lato opposto. A B C M

ALTEZZA Definizione Il baricentro di un triangolo è il punto di incontro delle tre mediane. A B C M K N I

ALTEZZA Definizione L’incentro di un triangolo è il punto di incontro delle tre bisettrici L’incentro è il centro di una circonferenza inscritta alla circonferenza. A B C M K N I

In simboli si scrive: F  FI. ISOMETRIA Definizione Due figure F e FI si dicono congruenti o isometriche se esiste un movimento rigido che porta la figura F a coincidere punto per punto con la figura FI. F F FI In simboli si scrive: F  FI.

ISOMETRIA Definizione Due triangoli T e TI si dicono congruenti o isometrici se esiste una isometria che associa ordinatamente ai vertici del primo triangolo i vertici del secondo e di conseguenza, ai lati del primo triangolo i lati del secondo e agli angoli del primo triangolo gli angoli del secondo. Pertanto due triangoli T e TI sono congruenti se hanno i tre angoli e i tre lati corrispondenti congruenti. B A C A’ B’ C’

III CRITERIO DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti due lati e l’angolo compreso. 1. AB  A’B’ 2. AC  A’C’ 3. A  A’ ABC  A’B’C’ Dimostrazione Per l’ipotesi 3: A  A’ , è possibile trasportare, con un movimento rigido, l’angolo A sull’angolo A’, in modo che la semiretta AC si sovrapponga alla semiretta A’C’ e la semiretta AB si sovrapponga alla semiretta A’B’. Per l’ipotesi 1: AB  A’B’ , B andrà a sovrapporsi a B’. Per l’ipotesi 2: AC  A’C’ , C andrà a sovrapporsi a C’. I tre vertici dei due triangoli si sovrappongono, pertanto si può concludere che i triangoli sono congruenti. B A C C A’ B’ C’ B A

III CRITERIO DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti un lato e i due angoli a esso adiacenti. 1. AB  A’B’ 2. A  A’ 3. B  B’ ABC  A’B’C’ Dimostrazione per assurdo Supponiamo, per assurdo, che i due triangoli non siano congruenti: allora si avrà che: AC > A’C’ o AC < A’C’. Consideriamo, pertanto, il caso AC > A’C’ (si ragiona analogamente per l’altro caso). Ciò vuol dire che esiste un punto P, interno al lato AC, tale che AP  A’C’. I due triangoli ABP e A’B’C’, per il 1° C.C.T., sono congruenti. Segue che gli angoli ABP  B’. Ma per ipotesi gli angoli B  B’. Quindi per la p. transitiva si ha che gli angoli ABP  B. Ma ciò è un ASSURDO perché, essendo P interno ad AC, l’angolo ABP < B. B A C Si conclude pertanto che AC  A’C’. Pertanto, per il 1° C.C.T., i due triangoli sono congruenti. A’ B’ C’ P

TRIANGOLO ISOSCELE Teorema Se un triangolo ha due lati congruenti Il triangolo ha due angoli congruenti Dimostrazione C Per ipotesi si ha AC  BC Tracciando la bisettrice dell’angolo C si ha: Per il I° criterio di congruenza, i due triangoli e sono congruenti. Pertanto si ha la tesi, cioè: . A B H

TRIANGOLO ISOSCELE Teorema La bisettrice dell’angolo compreso fra i due lati congruenti passa per il punto medio del lato opposto Se un triangolo è isoscele Dimostrazione C Per ipotesi si ha AC  BC Tracciando la bisettrice dell’angolo C si ha: Per il I° criterio di congruenza, i due triangoli e sono congruenti. Pertanto si ha la tesi, cioè: AH  BH . A B H

TRIANGOLO ISOSCELE Teorema La bisettrice dell’angolo compreso fra i due lati congruenti cade perpendicolarmente al lato opposto Se un triangolo è isoscele Dimostrazione C Per ipotesi si ha AC  BC Tracciando la bisettrice dell’angolo C si ha: Per il I° criterio di congruenza, i due triangoli e sono congruenti. Pertanto si ha: A B H Ma essendo: Si ha:

III CRITERIO DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti i tre lati. 1. AB  A’B’ 2. BC  B’C’ 3. AC  A’C’ ABC  A’B’C’ Dimostrazione Trasportiamo il triangolo ABC nel semipiano limitato dalla retta A’B’ e non contenente C’, facendo coincidere AB con A’B’. Congiungiamo il punto C con C’’. CC’’ interseca A’B’ nel punto D. C B Si possono presentare tre casi: A’ B’ C’ I CASO - Il punto D è interno a A’B’ Il triangolo A’C’C’’ è isoscele perché A’C’  AC  A’C’’ . Pertanto gli angoli A’C’C’’  A’C’’C’ . Il triangolo B’C’C’’ è isoscele perché B’C’  BC  B’C’’ . A A   B Pertanto gli angoli B’C’C’’  B’C’’C’ . D Quindi gli angoli A’C’B’  A’C’’B’ perché somma di angoli congruenti. Per la p. transitiva gli angoli A’C’B’  ACB. Per il 1° C.C.T., i due triangoli ABC  A’B’C’ . C’’

III CRITERIO DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti i tre lati. 1. AB  A’B’ 2. BC  B’C’ 3. AC  A’C’ ABC  A’B’C’ Dimostrazione Trasportiamo il triangolo ABC nel semipiano limitato dalla retta A’B’ e non contenente C’, facendo coincidere AB con A’B’. Congiungiamo il punto C con C’’. CC’’ interseca A’B’ nel punto D. C A A’ B’ C’ II CASO - Il punto D è esterno a A’B’ Il triangolo B’C’C’’ è isoscele perché B’C’  BC  B’C’’ . Pertanto gli angoli B’C’C’’  B’C’’C’. Il triangolo A’C’C’’ è isoscele perché A’C’  AC  A’C’’ . B  B D Pertanto gli angoli A’C’C’’  A’C’’C’ . A  Quindi gli angoli A’C’B’  A’C’’B’ perché differenza di angoli congruenti. Per la p. transitiva gli angoli A’C’B’  ACB. Per il 1° C.C.T., i due triangoli ABC  A’B’C’ . C’’

III CRITERIO DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti i tre lati. 1. AB  A’B’ 2. BC  B’C’ 3. AC  A’C’ ABC  A’B’C’ Dimostrazione Trasportiamo il triangolo ABC nel semipiano limitato dalla retta A’B’ e non contenente C’, facendo coincidere AB con A’B’. CC’’ interseca A’B’ nel punto D. A A’ B’ C’ III CASO - Il punto D  A’ Il triangolo B’C’C’’ è isoscele perché B’C’  BC  B’C’’ . C Pertanto gli angoli A’C’B’  A’C’’B’ . Per la p. transitiva gli angoli A’C’B’  ACB. B D  B A  Per il 1° C.C.T., i due triangoli ABC  A’B’C’ . C’’

DISUGUAGLIANZE GEOMETRICHE Teorema Se in un triangolo due lati non sono congruenti, anche gli angoli opposti non sono congruenti, e l’angolo opposto al lato maggiore è maggiore dell’angolo opposto al lato minore. C A B

DISUGUAGLIANZE GEOMETRICHE Teorema Se in un triangolo due angoli non sono congruenti, anche i lati opposti a essi non sono congruenti, e il lato opposto all’angolo maggiore è maggiore del lato opposto all’angolo minore. C A B

DISUGUAGLIANZE GEOMETRICHE Teorema In ogni triangolo ogni lato è minore della somma degli altri due. A B C AB < BC + AC BC < AB + AC AC < AB + BC C 5 cm 4 cm A B 10 cm

DISUGUAGLIANZE GEOMETRICHE Teorema In ogni triangolo ogni lato è maggiore della differenza degli altri due. A B C AB > BC - AC BC > AB - AC AC > AB - BC C 5 cm 4 cm A B 10 cm