Dualità a.a.2008-2009 12/01/2019

Lemma di Farkas Dim. 12/01/2019

Forme alternative al lemma di Farkas da 12/01/2019

Interpretazione geometrica y -y 12/01/2019

Condizioni KKT(Karush-Kuhn-Tucker) Caso di disuguaglianza: Sia sol poss, condizioni nec e suff. per l’ottimalità 12/01/2019

Vincoli di disuguaglianza Forma equivalente delle KKT Ammissibilità primale Ammissibilità duale Complementary slackness 12/01/2019

esempio min x1 + x2 4 x1 + 3x2  12 6 x1+ x2  6 x1  0 x2  0 12/01/2019

Condizioni KKT - vincoli di uguaglianza [da ] essendo 12/01/2019

Ottimalità di una s.b.p. < La 1) è soddisfatta automaticamente. La 2) diventa: Per soddisfare le 3) La 2) è soddisfatta ponendo 12/01/2019

Determinazione dei Moltiplicatori di Lagrange dalla tavola del simplesso Il moltiplicatore di Lagrange corrisp. al vincolo . Si ottiene alla riga (m+1) col. j della tavola del simplesso. Il vettore lagrangiano corrisp. ai vincoli La costruzione di u : dalle tavole del simplesso modificato. 12/01/2019

Dualità forma simmetrica ( o canonica) Primale Duale 12/01/2019

esempio  x2 a1 min z=6 x1 + 8 x2 e1 1) 3 x1 + x2  4 c 1 2 x2 a1 min z=6 x1 + 8 x2 1) 3 x1 + x2  4 2) 5 x1+ 2 x2  7 primale x1  0 x2  0 max =4 1 +7  2 3  1 + 5  2  6  1+ 2  2  8 duale  1  0  2  0 e1 z a2 a1 e2 a2 2 1 b  x1 b 12/01/2019

Forma asimmetrica di dualità Dato un p.p.l.  primale duale  12/01/2019

Scrivere il duale del seguente ppl e risolvere graficamente 1) 1) 2) 3) 3) 2) < < 12/01/2019

Da forma asimmetrica a forma simmetrica ] primale duale < 12/01/2019

primale duale forma simmetrica forma asimmetrica 12/01/2019

Esempi di problemi e loro duale forma simmetrica forma asimmetrica Problema della dieta(casa farmaceutica vuole produrre in pillole i principi nutritivi). determinare i prezzi unitari positivi competitivi con i costi reali. Problema dei trasporti (opera di intermediazione) 12/01/2019

Duale del Duale =  (min e trasposto) Duale  Lemma: il duale del duale è il primale 12/01/2019

Forme miste di dualità P D Si converte il P. in forma simmetrica, si sostituisce con , Si considera 12/01/2019

Tavole di conversione P. di massimo P.di minimo vincoli variabili 12/01/2019

min max esempio duale primale 12/01/2019

Relazioni primale-duale Lemma 1:Proprietà di dualità debole. Siano x e  sol.poss.per Esempio: P= min 6 x1 + 8 x2: 3 x1 + x2  4, 5 x1+ 2 x2  7, x1, x2  0 D= max 4 1 +7  2:3  1 + 5  2  6,  1+ 2  2  8,  1,  2  0  x0 =(7/5,0) 0 =(2,0) z0=8.4  0=8  8   *, z* 8.4 12/01/2019

Corollario1: Se x* e * sono soluzioni possibili per il primale e duale e se  x* e * sono soluzioni ottime per i rispettivi problemi Corollario2: L’illimitatezza per un problema implica l’impossibilità per il suo duale (non nec. vale il viceversa) Dim. Se P non limitato, sia 0 una sol poss. di D. Deve essere M arbitrariamente grande  duale impossibile. 12/01/2019

Esempio di primale illimitato e duale impossibile -1 1 impossibile illimitata 12/01/2019

non vale necessariamente il viceversa Esempio: Primale impossibile  Duale impossibile 12/01/2019

Dualità e condizioni KKT dalle 3) massimizza simmetricamente minimizza 12/01/2019

Dualità e condizioni di ottimalità Lemma 2: proprietà di dualità forte: se P (o D) ha soluzione  anche D(o P) ha sol ottima ottima finita finita e i valori delle f.o. coincidono Da Corollario 1 e Lemma 2 condizione nec e suff perché x e  siano sol ottime per primale e duale è che cTx= Tb 12/01/2019

da Alg. del simplesso  problema duale Nella (m+1)- esima riga: i multipli 1. . . . . m delle m righe Ax-xs=b sottratti dalla f.o. per x cT- TA per xs T per il termine noto - Tb L’ammissibilità duale richiede: T 0 per le var xs TA  cT per le var x Se P ha ottimo finito  i moltiplicatori del simplesso T=cBT B-1 soddisfano le condizioni di ammissibilità duale se x sol ott per P  (con - Tb termine noto riga m+1) dalla proprietà di dualità debole  max Tb t.c. {TA  cT , 0} PROBLEMA di PL DUALE 12/01/2019

Da proprietà di Dualità Forte  Importante proprietà: Dato P: {Min cTx: Ax  b, x  0} e D:{Max Tb: TA  cT, T  0} Sia HD forma omogenea del duale. HD: { Max Tb: TA  0 , T  0} Sia P’: { Min 0Tx: Ax  b, x  0} il duale di HD P’ ha la stessa regione ammissibile di P Se HD è illimitato  P è impossibile se P è impossibile  HD deve essere illimitato (= 0 è sol poss di HD, non può avere ottimo finito, per dualità forte, anche P avrebbe ottimo finito)   12/01/2019

Corollario 3 Il problema primale è impossibile se e solo se la forma omogenea del problema duale è illimitata (e viceversa). P: impossibile HD: illimitata 12/01/2019

Teorema 1: Teorema Fondamentale di Dualità Per PPL primale e duale, una e una sola delle seguenti proprietà è vera. 1. Entrambi i problemi ammettono soluzione ottima e con 2. Se uno dei problemi (primale o duale) ha soluzione ottima illimitata, allora l’altro problema (duale o primale) è impossibile. 3. Entrambi i problemi sono impossibili. 12/01/2019

la dualità non è completamente simmetrica P ottimo finito  D ottimo finito P/D illimitato  D/P impossibile P/D impossibile  D/P illimitato o impossibile P/D impossibile  D/P illimitato in HD 12/01/2019

principio di supervisione ( per P e D in forma simmetrica) sol. ott. sse Con condizioni KKT: condizione equivalente al principio di supervisione  Teor.2 12/01/2019

Teorema2 Complementarietà delle variabili di slack P e D in forma simmetrica sol.pos., sono ottime sse Var  in un problema vincolo di = nel problema duale Slack in base(vincolo non di=) var =0 nel problema duale Slack duale nulla Slack duale in base, Var primale nulla Slack primale nulla Slack primale in base, Var duale nulla 12/01/2019

Esempio di soluzione di un ppl attraverso il duale 12/01/2019

Sintesi lemma di Farkas  condizioni KKT Con vincoli di uguaglianza Con vincoli di disuguaglianza  Problema duale min max 12/01/2019