Si definisce la velocità di diluizione specifica (D) come il rapporto tra il flusso di terreno (F) e il volume di brodo (V) presente nel vessel: 30) D = F/V La variazione nel tempo (dN/dt) della quantità di individui sarà data dall’equazione: 31) dN/dt = -DN Nel caso in cui siano presenti cellule vitali, queste si opporranno alla diluizione con una crescita pari a μN. L’equazione della variazione del numero di cellule rispetto al tempo diventerà: 32) dN/dt = μN - DN Nelle fermentazioni continue i flussi in entrata e in uscita sono mantenuti uguali: F = F’. In questo modo il volume V non varia nel tempo e, a flusso costante, anche D è costante nel tempo.

STATO STAZIONARIO Quando le cellule nel fermentatore si riproducono alla stessa velocità (cellule IDENTICHE) con cui vengono sottratte dal flusso in uscita avremo: 33) μ = D E la quantità di biomassa nel vessel non cambia nel tempo: 34) dN/dt = 0 In queste condizioni il sistema raggiunge quello che si definisce come lo stato stazionario. Affinché si raggiunga lo stato stazionario, è anche necessario che i parametri che influenzano la velocità di crescita, come la temperatura, il pH, l’aerazione, ecc., vengano mantenuti costanti. WASHOUT: 0 < D < μmax Per D = μmax si ha la D critica (Dc), il limite di velocità oltre la quale si verifica il washout. La Dc, come la μmax, è una costante dell’organismo e dipende dalle condizioni di coltivazione e dalla composizione del terreno.

Concentrazione del substrato Se la velocità di crescita dipende solo da uno dei componenti del terreno, siamo nelle condizioni in cui può valere l’equazione di Monod: 26) μ = μmaxS/(Ks+S) Allo stato stazionario μ = D, quindi possiamo sostituire μ nell’equazione di Monod e ricavare 35) D = μmaxS/Ks+S Da questa equazione si può ricavare la concentrazione del substrato allo stato stazionario: 36) S = DKs / (μmax – D)

Per valutare la quantità X di biomassa bisogna conoscere la resa (Y), che è definita dalla quantità di substrato necessaria per produrre una certa quantità di biomassa: 37) Y = X / S La velocità con cui si produce biomassa (dX/dt) sarà uguale alla velocità con cui si consuma il substrato, D(S0-S), per il fattore di resa Y: 38) dX/dt = DY(S0 - S) Sappiamo che, per analogia con la 1, che: 39) dX/dt = μX E che allo stato stazionario μ = D. Sostituendo avremo: 40) μX = DY(S0 - S) E, di conseguenza: 41) X = Y(S0 - S) A questo punto possiamo introdurre la concentrazione del substrato (Monod): 42) X = Y[S0 - DKs / (μmax – D)] Ovvero: X = YS0 - YDKs / (μmax – D) Per D molto piccole la quantità di biomassa si approssima alla conversione totale del substrato: X = YS0 Per valori di D prossimi a μmax, X tende a zero, come ci si aspetta all’approssimarsi del washout.

Autoregolazione e monostabilità S = DKs / (μmax – D) e X = YS0 - YDKs / (μmax – D)

Nel processo con ricircolo di biomassa il washout si sposta a valori di D più elevati rispetto al valore teorico μmax, perché l’apporto di cellule nel vessel non è dovuto alla sola crescita, ma anche al flusso addizionale (αX) di ricircolo: 45) DX = μX + αX Dove μ + α può essere maggiore di μmax. Questo comporta uno spostamento dei valori operativi di D oltre al valore di Dc. Inoltre, per ogni D, la quantità di biomassa presente nel vessel sarà maggiore nel processo con ricircolo della quantità dovuta al flusso in entrata αX, consentendo una maggiore capacità di trasformazione del substrato nel prodotto.