Modelli politropici

Richiamiamo alle equazioni di struttura: Con condizioni al contorno: R=0, L=0 a M=0 =0, T=0 a M=Ms A queste vanno aggiunte 3 relazioni per P, ,  (assumendo che 1) il materiale stellare si comporta come un gas ideale con pressione di radiazione trascurabile, e 2) che le leggi per l’opacità e la generazione di energia siano approssimabili da leggi di potenza) Dove , ,  sono costanti e 0 e 0 sono costanti per una fissata composizione chimica.

Cos’è un modello stellare semplificato Le equazioni di struttura stellare sono 7, non lineari, accoppiate e quindi devono essere risolte simultaneamente. Hanno due punti con condizioni al contorno definite. Soluzioni semplici (cioe’ analitiche) si basano sull’assunzione che esistano delle quantità che variano lentamente dal centro della stella fino alla superficie e che quindi dipendano poco da r o m. - E’ difficile trovare tali quantità. Ad esempio, T varia di 3 ordini di grandezza e P di 14! L’unica cosa che può essere assunta come uniforme è la composizione chimica, nell’ipotesi che I processi convettivi rimescolino il contenuto della stella. Modelli politropici: si utilizza una relazione semplice tra la pressione e la densità e si assume che sia valida su tutta la stella. Allora le equazioni per l’equilibrio idrostatico e la conservazione della massa possono essere risolte indipendentemenete dalla altre 5. Prima dell’avvento dei computer, I modelli politropici giocavano un ruolo importante nelle sviluppo delle teorie di struttura stellare.

Modelli politropici Si parte dall’equazione di equilibrio idrostatico (in funzione di r) La si moltiplica per r2/ e si deriva rispetto ad r A destra si sostituisce l’equazione di conservazione della massa: Si prende ora un’equazione di stato del tipo Dove si assume per convenzione che l’indice adiabatico sia = 1+1/n, K sia una costante mentre n è l’indice politropico. La pressione è funzione della sola densità. Per i gas perfetti in genere si usa l’espressione: Questo implica una relazione tra pressione e Temperatura.

Si ottiene così la seguente equazione: La soluzione di questa equazione differenziale per (r) con 0 ≤ r ≤ R è chiamata politropa e richiede due condizioni al contorno (centro e superficie). Una politropa è definita da 3 parametri: K, n, e R. Una volta risolta questa equazione, è possibile calcolare le restanti quantità fisiche in funzione del raggio, come la pressione, l’energia, o la densità media. Per trovare la soluzione, conviene introdurre una variabile adimensionale  definita tra 0 ≤  ≤ 1 con: Tradizionalmente, c si assume la densità centrale della stella. Si arriva quindi alla equazione di Lane-Emden di indice n:

Soluzioni dell’equazione di Lane-Emden E’ possibile risolvere l’equazione analiticamente solo per 3 valori dell’indice n Queste soluzioni hanno le seguenti condizioni al contorno al centro: i.e. r=0 , =c

Soluzioni numeriche per l’equazione di Lane-Emden per (da sinistra a destra) n = 0,1,2,3,4,5 Da confrontare con I casi analitici noti Le soluzioni decrescono monotonicamente e si ha =0 a = R (i.e. il raggio della stella). Per n ≥ 5 si hanno casi non fisici di stelle di raggio infinito.

Per n < 5 la soluzione diventa minore di 0 per un valore finito di  e quindi si può stimare il raggio R. . Nella tabella qui sotto sono riportati I valori dei raggi stellare in funzione di n: n R 2.45 3.33  10-1 1 3.14 1.01  10-1 2 4.35 2.92  10-2 3 6.90 6.14  10-3 4 15.00 5.33  10-4 Dove: Per n=0 stella a densità costante  = c,per n=1  non dipende da c e quindi il raggio non dipende da densità centrale.

‘Taratura’ dei modelli politropi. Prendiamo un modello con n=3 per il Sole (conosciuto come il modello standard di Eddington). Per i dati sul Sole adottiamo il cosiddetto modello standard del Sole (SSM - Bahcall 1998, Physics Letters B, 433, 1). Prima di tutto convertiamo le quantità adimensionali raggio  e densità  a quantità fisiche in m e kg m-3. Per determinare il fattore di scala  ricordiamo che alla superficie (=0) abbiamo Dove R è il valore del raggio stellare (il sole nel nostro caso)mentre R èil valore di  alla superficie. http://www.sns.ias.edu/~jnb/SNdata/solarmodels.html I dati dell’SSM sono disponibili al:

Ora bisogna determinare la massa in funzione del raggio Ora bisogna determinare la massa in funzione del raggio. L’equazione di conservazione della massa dà: Integrando e sostituendo: r =  e  = c n Supponiamo di sapere M e R allora possiamo ricavare un’espressione per la struttura interna: Da cui si ricava c

Sapendo  e c si può calcolare la Massa in funzione di  e quindi di r (r = ), la densità  = c  n e la pressione P = K  (n+1)/n. K può essere determinato direttamente dall’equazione Infine, la Temperatura può essere ottenuta eguagliando l’equazione di stato di un gas perfetto con l’equazione di stato politropa: In figura, il modello politropo per il Sole con n=3 viene confrontato con il modello standard. L’accordo è particolarmente buono in prossimità del centro della Sole buono mentre nelle regioni esterne convettive la differenza è significativa.

Nella tabella vengono riportati per confronto I valori ottenuti tramite il modello politropo e il modello standard: n=3 SSM c 7.65  104 kgm-3 1.52  105 kgm-3 Pc 1.25  1016 Nm-2 2.34  1016 Tc 1.18  107 K 1.57  107 K