Parte II: Cinematica del punto Corso di Fisica Generale Beniamino Ginatempo Dipartimento di Fisica – Università di Messina Parte II: Cinematica del punto Il concetto di Moto Il concetto di Velocità e il moto uniforme Il concetto di Accelerazione Integrazione delle equazioni del moto Composizione e decomposizione dei movimenti Moto circolare uniforme

Il concetto di Moto Limitandoci a discutere il moto di un punto materiale (trascurando cioè le rotazioni e le deformazioni dei corpi), si dice che una particella è in moto quando la sua posizione, descritta da un opportuno vettore, cambia al variare del tempo Tuttavia, un passeggero seduto su un treno è in moto rispetto alla stazione, ma è fermo rispetto al suo sedile. Voi siete fermi rispetto a questa lavagna ma siete in moto con essa e con tutta la Terra rispetto al Sole. L’ultima considerazione ci fa capire come il concetto di Moto sia puramente relativo: Non basta dire che un corpo si muove, ma bisogna anche specificare rispetto a quale punto di osservazione il corpo stesso sia in moto. Per specificare il punto di osservazione è opportuno fissare un sistema di riferimento e stabilire che l’osservatore del moto (o della quiete) è solidale con l’origine di questo O t1 t5 t3 t4 t2 t6

Nella nostra intuizione il moto non avviene a scatti come nella animazione precedente, ma avviene con continuità: il corpo occupa tutti gli infiniti punti intermedi fra due posizioni Il luogo dei punti occupati da un punto materiale durante il suo moto si chiama traiettoria Se il moto avviene lungo una sola direzione allora la traiettoria è ovviamente una retta e il moto si dice rettilineo. Se la traiettoria è curva e giace su un piano allora il moto si dice piano (si pensi ad una automobile che percorre una curva). Se la traiettoria non giace su un piano ma è sghemba nello spazio (come il volo di un’ape) si parla di moto tridimensionale Si può descrivere il moto di un punto materiale studiando la funzione cioè pensando la posizione del punto come una funzione (continua) del tempo. O Si definisce spostamento il vettore

Se pensiamo a due posizioni vicinissime lungo la traiettoria, lo spostamento sarà un vettore di modulo piccolissimo, e la sua direzione cambierà O O Nel limite matematico in cui lo spostamento è un infinitesimo la sua direzione sarà quella della tangente nel primo punto

Il concetto di velocità Se consideriamo spostamenti infinitesimi, tali cioè che le due posizioni siano infinitamente vicine, data la continuità del moto le due posizioni saranno raggiunte in due istanti di tempo infinitamente vicini, che differiscono quindi di una quantità dt Facendo il rapporto fra il modulo dello spostamento ed il tempo impiegato a percorrerlo si ottiene la velocità media con la quale il punto materiale ha percorso quella distanza. Facendo il rapporto fra lo spostamento infinitesimo ed il tempo infinitesimo impiegato si ottiene la velocità istantanea Dal punto di vista dell’analisi matematica la precedente espressione è una derivata Si noti come il vettore velocità abbia la stessa direzione e lo stesso verso del vettore spostamento: la velocità è quindi sempre tangente alla traiettoria del punto

Per comprendere il significato di velocità istantanea, si pensi ad un centometrista: Allo sparo dello starter il corridore è ancora fermo, quindi la sua velocità è nulla; Successivamente egli si mette in moto e la sua velocità cresce fino a raggiungere il valore massimo possibile che sarà mantenuto per un po’; 3) Quindi se la stanchezza prenderà il sopravvento la velocità comincerà a diminuire

Moto uniforme Può accadere che la velocità non cambi nel tempo (costante). In tal caso il moto si dice RETTILINEO UNIFORME Si noti che, visto che la velocità è un vettore, dire che essa è costante equivale a dire che non cambiano al trascorrere del tempo il suo modulo, né la sua direzione né il suo verso. Di conseguenza la traiettoria del moto uniforme deve essere rettilinea. Come vedremo sono possibili moti in cui non cambi mai solo il modulo della velocità: Ciò comporta che la traiettoria del moto sia circolare. In tal caso si parla di moto CIRCOLARE UNIFORME Opposto al concetto di moto uniforme è il concetto di moto vario o accelerato

Il concetto di accelerazione Abbiamo visto come la velocità sia in generale una funzione del tempo, e come la nostra intuizione ci suggerisca che essa sia una funzione continua. Se la velocità è una funzione continua essa può essere anche derivabile (vedremo che nel caso di urti ciò non è sempre vero). L’accelerazione è definita come la derivata della velocità Di conseguenza l’accelerazione è anche la derivata seconda della posizione È facile rendersi conto che l’accelerazione ha direzione e verso della differenza di velocità in due istanti successivi: se la traiettoria si incurva l’accelerazione è diretta verso il centro di curvatura. Cliccare per Simulazione

Integrazione delle equazioni del moto La conoscenza della legge oraria è lo scopo principale della cinematica Assegnate velocità, accelerazioni e specificate opportune condizioni iniziali si può ricavare la legge oraria integrando una equazione differenziale: l’equazione del moto Il caso più semplice è quello del moto uniforme, naturalmente: Equazione del moto Condizioni iniziali La funzione che risolve l’equazione differenziale è evidentemente un polinomio di 10 grado. Si ha

Moto uniformemente accelerato (caduta dei gravi) Il caso più semplice di moto accelerato è quello in cui l’accelerazione è costante (moto uniformemente accelerato) In Natura l’esempio più ovvio è quello dei corpi (gravi) che cadono per effetto della accelerazione di gravità g=9.806 m sec-2. Consideriamo dapprima il caso rettilineo. In tal caso l’equazione del moto è una equazione differenziale del secondo ordine e, pertanto, necessitano 2 condizioni iniziali Equazione del moto: Condizioni iniziali: In tal caso l’altezza h(t) deve essere un polinomio di secondo grado. Si ha

Naturalmente, il caso del corpo che cade partendo da fermo corrisponde al caso Il grave raggiunge il suolo (h=0) dopo t0 secondi Nel caso di un corpo scagliato verso l’alto invece la velocità iniziale è positiva (v0>0) Il corpo raggiungerà una altezza massima quando la sua velocità si azzererà Altezza massima N.B. Abbiamo risolto un problema di massimo: abbiamo cercato lo zero della derivata prima ed il valore della funzione in quel punto

Composizione dei movimenti Consideriamo ora sempre il caso del moto uniformemente accelerato ma immaginiamo la velocità iniziale diretta lungo una direzione differente dalla accelerazione (moto piano) In tal caso conviene ragionare in termini di vettori e decomporre l’equazione del moto nelle sue componenti, approfittando del fatto che, di solito, le equazioni del moto sono lineari. che ha senso solo se visto che i versori sono linearmente indipendenti Condizioni iniziali

Dall punto di vista della Geometria Analitica le equazioni per x(t) e y(t) sono le equazioni parametriche di una curva. Questa può essere determinata eliminando il parametro t Cioè la traiettoria (la cui equazione è proprio l’ultima trovata) è una parabola con la concavità rivolta verso il basso (conseguenza del fatto che l’accelerazione di gravità è diretta verso il basso). È interessante notare come dalle equazioni trovate al variare dei parametri (x0,y0) e (v0x,v0y) possano trovare una corretta descrizione tanti fenomeni che accadono in natura

Fissando, senza perdita di generalità, x0=0 Caduta di un grave da altezza h0 h0 t=0 Grave scagliato verso l’alto h0 t=0 v0 t=t1 v(t1)=0 t=t3 t=t2 h0 t=t2 h0 t=t1

Corsa verso il burrone (o paracadutista senza attrito) Salto dal trampolino x=0 y x h0 v0 v0

Clicca per simulazione Moto del proiettile y v0 a x=0 x=Xmax a=450 Massima gittata, in assenza di attrito Clicca per simulazione

Moto Circolare Nel moto circolare il punto materiale resta ad una distanza fissa dal centro della traiettoria (circonferenza) Individuando la posizione in coordinate polari si avrà dove R resta costante mentre l’angolo a varia nel tempo R a=wt Se il moto è uniforme la velocità angolare w, cioè la derivata di a rispetto al tempo, è costante Integrando con la condizione iniziale a(t=0)=0

È facile vedere che il modulo della velocità è costante: È facile anche vedere che l’accelerazione è costante in modulo e diretta sempre verso il centro (accelerazione centripeta) Si dice periodo il tempo T che il punto impiega a compiere un giro completo e deve essere