Le primitive di una funzione Diciamo che una funzione è una primitiva di un’altra funzione in un dato intervallo se in ogni punto di Per esempio: se allora perché

L’integrale indefinito Ogni funzione ha infinite primitive che differiscono tra loro per una costante; relativamente ai precedenti esempi: se tutte le primitive sono con c costante reale. L’insieme di tutte le primitive di una funzione si dice integrale indefinito di e si indica con il simbolo:

L’integrale indefinito ESEMPI L’insieme delle primitive della funzione è: perché L’insieme delle primitive della funzione è: perché

L’integrale indefinito Per trovare l’integrale indefinito delle funzioni elementari dobbiamo in un certo senso invertire le regole di derivazione. Ricordiamo le primitive di alcune tra le principali funzioni.

L’integrale indefinito ESEMPI 1) 2) 3) 4)

I metodi di integrazione Le prime proprietà dell’integrale indefinito e il metodo di scomposizione.  L’integrale del prodotto di una funzione per una costante è uguale al prodotto della costante per l’integrale della funzione. In simboli  L’integrale della somma algebrica di due o più funzioni è uguale alla somma algebrica degli integrali delle singole funzioni. In simboli Queste due proprietà ci dicono che l’integrale indefinito è un operatore lineare, cioè:

I metodi di integrazione Il metodo di integrazione che sfrutta le precedenti proprietà prende il nome di metodo di scomposizione. ESEMPI 1. 2. 3.

I metodi di integrazione L’integrazione delle funzioni la cui primitiva è una funzione composta Dalla regola di derivazione delle funzioni composte: Ricaviamo, leggendo in senso inverso: Per integrare una funzione composta dobbiamo quindi avere come fattore moltiplicativo la derivata del suo argomento.

I metodi di integrazione ESEMPIO è la funzione potenza il cui argomento è , la derivata di è . Possiamo quindi applicare la regola: Infatti: cioè

I metodi di integrazione ALTRI ESEMPI 1. Utilizziamo la regola di integrazione della potenza: dove e

I metodi di integrazione 2. Dobbiamo riferirci alla regola di integrazione di dove e Per avere dobbiamo moltiplicare, e quindi dividere per 2:

I metodi di integrazione ALCUNI CASI PARTICOLARI Per procedere più velocemente nel calcolo degli integrali indefiniti conviene ricordare le seguenti regole, che si deducono da quelle di integrazione delle funzioni composte: essendo k=3 otteniamo essendo k=5 otteniamo

L’integrale definito L’area di una regione di piano dal contorno curvilineo Consideriamo l’area della regione di piano delimitata dal grafico di una funzione , continua e positiva in un intervallo , dall’asse e dalle rette e Una tale regione di piano si chiama trapezoide.

L’integrale definito Per calcolare l’area di un trapezoide suddividiamo l’intervallo in parti uguali di ampiezza . Le altezze dei rettangoli sono i valori assunti dalla funzione in opportuni punti . Un valore approssimato dell’area del trapezoide è quindi dato da: Al crescere di il valore della sommatoria approssima sempre meglio l’area del trapezoide. Possiamo quindi assumere che sia: Area del trapezoide = Questo limite viene indicato con il simbolo che prende il nome di integrale definito tra a e b di f(x)

L’integrale definito Le proprietà dell’integrale definito Cioè, se gli estremi di integrazione sono uguali, l’integrale definito è nullo. Cioè, scambiando gli estremi di integrazione, l’integrale definito cambia segno. Proprietà di linearità con

L’integrale definito Proprietà di additività rispetto all’intervallo di integrazione:

Il calcolo di un integrale definito Le funzioni integrale Se è una funzione continua in un intervallo , possiamo valutare l’integrale definito della funzione tra e un punto variabile in . In questo modo: (t sostituisce x per evitare confusioni) diventa una funzione che rappresenta l’area del trapezoide tra a e x . A questa funzione si dà il nome di funzione integrale.

Il calcolo di un integrale definito Il teorema fondamentale del calcolo integrale La funzione integrale gode di un’importante proprietà: La sua derivata coincide con la funzione Di conseguenza, la funzione integrale diventa una primitiva della funzione .

Il calcolo di un integrale definito Il teorema fondamentale del calcolo integrale ci dà un modo per calcolare un integrale definito. Indicata con una generica primitiva della funzione , si ha che: Questa relazione prende il nome di formula di Newton-Leibniz.

Il calcolo di un integrale definito ESEMPI 1. Calcoliamo Troviamo una primitiva della funzione : quindi In definitiva: Poiché la costante c è ininfluente per il calcolo dell’integrale, possiamo ometterla nella scrittura della primitiva. 2. Calcoliamo

Il calcolo di un integrale definito Se è positiva o nulla Area di R Il calcolo di un’area Se è negativa o nulla Area di R Se non è sempre positiva Area di R = (somma degli integrali definiti di f negli intervalli in cui f è positiva o nulla) – (somma degli integrali definiti di f negli intervalli in cui f è negativa o nulla) Nel caso della figura:

L’area richiesta è quindi data da: Il calcolo di un’area ESEMPIO Troviamo l’area della regione di piano delimitata dalla parabola di equazione nell’intervallo 1 3 4 La parabola interseca l’asse delle ascisse nei punti x=1 e x=3 ed è negativa se 1<x<3. L’area richiesta è quindi data da:

Il calcolo di un’area ALCUNI CASI PARTICOLARI Se una funzione f (x) positiva è pari, il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse y; in questo caso: Se una funzione è dispari, il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine. Per calcolare l’area della regione delimitata da e dall’asse in un intervallo simmetrico dobbiamo calcolare due volte l’area della regione nell’intervallo oppure a seconda di dove è positiva.

Il calcolo di un’area ESEMPIO 1. Calcoliamo l’area della regione di piano delimitata dalla funzione nell’intervallo La funzione è pari, quindi: