Trasformazioni Geometriche Docente: Manera Mariarosa Trasformazioni Geometriche

Affinità Definizione. Un’affinità o trasformazione affine è un’applicazione biiettiva T: R2 → R2 che al punto P(x,y) fa corrispondere il punto P’(x’,y’). La formula generale di un’affinità è: Trasformazioni Geometriche

Proprietà di un’affinità Trasforma rette in rette A rette parallele corrispondono rette parallele e a rette incidenti corrispondono rette incidenti Il rapporto di aree di figure corrispondenti è costante e uguale al determinante della matrice affinità A: S’/S = |A| Conserva il rapporto tra segmenti paralleli In generale un’affinità non conserva la forma delle figure, né conserva gli angoli. Trasformazioni Geometriche

Esercizio Data la trasformazione: a) dire se rappresenta un’affinità b) dire come si trasforma il quadrato di vertici: A(1,1) B(1,2) C(2,2) D(2,1) c) verificare che Il rapporto delle aree delle figure corrispondenti è costante e uguale al determinante della matrice affinità A: Trasformazioni Geometriche

Composizione di affinità Siano T1 e T2 due affinità. Si supponga che al punto P, tramite T1, corrisponda il punto P’ e a quest’ultimo, tramite T2 , corrisponda il punto P’’. Graficamente: La trasformazione T che fa corrispondere P’’ al punto P si dice composizione di T1 e T2 ; si scrive Trasformazioni Geometriche

Composizione di affinità Date le affinità: Trasformazioni Geometriche

Composizione di affinità per determinare la trasformazione composta T1 o T2 : Trasformazioni Geometriche

Composizione di affinità per determinare la trasformazione composta T2 o T1: Trasformazioni Geometriche

Gruppo delle affinità L’insieme delle affinità in un piano risulta un gruppo quando come operazione si considera la composizione; infatti: La composizione gode della proprietà associativa (T1 o T2) o T3 = T1 o (T2 o T3) Esiste l’elemento neutro Per ogni affinità T esiste l’affinità inversa T-1 tale che T o T -1 = T -1 o T = I La composizione non è commutativa Trasformazioni Geometriche

Affinità inversa l’affinità inversa si ottiene risolvendo il sistema che definisce l’affinità rispetto a x e a y il sistema è sempre determinato essendo per ipotesi il determinante della matrice dell’affinità non nullo Trasformazioni Geometriche

Punti uniti in una trasformazione Definizione. Si chiama punto unito o fisso ogni punto coincidente con il proprio corrispondente: T(P) = P Per cercare i punti uniti basterà allora porre x’ = x e y’ = y Gli eventuali punti uniti sono tutti e soli i punti le cui coordinate risolvono il precedente sistema. Trasformazioni Geometriche

Esercizio Data la trasformazione: a) dire se rappresenta un’affinità e determinare l’inversa T-1 b) dire come si trasformano le due rette y = 2x e y = 2x - 3 c) determinare i punti uniti d) determinare le rette unite e) determinare l’immagine di x2 + y2 = 1. Trasformazioni Geometriche

Similitudini in un piano Le Similitudini sono particolari affinità per cui: (a = d  b = - c)  (a = - d  b = c) Le trasformazioni (1) si dicono similitudini dirette, mentre le (2) si dicono similitudini inverse. Trasformazioni Geometriche

Proprietà di una similitudine Le similitudini godono di tutte le proprietà delle affinità e delle seguenti: a rette perpendicolari corrispondono rette perpendicolari una similitudine trasforma circonferenze in circonferenze Il rapporto di segmenti corrispondenti è costante: in una similitudini angoli corrispondenti sono uguali. Trasformazioni Geometriche

Gruppo delle Similitudini Le similitudini nel piano formano un gruppo (un sottogruppo delle affinità); infatti: La composizione di due similitudini è ancora una similitudine; l’elemento neutro I è una similitudine (diretta) L’inversa di una similitudine è ancora una similitudine Trasformazioni Geometriche

Isometrie (congruenze) Si dice isometria una similitudine in cui il rapporto di similitudine è uguale a 1, cioè se Trasformazioni Geometriche

Isometrie (congruenze) Le Isometrie si presentano con equazioni del tipo: Se il detA = 1 le isometrie si dicono dirette (1), mentre se il detA = -1 si dicono inverse (2). Trasformazioni Geometriche

Isometrie particolari: Le traslazioni Le rotazioni intorno ad un punto fisso Simmetrie centrali Le simmetrie ortogonali rispetto ad una retta Trasformazioni Geometriche

Traslazioni Una trasformazione si dice P’ traslazione se: PP’ = QQ’ = v (e,f) P’ P Q’ Q Le traslazioni sono rappresentate dalle seguenti equazioni: Le traslazioni sono isometrie dirette dove  = 0 Trasformazioni Geometriche

Rotazioni di centro O P’ P  O Fissati nel piano il punto O (centro di rotazione) e un angolo orientato , la rotazione di centro O è quella corrispondenza che associa a ciascun punto P del piano un punto P’ tale che OP = OP’ e l’ angolo POP’ = . P’ P  O Trasformazioni Geometriche

Rotazioni di centro O Le rotazioni di centro O sono rappresentate dalle seguenti equazioni: Le rotazioni di centro O sono congruenze dirette nel piano dove  = -  ed e = f = 0 Trasformazioni Geometriche

Rotazioni di centro C(x0,y0) Se il centro di rotazione è in C(x0,y0) le relazioni che esprimono la rotazione dell’angolo  attorno al punto C sono: Osservazione: il centro di rotazione è l’unico punto unito della trasformazione Trasformazioni Geometriche

Simmetrie rispetto ad un punto C (simmetrie centrali) Sono trasformazioni che ad un punto P associano P’ in modo che C(x0,y0) sia punto medio del segmento PP’ Sono particolari rotazioni di centro C e ampiezza  P C P’ Trasformazioni Geometriche

Simmetrie ortogonali rispetto ad una retta (simmetrie assiali) Assegnata nel piano una retta r (asse di simmetria) la simmetria ortogonale rispetto ad r è quella trasformazione che a P associa P’ in modo che la retta PP’ sia perpendicolare ad r ed intersechi r nel punto medio del segmento PP’ r P P’ Trasformazioni Geometriche

Simmetrie ortogonali rispetto ad una retta (simmetrie assiali) Assegnata r: ax + by +c = 0 le equazioni della simmetria rispetto ad r si ottengono esplicitando x’ e y’ dalle seguenti condizioni: Le simmetrie assiali sono isometrie inverse L’asse di simmetria r è una retta di punti uniti Trasformazioni Geometriche

Simmetrie ortogonali rispetto agli assi cartesiani La simmetria rispetto all’asse x è un’isometria inversa con  = 0, e = f = 0 P’ P P’ La simmetria rispetto all’asse y è un’isometria inversa con  = , e = f = 0 Trasformazioni Geometriche