I modelli classici della conduzione Università degli Studi di Udine MASTER IDIFO Master universitario di II livello in Innovazione Didattica in Fisica e Orientamento Mini sperimentazione didattica MODULO C Patrizia Colella Dal modello macroscopico della conduzione elettrica al modello quantistico I modelli classici della conduzione Materiale tratto da “Teoria microscopica della conduzione elettrica” C. Fazio in Meccanica Statistica e Fisica della Materia patrizia colella

Conoscenze sulla conduzione alla fine del ‘800 FENOMENOLOGIE e fatti sperimentali MODELLI e IPOTESI Leggi di Ohm (1827) Dipendenza lineare della resistività dalla temperatura per temperature ordinarie Effetti termoelettrici (Seebeck 1822) Effetti magneto-elettrici (Hall 1879) Misura del rapporto q/m (Thomson 1898) La struttura microscopica dei conduttori (metalli) è caratterizzata da particelle cariche, positive e negative, che hanno carica e massa differente Tali particelle sono responsabili della conduzione termica ed elettrica dei metalli L’energia cinetica media dei portatori di carica obbedisce alla teoria cinetica di Clausius …praticamente quello che avete studiato…. patrizia colella

Il modello di Lorentz (1905) Il modello di Drude (1900) Il modello di Lorentz (1905) Il modello di Drude mette insieme tutte le conoscenze sperimentali e le ipotesi elaborate fino a quel momento precisando che: Il modello di Lorentz può essere considerato un raffinamento dell’originale modello di Drude, in quanto ne vengono precisati gli aspetti statistici: Le cariche libere sono di un’unica specie: gli elettroni con carica –e Gli elettroni sono descritti da una statistica di Maxwell-Boltzmann; l’energia cinetica media è: Agli elettroni possiamo applicare il modello delle molecole di un gas ideale per cui l’energia cinetica media è proporzionale alla temperatura. La carica delle particelle positive e negative è uguale in valore assoluto e vale e Gli elettroni hanno tutti lo stesso cammino libero medio l patrizia colella

Il meccanismo della conduzione elettrica nel modello di Drude-Lorentz La fenomenologia: la legge di Ohm V=RI suggerisce una proporzionalità tra forza (campo elettrico) e velocità (intensità di corrente) (come nel moto viscoso) L A I V osservando che V = E L, l’intensità di corrente elettrica può essere espressa nel modo seguente: L’intensità di corrente elettrica può anche essere espressa in termini di quantità microscopiche ricordate la definizione? Mettendo insieme le due formule precedenti si ottiene: Attenzione!!! Sperimentalmente sappiamo che  è indipendente dal campo elettrico, tutto porta nella direzione di dover richiedere che : la velocità di deriva degli elettroni VD risulti costante e direttamente proporzionale all’intensità E del campo elettrico. patrizia colella

Il modello di Drude -Lorentz Quando ai capi di un conduttore viene applicato un campo elettrico E, ciascun elettrone risente di una forza elettrica e quindi di un accelerazione a=eE/m diretta lungo la direzione del campo. Se questa fosse l’unica forza agente la velocità di deriva dovrebbe aumentare costantemente e linearmente con il tempo (moto uniformemente accelerato). Cosa limita la velocità degli elettroni? In questo modello si fa l’ipotesi che l’elettrone dopo essere stato accelerato per un intervallo di tempo T molto breve (tempo di volo) vada a collidere con uno ione del reticolo. In questi urti anelastici contro gli ioni del reticolo l’elettrone perde l’energia acquistata nell’accelerazione e riparte con una velocità assolutamente scorrelata con la velocità originale. L’effetto complessivo degli urti è equivalente, in media, ad una forza resistente che controbilancia la forza elettrica, di modo che, in media, la velocità degli elettroni (lungo la direzione del campo) è costante (regime stazionario). La velocità media di deriva diventa quindi la velocità media acquistata sotto l’azione del campo elettrico nel tempo medio  fra un urto e il successivo (tempo di rilassamento) Velocità di deriva Resistività elettrica Mettendo insieme l’espressione per la resistività con quella della velocità di deriva si ottiene patrizia colella

Ma il valore d  è indipendente da E? Il calcolo di  in questo modello viene fatto a partire da altre due grandezze: la velocità media degli elettroni Vm e la distanza media  percorsa da un elettrone tra due urti consecutivi in quanto:  =/ vm L’espressione della resistività assume quindi la forma: Il calcolo di Vm in questo modello Abbiamo già visto che per le ipotesi del modello l’energia cinetica media è: Così, per esempio, a temperature ordinarie (T300 K) la velocità quadratica media degli elettroni, che è di poco superiore alla loro velocità media, è: Osserviamo che tale velocità è di parecchi ordini di grandezza più grande delle tipiche velocità di deriva, dell’ordine di 10-510-4 m/s, cui sono soggetti gli elettroni di un metallo. Pertanto, in condizioni ordinarie, il valore estremamente piccolo della velocità deriva non altera in alcun modo la velocità media degli elettroni, il cui valore dunque può essere considerato indipendente dal campo elettrico esterno e dipendente dalla temperatura patrizia colella

Il calcolo di L in questo modello Se Vm è indipendente dal campo esterno lo deve essere anche L In questo modello il cammino libero medio  dipende dalle dimensioni degli ioni e dal numero di ioni per unità di volume nion. Per ricavare l’espressione di  consideriamo un elettrone, le cui dimensioni assumeremo trascurabili, che si muove con velocità v in una regione in cui sono presenti degli ioni, che assumeremo essere sfere rigide di raggio r. L’elettrone colliderà con uno ione se si muove lungo una traiettoria la cui distanza dal centro dello ione è minore di r. Per ricavare il cammino libero medio consideriamo un intervallo di tempo t1. In tale intervallo l’elettrone copre una distanza v t1. Se nel volume cilindrico  r2 v t1 vi è uno ione l’elettrone colliderà con esso cambiando direzione di moto. Analogamente in un intervallo di tempo successivo t2 esso colliderà con un altro ione se il centro di quest’ultimo cade in un volume cilindrico  r2 v t 2 Pertanto in un intervallo di tempo t = t1 + t2 + …….., l’elettrone urta con tutti gli ioni i cui centri si trovano all’interno di un volume  r2 v t. Così, se il numero di ioni per unità di volume del conduttore è nion, in un tempo t l’elettrone effettuerà un numero di collisioni pari a nion  r2 v t, percorrendo una distanza totale v t. Il rapporto tra la distanza totale percorsa dall’elettrone ed il numero di urti rappresenta il cammino libero medio: vt1 vt2 vt3 r vt = vt1 + vt2 + vt3 Poiché né nion né S dipendono dal campo elettrico E, anche il cammino libero medio  risulta indipendente da E. patrizia colella

Tuttavia … il modello risulta con alcuni fatti sperimentali GOAL! In definitiva sulla base delle ipotesi del modello la resistività risulta indipendente dal campo elettrico, cioè il modello fornisce una corretta interpretazione delle leggi di Ohm (anche se soltanto qualitativa) Tuttavia … il modello risulta in palese disaccordo con alcuni fatti sperimentali In particolare il modello oltre a non spiegare il diverso comportamento elettrico di conduttori, semiconduttori e isolanti, non riproduce la corretta dipendenza quantitativa e qualitativa della resistività dalla temperatura patrizia colella

In dettaglio Disaccordo qualitativo:dipendenza della resistività dalla temperatura. Nella espressione della resistività che abbiamo ricavato, una volta sostituita anche l’espressione di  ricavata otteniamo In questa espressione l’unica grandezza che dipende dalla temperatura è vm, che risulta proporzionale a , di modo che la resistività cresce con la radice quadrata della temperatura e non linearmente con essa come risulta invece sperimentalmente (almeno a temperature ordinarie) Disaccordo quantitativo con i valori misurati di resistività L’equazione precedente consente di calcolare il valore della resistività dei metalli. Utilizzando i valori noti delle quantità microscopiche che entrano nella formula in alto (e la distribuzione di Maxwell-Boltzmann per vm), si trova, ad esempio, che la resistività calcolata del rame a 300 K è circa sei volte più grande di quella misurata. patrizia colella

In sintesi il modello di D-L spiega perché si genera il moto viscoso e quindi la velocità limite di deriva spiega l’effetto Joule : negli urti anelastici contro gli ioni del reticolo gli elettroni perdono l’energia in più acquistata nell’accelerazione e ripartono con l’energia termica media verifica le leggi di Ohm MA …. non riproduce la corretta dipendenza della resistività dalla temperatura non sempre fornisce valori corretti della resistività a temperatura ambiente Non spiega il diverso comportamento elettrico di conduttori, semiconduttori e isolanti. patrizia colella

Avete a disposizione la presentazione e circa 30 minuti per svolgere la verifica allegata Buon lavoro! patrizia colella

Glossario Velocità di deriva: VD degli elettroni liberi valor medio della velocità degli elettroni liberi all’interno del metallo, lungo la direzione del campo Cammino libero medio l Ne numero di elettroni liberi per unità di volume del metallo. Tempo di rilassamneto  tempo medio tra due collisioni successive di un elettrone con gli ioni del reticolo. patrizia colella