Backtracking Lezione n°13 Prof.ssa Rossella Petreschi Lezione del 21 /11/ 2011 del Corso di Algoritmi e Strutture Dati Riferimenti: capitolo 11 del testo Anany Levitin “The design and analysis of algorithms” Edizioni: Addison Wesley paragrafo 2.2.1 del testo Ausiello,Petreschi “L’Informatica Invisibile” Edizioni: Mondadori Sapienza ASD-A.A.2011/2012

Il metodo Quando si applica: Ricercare un insieme di soluzioni in genere la soluzione è esprimibile come t-pla (x1,x2,…xn) con xi in un insieme finito Si Ricercare una soluzione ottima soddisfacente alcuni vincoli ovvero massimizare (o minimizzare) una funzione P (x1,x2,…xn) Esempio: Problema: ordinare un vettore a di n interi Soluzione: esprimibile come t-pla (xi è l’indice in a dell’i-esimo elemento più piccolo) La funzione P è la diseguaglianza a(xi) ≤ a(xi+1), 1≤i<n L’ordinamento non è un problema che si risolve normalmente con il backtracking, ma è un tipico problema la cui soluzione è una t-pla. ASD-A.A.2011/2012

Forza Bruta vs Backtrack Genera tutte le t-ple m1,m2,…mk Per ogni t-pla verifica se soddisfa la funzione P (x1,x2,…xn) Salva le t-ple che rappresentano la soluzione ottima Backtrack: Costruisce i vettori soluzione una componente alla volta All’i-esimo passo, confronta il sottovettore v= (x1,x2,…xi) con la funzione parziale P (x1,x2,…xi) per vedere se c’è una possibilità che v diventi sottovettore di una soluzione ottima.Se questa possibilità non c’è interrompi la costruzione di quell’ipotesi di soluzione. Backtrack riduce il numero di test da fare per trovare le soluzioni ottime. ASD-A.A.2011/2012 3

Vincoli Vincoli espiciti: Sono regole che restringono xi a prendere valori in un intervallo limitato e dipendono dalla particolare istanza I del problema considerato. Lo spazio delle soluzioni per I è costituito da tutte le t-ple che soddisfano i vincoli espliciti Esempi: xi ≤ 0; li ≤ xi≤ ri ; xi in Si ={0.1} Vincoli impliciti: Sono regole che stabiliscono quali fra le t-ple nello spazio delle soluzioni di I soddisfano la funzione P; un vincolo implicito esprime il modo in cui le variabili xidebbono correlarsi. ASD-A.A.2011/2012 4

Il problema delle 8 regine Come disporre otto regine su una scacchiera (8×8) in modo tale che nessuna possa mangiarne un’altra? REGOLE: la regina si può muovere in orizzontale, in verticale e in diagonale di un qualunque numero di caselle, di conseguenza ogni regina deve avere la propria riga, la propria colonna e le proprie diagonali libere. Le dodici soluzioni base del problema delle 8 regine da cui, per riflessione e rotazione, si ottengono tutte le 92 soluzioni (1874, Gleisher e Gunther) 1 5 8 6 3 7 2 4 1 7 5 8 2 4 6 3 2 5 7 4 1 8 6 3 2 7 3 6 8 5 1 4 1 6 8 3 7 4 2 5 2 4 6 8 3 1 7 5 2 6 1 7 4 8 3 5 2 7 5 8 1 4 6 3 1 7 4 6 8 2 5 3 2 5 7 1 3 8 6 4 2 6 8 3 1 4 7 5 2 8 6 1 3 5 7 4 ASD-A.A.2011/2012 5

Una soluzione 15863724 ASD-A.A.2011/2012 6

Esempio (4x4) ASD-A.A.2011/2012 7

Esempio (4x4) ASD-A.A.2011/2012 8

Il metodo in generale Un algoritmo di backtracking è un metodo di analisi esaustiva, ma controllata, applicabile ad una classe di problemi di ricerca le cui soluzioni sono vettori (x1 x2 … xi …xf), 1≤f≤n, soddisfacenti alcuni vincoli predefiniti. Ogni xi appartiene ad un insieme finito linearmente ordinato Xi. Un algoritmo di backtracking genera, esplicitamente o implicitamente, un albero i cui nodi rappresentano t-ple parzialmente costruite durante i vari passi dell’algoritmo. La radice contiene la t-pla vuota. ASD-A.A.2011/2012 9

Dalla t-pla j-esima alla j+1-esima A partire dalla t-pla j-esima w = (x1 x2 … xj) , si genera la t-pla (j+1)-esima v = (x1 x2 … xj+1) con xj+1 primo elemento in Xj+1 non ancora considerato. Si ha: v è una soluzione finale del problema: la soluzione viene memorizzata (termina se una soluzione è sufficiente) v è una soluzione parziale del problema: l’algoritmo passa dalla t-pla j+1-esima alla t-pla j+2-esima v non è né soluzione finale né soluzione parziale: - se vi sono ancora elementi da scegliere in Xj+1, si prende il primo disponibile come nuovo xj+1 e si torna al passo 1; - se non vi sono più elementi da scegliere in Xj+1, ,si torna alla t-pla j-esima, si sostituisce xj con il primo elemento elegibile in Xj e si torna al passo 1. Se ancora non vi sono più elementi da scegliere, si torna alla t-pla (j-1)-esima e si sostituisce xj-1, se possibile. ASD-A.A.2011/2012 10

Backtrack per le 8 regine Vincoli espliciti: Si ={1,2,3,4,5,6,7,8} 1 ≤ i ≤ 8 Conseguentemente lo spazio delle soluzioni è di 88 8-ple Vincoli impliciti: Tutte le regine debbono essere in colonne differenti Conseguentemente lo spazio delle soluzioni è costituito da tutte le permutazioni delle 8-ple {1,2,3,4,5,6,7,8} e quindi è ridotto da 88 a 8! Tutte le regine debbono essere in diagonali differenti ASD-A.A.2011/2012 11

Regine sulle stesse diagonali La scacchiera S è rappresentata da una matrice quadrata di dimensioni nxn. Le righe e le colonne sono numerate da 1ad n. si considerino due regine nelle posizioni (i,j) e (k,l), rispettivamente. Tutte le diagonali dall’alto a sinistra verso in basso a destra mantengono costante numero colonna - numero riga per esempio S[2,1], S[3,2], S[4,3] hanno 1 quale valore costante pari alla differenza fra numero di riga e numero di colonna. Tutte le diagonali dall’alto a destra verso in basso a sinistra mantengono costante numero colonna + numero riga per esempio S[2,4], S[3,3], S[4,2] hanno 6 quale valore costante pari alla somma fra numero di riga e numero di colonna. Quindi due regine sono sulla stessa diagonale sess j-l =i-k Dato che vale o (1) i-j = k-l o (2) i+j = k+l Dalla (1) si ha j-l = i-k e dalla (2) si ha j-l = k-i ASD-A.A.2011/2012 12

Controllo del posizionamento PLACE(k,i) ritorna vero o falso a seconda che la k-esima regina possa essere posizionata nella k-esima riga e i-esima colonna o no PLACE(k,i) For j=1 to k-1 do If x[j] = i or j-l=i-k then return false; return true; ASD-A.A.2011/2012 13

Algoritmo n-regine ALGORITMO n-regine(k,n) stampa tutte i possibili posizionamenti senza conflitto di n regine su una scacchiera nxn Algoritmo N-regine(k,n) For i=1 to n do if PLACE(k,i) then x[k] = i; if k=n then write x[1…n]; else N-regine(k+1,n); ASD-A.A.2011/2012 14

Somma di sottoinsiemi INPUT: m>0 , wi>0 (1≤i≤n) PROBLEMA: trovare tutti i sottoinsiemi di wi la cui somma è uguale ad m ESEMPIO: dati (w1w2 w3 w4 ) = (11,13,24,7) e m =31, i sottoinsiemi cercati sono (11,13,7) e (24,7) Queste due soluzioni si possono indicare come t-ple: xi = indici dei wi scelti (1,2,4) e (3,4), ovvero con t-ple di diversa dimensione; xi = 1 / 0 a seconda che wi sia stato selezionato o no (1,1,0,1) e (0,0,1,1), in questo caso le t-ple sono di dimensione fissata uguale ad n. VINCOLI ESPLICITI: xi in j/ j intero, 1≤j≤k e 1≤k≤n xi in 0,1 VINCOLI IMPLICITI: xi ≠ xj e xi ≤ xi+1 per 1≤ i <k e 1≤j≤k ∑wixi ≤ m 1≤ i <k, 1≤k≤n SPAZIO DELLE SOLUZIONI: 2n t-ple distinte ASD-A.A.2011/2012 15

Funzione soglia per somma di sottoinsiemi INPUT: m>0 , wi>0 (1≤i≤n) wi in ordine casuale wi ordinate in modo non decrescente PROBLEMA: trovare tutti i sottoinsiemi di wi la cui somma è uguale ad m RAPPRESENTAZIONE: con t-ple di uguale dimensione FUNZIONE SOGLIA: ∑wixi+∑wj ≥ m 1≤i≤k e k+1≤j≤n ∑wixi + wk+1 > m 1≤i≤k ASD-A.A.2011/2012 16