Corso di Informatica 2 a.a. 2003/04 Lezione 2 La ricorsione Corso di Informatica 2 a.a. 2003/04 Lezione 2 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2

Un gavagai è un gavagai che salta e balla Circoli viziosi Se in una definizione ciò che viene definito (definiendum) è usato per definire (nel definiens), la definizione è circolare: Che cos’è un “gavagai”? Un gavagai è un gavagai che salta e balla ?!? Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2

Circoli virtuosi: i naturali Tuttavia ci sono definizioni circolari che sono perfettamente accettabili: 0   se n   allora (n + 1)   null’altro è in  definisce l’insieme = {0, 0 +1, 0 + 1 + 1, 0 + 1 + 1 + 1, …} = {0, 1, 2, 3, … } Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2

Circoli virtuosi: le stringhe Sia V = {a, b, c, …} un insieme (finito) di simboli: il vocabolario. Allora l’insieme V* delle stringhe su V è definito:   V* (la stringa vuota) se a  V e   V* allora a  V* null’altro è in V*. V* = {, a, b, c, …, aa, ab, ac, … ba, bb, bc, …} Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2

Circoli virtuosi: le liste Sia T un tipo di dati; definiamo il tipo List(T) delle liste, o sequenze finite, di dati di tipo T: nil : List(T) (la lista vuota) se d : T e l : List(T) allora Cons(d, l) : List(T) null’altro ha tipo List(T). nil, Cons(d1, nil), Cons(d2, Cons(d1, nil)), … : List(T) Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2

“n è naturale se è 0 oppure se è il successore di un naturale” Circoli virtuosi Come mai la definizione di  è accettabile? Perché ci fornisce un metodo (il successore) per generare tutti i naturali a partire da un elemento di base (lo zero) Perché ci fornisce un criterio per verificare se un certo oggetto è un numero naturale: “n è naturale se è 0 oppure se è il successore di un naturale” Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2

Definizioni ricorsive Non solo certi insiemi, ma anche certe funzioni sono definite in modo circolare, che diremo ricorsivo: Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2

Definizioni ricorsive Un modo per convincersi che una definizione ricorsiva individui una funzione è di cercare una forma equivalente esplicita (non ricorsiva): definisce la funzione Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2

Definizioni ricorsive Ma questo non è sempre possibile: nel caso del fattoriale il meglio che si sa fare è fornire una formula esplicita approssimata (formula di Stirling): Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2

Regole di calcolo Interpretiamo allora la definizione di n! come una regola di calcolo: 6! = 6  5! = 6  5  4! = 6  5  4  3! = 6  5  4  3  2! = 6  5  4  3  2  1! = 6  5  4  3  2  1  0! = 6  5  4  3  2  1  1 = 720 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2

Alcuni dubbi Perché questa definizione esplicita non è considerata? Qual è il significato algebrico dei puntini? Può una “regola di calcolo” definire una funzione? Si se la regola è univoca Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2

Il programma “fattoriale” long fact (long n) // pre: n intero positivo // post: ritorna n! { if (n == 0) return 1; return n * fact(n - 1); } chiamata ricorsiva caso di base Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2

Valutazione di funzioni ricorsive con l’uso di una pila fact(3) = ? 3 * fact(2) fact(2) = ? 2 * fact(1) fact(0) = ? fact(1) = ? 1 * fact(0) fact(1) = ? fact(2) = ? fact(3) = ? fact(0) = ? Pila domande/risposte Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2

Valutazione di funzioni ricorsive con l’uso di una pila fact(3) = ? 3 * fact(2) fact(2) = ? 2 * fact(1) fact(0) = 1 fact(1) = ? 1 * fact(0) fact(1) = ? fact(2) = ? fact(3) = ? fact(0) = 1 Pila domande/risposte Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2

Valutazione di funzioni ricorsive con l’uso di una pila fact(3) = ? 3 * fact(2) fact(2) = ? 2 * fact(1) fact(1) = 1 1 * 1 fact(1) = 1 fact(2) = ? fact(3) = ? Pila domande/risposte Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2

Valutazione di funzioni ricorsive con l’uso di una pila fact(3) = ? 3 * fact(2) fact(2) = 2 2 * 1 fact(2) = 2 fact(3) = ? Pila domande/risposte Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2

Valutazione di funzioni ricorsive con l’uso di una pila fact(3) = 6 3 * 2 fact(3) = 6 Pila domande/risposte Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2

Insertsort ricorsivo void Insertsort (int v[], int n) // post: v[0..n-1] e’ ordinato in senso non // descrescente { if (n < 2) return; // v[0..n-1] e’ ordinato // n >= 2 Insertsort(v, n-1); // ex ip. ind. v[0..n-2] e' ordinato int i, temp = v[n-1]; for (i = n-1; i > 0 && v[i-1] > temp; i--) v[i] = v[i-1]; v[i] = temp; } Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2

Induzione completa Se  è un ordine ben fondato, possiamo rafforzare il principio di induzione sui naturali nel seguente modo: Base: P(0) Passo:  m[n < m.P(n)  P(m)] P(h)  …  m > h P(m)  …  P(0) Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2

Funzioni ricorsive “induttive” Siano g ed h funzioni totali, ed s tale che 0  s(n) < n per ogni n; allora la funzione f è definita e totale: Per verificare che f sia definita ovunque dimostriamo (facilmente) per induzione completa su n, che Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2

Massimo Comun Divisore int MCD(int n, int m) // pre: n, m positivi non entrambi nulli // post: ritorna il massimo comun divisore di n ed m { if (m == 0) return n; return MCD(m, n % m); // n % m == n mod m // definito per ind. completa sul secondo parametro } Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2

Ricursione sulla dimensione Un esempio di ricorsione basata sull’induzione completa è quello di funzioni ricorsive sulla dimensione: bool BinSearchRic (int v[], int i, int j, int x) // pre: v[i..j] e’ ordinato in modo crescente // post: ritorna true sse x in v[i..j] { int m; if (i > j) return false; // v[i..j] e’ vuoto m = (i + j)/2; // indice mediano in i..j if (x == v[m]) return true; if (x < v[m]) return BinSearch(v, i, m-1, x); return Binsearch(v, m+1, j, x); // in entrambi i casi le chiamate ricorsive sono // su intervalli < 1/2 dell’intervallo i..j } Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2

Ricorsione ed iterazione La funzione fact poteva essere iterativa: long factiterativo (long n) // pre: n intero positivo // post: ritorna n! { int r = 1; while (n > 0) r = r * n; --n; } return r; Come si fa a ricavarla? Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2

Ricorsione ed iterazione La ricorsione va all’indietro (risale ai precedenti valori): fact(n)  fact(n-1)  fact(n-2) … e poi in avanti (ricombina insieme i valori ottenuti): 1 * 1  1 * 2  2 * 3  6 * 4 L’iterazione va solo in avanti (accumula il risultato): r = 1 r = r * n // r == n r = r * n-1 // r == n * (n-1) Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2

Ricorsione in coda Si parla di ricorsione in coda quando vi è una sola chiamata ricorsiva, la quale è l’ultima istruzione che la funzione esegua. void stampavettore(int v[], int i, int n) // pre: v e' un vettore di n interi // post: stampa nell'ordine gli el. di v[i..n-1] { if (i < n) { cout << v[i] << " "; stampavettore(v, i+1, n); } chiamata ricorsiva in coda Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2

Uso della funzione ausiliare La funzione stampavettore ha un parametro in più, i, che andrebbe eliminato: void stampavettoreaux(int v[], int i, int n) // la precedente funzione “stampavettore” ricorsiva { if (i < n) { cout << v[i] << " "; stampavettoreaux(v, i+1, n); } void stampavettore(int v[], int n) // pre: v e' un vettore di n interi // post: stampa nell'ordine gli el. di v[0..n-1] { stampavettoreausiaux(v, 0, n); } Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2

Ricorsione in coda Poiché procede in un unico verso, una ricorsione in coda è un’ iterazione camuffata: void stampavettoreiterativa(int v[], int n) // pre: v e' un vettore di n interi // post: stampa nell'ordine gli el. di v[i..n-1] { for (int i = 0; i < n; i++) cout << v[i] << " "; } Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2

Ricorsione non in coda 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 …. long coeffbin(long n, long k) // pre: n,k interi positivi con n >= k // post: calcola il coefficiente // binomiale (n k) { if (k == 0 || k == n) return 1; return coeffbin(n-1,k-1) + coeffbin(n-1,k); } 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 …. Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2

Le torri di Hanoi (Lucas 1883) Dati tre pioli, su cui sono inseriti n dischi di diametro crescente, spostare la torre da un piolo sorgente (A) ad uno destinazione (B) , sfruttando un piolo d’appoggio (C), muovendo un disco alla volta, senza mai sovrapporre un disco più grande ad uno più piccolo. A B C Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2

Le torri di Hanoi (Lucas 1883) B C Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2

Le torri di Hanoi (Lucas 1883) B C Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2

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Le torri di Hanoi (Lucas 1883) B C Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2

Le torri di Hanoi (Lucas 1883) B C Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2

Le torri di Hanoi (Lucas 1883) Ci vogliono 2n – 1 mosse per spostare l’intera torre: e se n = 64? n = 3 A B C Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2

Le torri di Hanoi (Lucas 1883) 1. Sposta la torre in A – il disco alla base su C usando B A B C n – 1 dischi Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2

Le torri di Hanoi (Lucas 1883) Sposta la torre in A – il disco alla base su C usando B Sposta il disco in A su B A B C Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2

Le torri di Hanoi (Lucas 1883) Sposta la torre in A – il disco alla base su C usando B Sposta il disco in A su B Sposta la torre in C (di n – 1 dischi) su B usando A A B C Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2

Le torri di Hanoi (Lucas 1883) Sposta la torre in A – il disco alla base su C usando B Sposta il disco in A su B Sposta la torre in C (di n – 1 dischi) su B usando A A B C Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2

Le torri di Hanoi (Lucas 1883) void Hanoi (Torre sor, Torre des, Torre aux) // sor == sorgente, des == destinazione, // aux == ausiliaria { if (Sopra(sor) == NULL) // Sopra(t)== la torre su t – la base muovidisco(sor, des); else { Hanoi (Sopra(sor), aux, des); Hanoi (aux, Sopra(des), sor); } Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2

Ricorsione mutua (indiretta) Sono mutuamente ricorsive quelle definizioni in cui due o più funzioni dipendono le une dalle altre: void f() { ... g(); ... } void g() { ... f(); ... } Nota: in C++ il protipo di g() deve precedere la definizione di f(). Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2

Ricorsione mutua (indiretta) Per il caso di base, quando x è abbastanza piccolo Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2

Ricorsione annidata Infrequente (ed insensata) in pratica, consente di definire funzioni con tasso di crescita molto elevato: long Ackermann (long n, long m) { if (n == 0) return m+1; if (n > 0 && m == 0) return Ackermann(n-1, 1) return Ackermann(n-1, Ackermann(n, m-1)); } Questa funzione ha un tasso di crescita iperesponenziale, ossia cresce circa come Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2

Quando la ricorsione non serve Consideriamo la sequenza di Fibonacci: Questa è generata dalla funzione ricorsiva: int FibRec(int n) { if (n < 2) return n; return FibRec(n-2) + FibRec(n-1); } Quante sono le addizioni? Quante le chiamate? Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2

L’albero dei computi di FibRec 1 1 Fib(0) Fib(1) 1 Fib(0) Fib(1) Fib(0) Fib(1) Fib(1) Fib(2) 1 1 1 1 Fib(0) Fib(1) 1 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2

Quante addizioni in FibRec(n)? Fib(n) Addizioni Chiamate 6 8 12 25 21 33 67 10 55 88 177 15 610 986 1973 20 6765 10945 21891 30 832040 1346268 2692537 Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2

Una versione iterativa La sequenza di Fibonacci si calcola in modo più efficiente iterativamente: int FibIter (int n) { int a, b, c, i; if (n < 2) return n; a = 1; b = 0; for(i = 2; i <= n; i++) // inv. a = Fib(i-1), b = Fib(i-2) { c = a; a = b + a; b = c;} return a; } Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2

Riassumendo Una definizione circolare è sensata se induttiva Linguaggi come il C++ ammettono definizioni ricorsive di funzioni La ricorsione è riducibile all’iterazione: direttamente se di coda, con l’uso di una pila nel caso generale La ricorsione è spesso più chiara (e astratta) dell’iterazione, ma può essere molto inefficiente Ugo de'Liguoro - Informatica 2 a.a. 03/04 Lez. 2