Su alcune nuove sequenze intere crescenti Università degli studi di Milano Facoltà di Scienze MM. FF. NN. Corso di laurea triennale in informatica Su alcune nuove sequenze intere crescenti Da una vecchia tesi di laurea Relatore: prof Mauro Torelli

SIC = Sequenze Intere Crescenti Esempi La sic (catena binaria) 1 2 4 5 10 11 22 23 consente di calcolare X23 con 7 prodotti. La più generale catena di addizioni 1 2 3 5 10 13 23 con 6. Si veda Knuth, TAOCP vol.2 ed.2 pag. 444 ss. I tornei sono sic in cui ogni elemento non supera il doppio del precedente: letti da destra gli elementi forniscono il numero di giocatori rimanenti dopo ogni turno in un possibile torneo a eliminazione. Per esempio 1 2 4 7 12 è un torneo ma non una catena.

Sic e teoria dei numeri I primoidi (p – 1)/2 con p primo dispari: primoidi 1 2 3 5 6 8 9 11 14 … → primi 3 5 7 11 13 17 19 23 29 … Congettura di Goldbach (1742): ogni intero maggiore di 1 è la somma di due primoidi. Per esempio 10 = 1 + 9 = 2 + 8 = 5 + 5 (nella versione più consueta 22 = 3 + 19 = 5 + 17 = 11 + 11). Congettura dei primi gemelli: nella sequenza dei primoidi ci sono infinite coppie di valori consecutivi. È una conseguenza della congettura (senza nome?): nessuna differenza tra primoidi consecutivi supera il numero di gemelli. In 1 2 3 5 6 8 9 11 14 la differenza 14 – 11 = 3 è minore del numero (4) di coppie consecutive 1 2, 2 3, 5 6, 8 9. Le differenze crescono all’infinito.

Sic di Goldbach Una sic è di Goldbach se ogni intero tra 2 e il suo massimo si può ottenere come somma di due valori della sic. Esempi: la catena 1 2 4 5 10 è anche una sic di Goldbach, mentre 1 2 3 5 10 non lo è (non si può ottenere 9).

Sic di Bell Una sic a0, a1, …, ar è una sequenza di Bell se e solo se [davvero?] per ogni indice i compreso fra 1 e r vale ai  ≤  ai –1 + t(i) + 1, dove t(i) è il numero di coppie di gemelli (valori consecutivi) tra i primi i termini. Le abbiamo chiamate “sequenze di Bell” perché il numero di sic di data lunghezza è un numero di Bell, e abbiamo esplicitato una corrispondenza biunivoca con le partizioni di insiemi: partizione 123 12/3 13/2 1/23 1/2/3 sic di Bell 1246 1245 1235 1236 1234. Ma anche altre sic sono contate dai numeri di Bell…

Altre biiezioni Abbiamo stabilito biiezioni anche tra le sic di Bell, le funzioni a crescita ristretta e le sequenze di Davenport-Schinzel (curva inferiore): 1 2 3 1 312 3 2 1 Abbiamo stabilito biiezioni tra permutazioni e sic omonime, nonché con le funzioni a crescita lenta e le sequenze di Bohman (ordinamenti di sottinsiemi).

Sic di Catalan e involuzioni Le sic in cui ai ≤ 2i per ogni i tra 1 e r sono (particolari) sequenze di Goldbach. Sono contate in funzione della lunghezza dai numeri di Catalan e sono in corrispondenza biunivoca con le parole di Dyck. Le parole di Dyck generalizzate sono in corrispondenza con le tabelle di Young, le partizioni 2-filtrate e le involuzioni (permutazioni inverse di se stesse). Abbiamo definito delle sic involutive che crescono come le involuzioni, ma senza riuscire a trovare una biiezione.

Una classificazione delle sic È possibile ripartire le sic in tre categorie: 1)  quelle in cui un elemento non dipende da altri elementi nella sequenza. Il vincolo è espresso dicendo che un elemento in posizione i non supera una certa funzione f(i); 2) quelle in cui l’elemento in posizione i dipende solo dal precedente elemento oltre che da una funzione f(i); 3) quelle in cui un elemento dipende da più elementi precedenti (le più interessanti e complesse, per esempio le Goldbach).

Schema riassuntivo delle inclusioni tra diverse classi di sic