Capitolo 4 Cinematica bidimensionale Materiale a uso didattico riservato esclusivamente all’insegnante. È vietata la vendita e la diffusione della presente opera in ogni forma, su qualsiasi supporto e in ogni sua parte, anche sulla rete internet. È vietata ogni forma di proiezione pubblica. 1

Capitolo 4 Cinematica bidimensionale La maggior parte delle persone quando sente la parola “proiettile” pensa probabilmente a un proiettile di artiglieria. Ma, come vedremo in questo capitolo, il termine può essere utilizzato per indicare qualsiasi oggetto che si muove sotto l’influenza della sola forza di gravità. Per esempio ognuna delle palle da giocoliere della figura si muove come un proiettile passando da una mano all’altra. In questo capitolo esploreremo le leggi che regolano questo tipo di moto e impareremo, tra l’altro, che queste palle si muovono secondo una traiettoria parabolica. 2

Capitolo 4 - Contenuti Moto in due dimensioni. Moto di un proiettile: equazioni di base. Lancio ad angolo zero. Caso generale: lancio con un angolo qualsiasi. Moto di un proiettile: parametri caratteristici.

1. Moto in due dimensioni I moti nelle direzioni x e y si trattano separatamente. Ci sono due equazioni orarie, una per x ed una per y. Tabella 1

1. Moto in due dimensioni Se la velocità è costante, il moto è rettilineo. FIGURA 1 Velocità costante. Una tartaruga si muove dall’origine con una velocità scalare v0 = 0,26 m/s. a) In un tempo t la tartaruga percorre un tratto rettilineo d = v0t; perciò gli spostamenti nelle direzioni x e y sono x = d cos theta e y = d sen theta. b) Analogamente, le componenti x e y della velocità sono v0x = v0 cos theta e v0y = v0 sen theta; quindi x = v0x t e y = v0y t.

2. Moto di un proiettile: equazioni di base Ipotesi La resistenza dell’aria viene ignorata. L’accelerazione di gravità è costante, è diretta verso il basso e ha modulo uguale a g = 9,81 m/s2 La rotazione della Terra viene ignorata. Se l’asse y è diretto verso l’alto, la componente dell’accelerazione lungo l’asse x è nulla e quella lungo l’asse y vale –9,81 m/s2

2. Moto di un proiettile: equazioni di base L’accelerazione è indipendente dalla direzione della velocità. FIGURA 2 Accelerazione in caduta libera. Tutti gli oggetti in caduta libera hanno le componenti dell’accelerazione ax = 0 e ay = –g quando il sistema di coordinate è quello mostrato in figura. Ciò è vero indipendentemente dal fatto che l’oggetto sia lasciato cadere o venga lanciato.

2. Moto di un proiettile: equazioni di base Le equazioni di base del moto di un proiettile [6]

3. Lancio ad angolo zero Angolo di lancio: direzione della velocità iniziale rispetto all’orizzontale. FIGURA 4 Angolo di lancio di un proiettile. a) Un proiettile lanciato con un angolo al di sopra dell’orizzontale, cioè con theta > 0; un lancio al di sotto dell’orizzontale corrisponde a theta < 0. b) Un proiettile lanciato orizzontalmente, cioè con theta = 0. In questo paragrafo prendiamo in considerazione questo caso; nel prossimo paragrafo analizzeremo il caso theta ≠ 0.

3. Lancio ad angolo zero In questo caso la componente y della velocità iniziale è nulla. Le equazioni del moto con x0 = 0 and y0 = h sono le seguenti: Formule [7]

3. Lancio ad angolo zero Traiettoria di un proiettile lanciato orizzontalmente. FIGURA 5 Traiettoria di un proiettile lanciato orizzontalmente. Il diagramma rappresenta il moto di un proiettile lanciato da un’altezza di 9,5 m con una velocità iniziale di 5,0 m/s. Le posizioni mostrate nel diagramma corrispondono agli istanti t = 0,20 s, 0,40 s, 0,60 s, ... Osserviamo che il moto in direzione x è uniforme e il moto in direzione y è accelerato.

3. Lancio ad angolo zero Eliminando t e ricavando y in funzione di x otteniamo L’equazione ha la forma y = a + bx2, che corrisponde all’equazione di una parabola. Il punto di atterraggio si ricava ponendo y = 0 e risolvendo in funzione di x Formula [8] e formula [9]

4. Caso generale: lancio con un angolo qualsiasi In generale, v0x = v0 cos θ e v0y = v0 sen θ Le equazioni del moto sono le seguenti: Formule [10]

4. Caso generale: lancio con un angolo qualsiasi Istantanee di una traiettoria; i puntini rossi corrispondono agli istanti t = 1 s, t = 2 s, e t = 3 s FIGURA 7 Istantanee di una traiettoria. Questo diagramma mostra un proiettile lanciato dall’origine con velocità iniziale di modulo 20,0 m/s e con un angolo di 35,0° sopra l’orizzontale. Le posizioni mostrate nel diagramma corrispondono agli istanti t = 0,1 s, 0,2 s, 0,3 s, ... I puntini rossi indicano le posizioni considerate negli esercizi 1 e 2.

5. Moto di un proiettile: parametri caratteristici Gittata: distanza orizzontale percorsa dal proiettile prima di atterrare. Se i livelli di partenza e di arrivo sono gli stessi si ha Formula [12] FIGURA 8 Gittata. La gittata R di un proiettile è la distanza orizzontale che il proiettile percorre dall’istante in cui parte all’istante in cui atterra.

5. Moto di un proiettile: parametri caratteristici La gittata è massima quando θ = 45° Formula [13] FIGURA 9 Moto di proiettili con resistenza dell’aria. Effetto della resistenza dell’aria su proiettili che hanno la stessa velocità scalare iniziale, ma diversi angoli di lancio. Osserviamo che la massima gittata si ha per angoli di lancio minori di 45° e che i proiettili tornano a terra con un angolo “più ripido” di quello di lancio.

5. Moto di un proiettile: parametri caratteristici Simmetria nel moto di un proiettile FIGURA 10 Vettori velocità per un proiettile lanciato dall’origine. A una data altezza il modulo della velocità è lo stesso in salita e in discesa. La direzione del moto in salita è inclinata sopra l’orizzontale dello stesso angolo di cui è inclinata la direzione del moto in discesa sotto l’orizzontale. In questo caso il tempo totale di volo è T e la massima altezza è raggiunta nell’istante T/2. Osserviamo che il modulo della velocità è lo stesso negli istanti (T/2) – t e (T/2) + t.

Capitolo 4 - Riepilogo Le componenti del moto nelle direzioni x e y possono essere trattate indipendentemente l’una dall’altra. Nel moto di un proiettile l’accelerazione è –g Se l’angolo di lancio è nullo, la velocità iniziale ha solo la componente x La traiettoria seguita da un proiettile è una parabola. La gittata è la distanza orizzontale percorsa dal proiettile.