Test di ingresso per il corso di laurea in Medicina RETEISSA Corsi di potenziamento e di preparazione ai test di ingresso per i corsi di laurea a numero programmato Corso di Matematica Test di ingresso per il corso di laurea in Medicina Lezione 3 01/02/2019

Elementi di probabilità La probabilità è una funzione che a un evento associa un numero compreso tra 0 e 1 Dato un evento E, indicheremo la sua probabilità con è compreso tra 0 e 1; nel linguaggio comune si porta sotto forma di percentuale

Probabilità di un evento Esempio: lancio di una moneta Casi possibili: 2 (T e C) Probabilità che esca T: 1 caso favorevole P(T) = 1/2

Quesito 1 Lanciando contemporaneamente due monete, qual è la probabilità di ottenere due teste? Qual è la probabilità di ottenere una testa e una croce?

Risposta Casi possibili TT TC P(E1)=1/4 CT P(E2)=2/4=1/2 CC E1: Ottengo due teste E2: Ottengo una testa e una croce Casi possibili TT TC P(E1)=1/4 CT P(E2)=2/4=1/2 CC

Eventi indipendenti P(AB) = P(A)P(B) Ho due eventi, A e B Con AB dico: “si verificano sia l’evento A che l’evento B” Due eventi si dicono indipendenti se la probabilità dell’evento intersezione è il prodotto delle probabilità dei singoli eventi P(AB) = P(A)P(B)

Quesito 2 Tirando contemporaneamente cinque dadi con facce numerate da 1 a 6, qual è la probabilità di ottenere cinque volte il numero 5? 1/25 1/32 1/10 (1/6)5 1/6

Quesito 3 Tirando contemporaneamente cinque dadi con facce numerate da 1 a 6, qual è la probabilità di ottenere cinque numeri pari? 1/25 1/32 1/10 (1/6)5 1/6

Esempio: Genetica Nella pianta di pisello il carattere seme giallo (G) è dominante rispetto al seme verde (g). Qual è la probabilità che nascano piante col seme giallo?

risposta G g Gg gg Probabilità di avere il seme giallo: 2/4 = 0,5

Quesito 3 Lanciando contemporaneamente quattro monete, qual è la probabilità di ottenere due teste? Qual è la probabilità di ottenere tre teste e una croce?

Probabilità condizionata Si definisce Probabilità condizionata di un evento A dato un evento B la probabilità che si verifichi A sapendo che si è verificato B Si scrive P(A|B) e si legge Probabilità di A dato B

esempio 9 studenti: 4 maschi e 5 femmine partecipano ad un concorso. Una delle femmine : Maria ha la probabilità di vincita di 1/9. Prima dell'uscita dei risultati trapela la notizia che la vincitrice è una femmina. La probabilità di vincita di Maria adesso è 1/5 perché nel concorso c'erano 5 femmine. L'informazione extra che la vincitrice è una femmina, ha cambiato la probabilità di vincita di Maria. Se annotiamo con A l'evento "Maria ha vinto" e con B l'evento "una femmina ha vinto", allora la probabilità del evento A condizionato del evento B è P(A|B) è rappresenta la probabilità che l'evento A si verifica dato che B si è verificato. P(A∩B) = P(A) = 1/9, P(B) = 5/9, P(A | B) = (1/9)/(5/9) = 1/5.

Quesito 4 Calcola la probabilità di estrarre in successione due numeri dispari da un’urna contenente 5 palline numerate da 1 a 5 nei due casi Con reimmissione nell’urna della prima pallina Senza reimmissione nell’urna della prima pallina

Quesito 5 Da un mazzo di 52 carte calcola la probabilità che Esca una figura sapendo che è uscita una carta rossa Esca una carta rossa sapendo che è uscita una figura

alternative Sia dato un evento E; si dice che un insieme di eventi Hi costituisce un insieme di alternative per E se Dove n è il numero di alternative

esempio Un’urna contiene 5 palline verdi e 2 rosse. Estraiamo 2 palline senza reimmissione. Qual è la probabilità di estrarre la seconda pallina rossa? Quali sono le alternative? VR RR

Risposta Evento E “la seconda pallina è rossa” P(E)= somma delle probabilità delle alternative

Legge delle alternative Se Hi è un insieme di alternative per E, si ha che

Quesito 6 Alan lancia contemporaneamente due dadi non truccati con le facce numerate d 1 a 6. Qual è la probabilità che esca lo stesso numero su entrambi i lati? 1/6 1/3 1/36 1/2 1/18

Quesito 7 La probabilità con cui un paziente deve attendere meno di dieci minuti il proprio turno in un ambulatorio medico è 0,8. Qual è la probabilità che una paziente che si reca due volte presso l’ambulatorio medico attenda, almeno una delle due volte, meno di dieci minuti prima di essere ricevuta dal medico? 0,04 0,25 0,64 0,8 0,96

Quesito 8 Una scatola contiene 12 cioccolatini: 4 sono fondenti e 8 al latte. Tre cioccolatini vengono estratti a caso dalla scatola, uno dopo l’altro. Qual è la probabilità che i tre cioccolatini estratti siano al latte? 3/12 12/55 7/11 14/55 3/5

Problema del contare Permutazioni: in quanti modi posso disporre n elementi Esempio: con le lettere a, b, c, quante stringhe posso comporre? abc acb bac bca cab cba Il numero di permutazioni in un insieme di n elementi è n! Disposizioni: in un insieme di n elementi, quanti gruppi non ordinati di k elementi posso ottenere? Esempio: quante combinazioni possibili ci sono al Superenalotto? Devo contare quanti gruppi di 6 elementi posso formare in un insieme di 90 elementi

Problema del contare Numero di disposizioni Nel caso del Superenalotto

Quesito 9 Se in un’urna sono contenute 10 palline numerate dall’1 al 10, qual è la probabilità di estrarre la pallina numero 5 estraendo insieme due palline? 1/10 + 1/9 2/10 1/9 2/9 Nessuna delle altre risposte è corretta