oscillazioni intorno all’equilibrio: Dinamica reticolare oscillazioni intorno all’equilibrio: x Xn-1 Xn Xn+1 Xn+2 Xn+3 n-1 n n+1 n+2 n+3 a longitudinali x Xn-1 Xn Xn+1 Xn+2 Xn+3 n-1 n n+1 n+2 n+3 a trasversali forza di richiamo elastica (trattazione classica): (longitudinale oppure trasversale )

Dinamica reticolare Sistema di equazioni per descrivere il moto classico di oscillatori accoppiati “onda sonora” definita solo nei punti Xn in cui si trovano gli atomi pulsazione massima ampiezza numero d’onda

con N=numero totale di atomi Dinamica reticolare Soluzioni: significato di k: - è un “numero d’onda - kmin=  /L =  /Na con N=numero totale di atomi - è “quantizzato”; valori possibili: k = m kmin, con m intero - kmax=  /a in realtà k può avere tutti i valori fino a infinito, mentre  è periodico in k con periodo pari a 2 /a  vettore del reticolo reciproco (foglio EXCEL “vibrazioni.xls”)

Oscillazioni di un reticolo lineare di 24 atomi k = kmin L k = 2 kmin m = 2 m = numero di “nodi” k = 3 kmin m = 3

Oscillazioni di un reticolo lineare di 24 atomi k = 47 kmin m=47, le oscillazioni sono identiche a quelle con m=1 k = 46 kmin m=46, le oscillazioni sono identiche a quelle con m=2 m=45, le oscillazioni sono identiche a quelle con m=3 k = 45 kmin

periodicità nel reticolo reciproco  mx =2 /M  /a 2  /a k -2 /a -  /a -4 /a 4 /a “ prima zona di Brouillin” -  varia fra 0 e  mx (in un’onda sonora nell’aria, non c’è limite superiore); - fmx = frequenza di taglio o frequenza di “Debye”; - il fenomeno è “periodico” in k, con periodo pari a G = 2  /a, vettore del reticolo reciproco; - la velocità di propagazione, v = d /dk, è massima e circa costante per piccoli k (velocità del suono nel materiale), tende a zero per k ±  /a (onda stazionaria)

quantizzazione delle vibrazioni: i fononi è lecito trattare il moto classicamente? NO! Le condizioni sono simili a quelle dei moti vibrazionali delle molecole energia classica di vibrazione (oscillatore isolato): Evib = 1/2  2  tutte le ampiezze  di oscillazione sono permesse con continuità;  tutte le energie E di oscillazione sono permesse con continuità energia quantistica di vibrazione (oscillatore isolato):  sono permesse solo energie quantizzate

quantizzazione delle vibrazioni nel solido: i fononi energia classica media di oscillatori accoppiati alla frequenza  (dipende dall’ampiezza o a quella frequenza) : energia quantistica media alla frequenza  per oscillatori accoppiati: numero di fononi (oscillatori eccitati) alla frequenza  un fonone ha: - energia - quantità di moto - viaggia alla velocità v =d /dk - ha una frequenza massima, fDebye - ha bisogno del cristallo per propagarsi - ha oscillazioni sia trasversali sia longitudinali è simile a un fotone, ma, a differenza del fotone:

Evidenze sperimentali dell’esistenza dei fononi evidenze dirette: diffrazione anelastica da neutroni “termici” per i fotoni: energia  infrarosso   raggi X  = 2 / k  10-10 m Perché i neutroni? Un neutrone “termalizzato”:

Evidenze sperimentali dell’esistenza dei fononi evidenze dirette: diffrazione anelastica da neutroni “termici”  = 2 / k  10-10 m Eneutron termico 0,04 eV neutrone termico  10-10 m diffrattometro di neutroni a tre assi En , pn E’n , p’n evidenze indirette: calori specifici dei solidi