Analisi e Gestione del Rischio Lezione 5 – Mapping e reporting del rischio

Anagrafica e valutazione strumenti finanziari Il primo passo per la costruzione di un sistema di valutazione del rischio è: La costruzione di un’anagrafica titoli La costruzione di un sistema di valutazione (marking-to-market) dei titoli Il sistema di valutazione è basato sul principio di assenza di arbitraggio: se due posizioni hanno lo stesso valore a una data futura devono avere lo stesso valore oggi. Il principio di non-arbitraggio assicura un sistema di valutazione “coerente” (fair price)

Ricognizione delle posizioni La costruzione di un sistema di reporting del rischio richiede la classificazione delle posizioni in i) mercati ii) scadenze La scelta dei mercati dipende dall’utilizzo che si intende fare del reporting: per ogni business unit può essere utile una classificazione di maggiore dettaglio, rispetto a quella impiegata a livello aggregato, per consentire una gestione dei rischi più selettiva.

Mercati e fattori di rischio La classificazione delle posizioni deve rispecchiare l’individuazione di mercati e fattori di rischio che è rilevante distinguere nel reporting del rischio. La classificazione più immediata suggerisce di distingure posizioni in i) capitale di rischio; ii) capitale di debito; iii) posizioni in cash e valuta.

Capitale di rischio Il capitale di rischio può essere ripartito a seconda della composizione: i) internazionale ii) settoriale La ripartizione del fattore di rischio può prevedere la distinzione tra Rischio generale (sistematico) Rischio specifico (idiosincratico)

Capitale di debito Il capitale di debito può essere ripartito per: i) prodotto (es. monetario, swap o titoli del debito pubblico); ii) classe di rischio o emittente; iii) valuta. I fattori di rischio possono essere ripartiti in Sensitività alla curva dei tassi Rischio specifico

L’arte del reporting Quanti mercati? Si noti che, al limite, potremmo considerare ogni titolo come una fonte di rischio diversa. Esistono titoli che con caratteristiche finanziarie simili hanno comportamenti diversi. i) titoli di capitale di nuova emissione (IPO) rispetto a titoli vecchi; ii) titoli di debito benchmark (es. titoli “on the run” sul mercato U.S.) contro titoli stagionati (seasoned). Estendere il sistema di reporting a questo livello di dettaglio lo renderebbe però ingestibile.

Classificazione delle scadenze Titoli di debito o titoli derivati comportano tipicamente una serie di esposizioni su un insieme di scadenze future. Anche in questo caso, al fine di fornire una rappresentazione sintetica dell’esposizione a diverse scadenze, tutte le esposizioni (cash flow) vengono raggruppate su uno scadenzario omogeneo e costituito da un numero limitato di scadenze (bucket) Ciascun titolo è trasformato in un insieme di esposizioni sui bucket ( cash-flow mapping )

Curve dei tassi: le scelte La costruzione della curva dei tassi per scadenza è il passo più delicato e complesso per la costruzione di un sistema di valutazione delle posizioni e di analisi del rischio Nella costruzione della curva dei tassi si pongono fondamentalmente due scelte, che non devono essere confuse La scelta del mercato, o del segmento di mercato, che la curva dei tassi rappresenta La scelta del tipo di curva da utilizzare per la valutazione di un certo tipo di prodotto

La scelta del mercato La curva dei tassi rappresenta un mercato di prodotti omogenei. Possiamo pensare a classificazioni di mercati per Paese e valuta Emittente (curva “government”, tassi swap) Classi di rischio (curve di titoli con rating) Segmenti di curva (mercato monetario e mercato obbligazionario) La scelta dei mercati da utilizzare per migliorare la rappresentatività della curva dei tassi (futures, tassi del mercato monetario, obbligazioni e tassi swap) rappresenta un’arte più che una scienza e dipende in maniera cruciale dalla sensibilità e conoscenza del mercato

La scelta del tipo di curva La scelta del tipo di curva è invece una questione tecnica legata al tipo di prodotto che si richiede di valutare. Per ogni mercato, possiamo rappresentare la curva dei tassi in quattro modi diversi Curva dei titoli zero-coupon (zero yield curve) Curva a termine (forward curve) Curva dei tassi swap (par yield curve) Curva dei tassi swap forward Ognuna di queste curve è utilizzata per risolvere diversi problemi di valutazione…

Curve dei tassi: utilizzi Zero Curve Swap Curve A pronti (spot) Attualizzazione di poste future Valutazione dello spread in asset swap A termine (forward) Valutazione di cedole indicizzate, cap e floor Valutazione di swaption, constant maturity bonds

Cash flow-mapping La rappresentazioni di un flusso di cash-flow su un numero limitato di bucket è noto come cash-flow mapping. Requisiti: Il segno delle posizioni deve essere preservato Il valore delle posizioni deve essere preservato Il rischio delle posizioni deve essere preservato

Cash flow mapping: due opzioni Opzione Fisher & Weil: i cash-flow sono ripartiti preservando i) il segno ; ii) il valore di mercato; iii) la duration Opzione RiskMetrics™ : i cash-flow sono ripartiti preservando i) il segno ; ii) il valore di mercato; iii) la volatilità

Opzione Fisher Weil Sia c un flusso nominale (positivo o negativo) corrispondente alla scadenza . Il flusso deve essere scomposto in due flussi dello stesso segno ci-1 e ci sulle scadenze più vicine ti-1 e ti. La soluzione richiede che ci-1v(t, ti-1) + civ(t, ti) = c v(t, ) (ti-1 - t)ci-1v(t, ti-1) + (ti - t) civ(t, ti) = ( - t) c v(t, ) N.B. Abbiamo utilizzato la duration di Macaulay, ma avremmo potuto utilizzare allo stesso modo la duration modificata.

Fisher e Weil: la soluzione Risolvendo il sistema abbiamo …e il valore è della posta è ripartito sui bucket in ragione del rapporto tra le duration.

v(t, ti-1)ci-1 = cv(t,) v(t, ti)ci = (1- ) cv(t,) Opzione RiskMetrics™ Definiamo: i-1,  e i le volatilità dei tassi sulle scadenze , ti-1 e ti rispettivamente e i,i-1 la correlazione tra i tassi sui due bucket. Vogliamo ricavare , la quota del valore cv(t,) che verrà allocata al vertice ti-1 v(t, ti-1)ci-1 = cv(t,) v(t, ti)ci = (1- ) cv(t,) La condizioni sul segno e sul valore della posizione originaria rispetto a quelle ottenute con il mapping sono dunque verificate per 0    1 La condizione sulla duration è sostituita da 2Di-12i-12 + (1 - )2 Di2i2 + + 2 (1 - )  Di-1Dii,i-1 ii-1= D2 2

RiskMetrics™: la soluzione Il valore di  è ottenuto risolvendo l’equazione di secondo grado a 2 + b  + c = 0 con a = Di-12i-12 + Di2i2 - i,i-1 Di-1Di ii-1 b = 2(i,i-1 Di-1Di ii-1 - Di2i2) c = Di2i2 - D2 2 Viene scelta la soluzione compresa tra 0 e 1, ammesso che esista!

Cash flow mapping: pro e contro Opzione Fisher & Weil: vantaggi independenza dalla stima della volatilità possibile stimare un limite di errore di approssimazione Opzione RiskMetrics™: svantaggi Se la stima di volatilità è accurata, fornisce un’approssimazione migliore Coerente con un vasto insieme di movimenti della struttura a termine

2Di-122 + (1 - )2 Di22 + 2 (1 - )  Di-1Di 2 = D2 2 Un caso particolare Assumiamo che la volatilità sia costante su tutti e bucket e che la correlazione sia perfetta: i) i-1=  = i =  ii) i,i-1 = 1 La condizione del modello di RiskMetrics™ è 2Di-122 + (1 - )2 Di22 + 2 (1 - )  Di-1Di 2 = D2 2 da cui [ Di-1 + (1 - ) Di ]2 = D2 e la condizione corrisponde a quella di Fisher e Weil

L’arte del reporting Quanti bucket? Il numero dei bucket dovrebbe riflettere il numero dei fattori di rischio che influenzano la curva dei tassi. Un numero insufficiente di bucket può portare a ignorare importanti movimenti della curva Un numero eccessivo di bucket può portare troppo “rumore” nei movimenti della curva In gran parte dei mercati, tre o quattro fattori sono in genere sufficienti a rappresentare la grande maggioranza dei movimenti della curva, ma in concreto se ne usano dieci/dodici per migliorare la rappresentazione dell’esposizione.

Perché più bucket? Tipicamente si utilizza un numero maggiore di bucket rispetto ai veri fattori di rischio che guidano la curva per due motivi Il primo: un numero limitato di dati aumenta la differenza tra le caratteristiche finanziarie del portafoglio di partenza ed i flussi “mappati” Il secondo: una rappresentazione più di dettaglio del profilo temporale dei flussi consente di prendere decisioni migliori in termini di copertura