Geometria descrittiva dinamica Al sommario Ritorno a Introduzione Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge LA RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICO-DESCRITTIVA E RELATIVA TIPOLOGIA DEGLI ELEMENTI PRIMITIVI Il piano - rappresentazione Il disegno di copertina è stato eseguito nell’a.s. 2007/08 da Lattanzio Ambrantonella della classe 1° sezione C del “Liceo Artistico Statale G. Misticoni” di Pescara per la materia : “Discipline geometriche” La revisione delle formalizzazioni è stata curata dal dott. Gabriella Mostacci IL materiale può essere riprodotto citando la fonte Autore Prof. Arch. Elio Fragassi

Geometria descrittiva dinamica Introduzione Presentazione Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge Questo learning object introduce alla procedura di rappresentazione descrittiva del piano geometrico Con esso si individuano e caratterizzano gli elementi geometrici e descrittivi necessari per determinare la rappresentazione ortogonale di un piano comunque collocato nello spazio del diedro. Il piano lo si analizza riguardandolo come superficie rigata piana. La presentazione termina con l’esempio di tre test di verifica: un test grafico, un test teorico ed un test di logica. Dopo i test di verifica sono presentati alcuni temi da svolgere come esercitazioni da sviluppare sotto forma di elaborati grafici. La presentazione si chiude con la creazione di una griglia di valutazione, per gli elaborati grafici, che prende in esame i tre momenti del processo rappresentativo: conoscenza, capacità e competenza.

Sommario rappresentazione Copertina Sfogliare Titolo dell’argomento Proiezione rappresentazione e definizione tipologiga del piano Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura degli elementi grafico-rappresentativi e relative definizioni Test di verifica - grafico Test di verifica - teorico Test di verifica - logico Esercitazioni da sviluppare sotto forma di elaborati grafici Griglia di valutazione dei test e delle elaborazioni grafiche Algoritmi grafici per la definizione descrittiva del piano Elementi necessari alla definizione di un piano 1- Piano per tre punti non allineati e non coincidenti –Algoritmi ed esempi 2- Piano per due rette incidenti – Algoritmi ed esempi 3- Piano per due retta parallele e distinte – Algoritmi ed esempi 4- Piano per una retta ed un punto ad essa non appartenente – Algoritmi ed esempi 4 . 1- Ricerca impostata sull’intersezione tra due rette - Algoritmi ed esempi in formato pdf 4 . 2- Ricerca impostata sul parallelismo tra due rette - Algoritmi ed esempi in formato pdf Vai a Vai a Vai a Vai a Vai a Vai a Vai a Vai a Vai a Vai a Vai a Vai a Vai a

Sommario Proiezione rappresentazione e definizione tipologica del piano Nella caratterizzazione del piano come elemento geometrico dinamico, si è riguardato lo stesso come generato da una retta in movimento orientato e definito secondo la seguente formalizzazione insiemistica che si legge per ogni retta in movimento orientato e definito nello spazio, si genera una ed una sola superficie che prende il nome di “piano” Questa superficie è costituita dall’insieme, non vuoto, delle infinite posizioni che la retta occupa nello spazio, muovendosi secondo una direzione definita ed orientata Quindi in uno spazio di superfici si caratterizza come “piano” l’elemento geometrico dell’insieme delle rette ottenuto come sommatoria orientata, estesa da - a + delle posizioni della retta r in movimento orientato e definito nello spazio tridimensionale secondo la seguente espressione insiemistico-descrittiva

Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura degli Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura degli elementi grafico-rappresentativi e relative definizioni (1) Sommario Per definire gli elementi geometrico-rappresentativi sviluppiamo le analisi successive nel I diedro sapendo che, poi, queste possono essere estese agli altri diedri adattandole alle caratterizzazioni fisiche ed agli ambiti grafici di questi Ricordiamo che gli elementi rappresentativi di una retta r sono le tracce T1r e T2r (Fig.44) ottenute come intersezione della retta con i semipiani del diedro, cioè come T1r = r  1 T2r = r  2 mentre le proiezioni sono espresse dalle seguenti formalizzazioni descrittive Mediante questi quattro elementi rappresentativi viene descritta la retta r comunque collocata nello spazio

Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura degli elementi grafico-rappresentativi e relative definizioni (2) Se consideriamo la stessa nel suo aspetto dinamico, essa, muovendosi parallelamente a se stessa, determinerà sui piani di proiezione 1 e 2 una sequenza di punti reali (tracce) che ne determina la posizione all’interno del diedro (Fig. 45) Poiché la retta si sposta secondo una direzione definita ed orientata, i punti di intersezione risponderanno, per la loro collocazione sul semipiano del diedro, alla legge descrittiva che vuole una retta definita mediante una direzione assegnata I punti, così ottenuti, risultano allineati e prendono il nome di “traccia del piano” e si indicano con “t1” la traccia su 1 e con “t2” la traccia su 2. Per la “t” si utilizzano le lettere minuscole dell’alfabeto perché le tracce si caratterizzano, geometricamente, come “rette”, pertanto le due didascalie si leggono: t1 = Traccia prima o traccia uno del piano  t2 = Traccia seconda o traccia due del piano 

“traccia prima del piano ” e “traccia seconda del piano ” Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura degli elementi grafico-rappresentativi e relative definizioni (3) Definito tutto quanto sopra, e ricordando la formalizzazione descrittiva del piano volendo sintetizzare e formalizzare come rette descrittive questi due elementi rappresentativi del piano, essi assumono il seguente aspetto retta unita a 1 (Sommatoria dei punti uniti a 1) retta unita a 2 (Sommatoria dei punti uniti a 2) Dal punto di vista fisico, essendo le tracce generate dalla sommatoria di punti reali, saranno due rette reali. Infatti le T1 sono punti uniti a 1 e quindi con quota nulla, mentre le T2 sono punti uniti a 2 e quindi con aggetto nullo A conferma di quanto sopra è solo il caso di ricordare che dall’operazione geometrica dalla intersezione di due piani si ottiene una retta per cui, implicitamente, il piano  attraversando il diedro intersecherà i due semipiani 1 e 2, dando origine a due rette che, nello specifico assumono il nome di “traccia prima del piano ” e “traccia seconda del piano ”

Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura degli elementi grafico-rappresentativi e relative definizioni (4) Una considerazione particolare deve essere fatta sull’origine delle tracce Esse devono intersecare la linea di terra sempre, contemporaneamente e nello stesso punto Infatti se consideriamo il piano generato da una retta che si sposta secondo una direzione assegnata e definita, essa, nel suo movimento nello spazio, passando da un diedro all’altro si intersecherà con la linea di terra Poiché l’intersezione tra due rette genera un punto r  lt  T1r  T2r per questo motivo le tracce del piano  hanno sempre un punto in comune sulla linea di terra Inoltre bisogna considerare che siamo in presenza di tre piani 1 , 2 ed  e ricordare che la loro intersezione genera un punto che diventa il centro della stella dei tre piani Il luogo piano racchiuso tra due tracce contiene, poi, le infinite proiezioni della retta che muovendosi genera il piano (Fig.46)

Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura degli Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura degli elementi grafico-rappresentativi e relative definizioni (5) In conclusione ogni retta dello “spazio rigato” muovendosi, nello spazio solido del diedro secondo una direzione definita (parallelamente a se stessa) determina un insieme di punti reali definiti ed orientati che assumono il nome di “traccia del piano” e si indicano con la t minuscolo. Essendo due i semipiani che delimitano il diedro, le tracce saranno, anch’esse, due e prendono l’indice uno o due a seconda che sia riferita al piano 1 o 2 Infine per quanto sopra esposto le due tracce devono necessariamente essere incidenti sulla linea di terra nello stesso punto (reale o improprio) e, per l’aspetto dinamico, contemporaneamente Volendo schematizzare possiamo raccogliere e sintetizzare le considerazioni come nella seguente tabella Pertanto ogni piano può essere rappresentato secondo le leggi descrittive di cui trattasi nei seguenti appunti, mediante gli elementi geometrico-rappresentativi elencati nella tabella che segue Gli elementi rappresentativi del piano e relative caratteristiche Elemento geometrico Didascalia elemento Didascalia elementi rappresentativi Nomenclatura elemento Definizione geometrica Definizione fisica t1a Retta Reale Traccia 1a o traccia 1 a Piano t2 Retta Traccia 2a o traccia 2 Reale

Test di verifica - grafico Sommario Risoluzione Poiché la risoluzione grafica è particolarmente complessa si è preferito ridimensionare la finestra del dato per rendere più chiaro lo sviluppo degli algoritmi grafici risolutivi T2a t2a X” t2a T2b T¥2a t2a T¥1a C” T2x a” M” b” a’ t1a y” t2a b” T1a a’ T2y x” a” F” M’ X’ B” E’ b’ T1b y’ F’ A” lt lt lt b” T1a T2a x’ A’ C’ a’ a” T1b T2b D’ºD” E” X’ T1x t1a b’ X’ t1a B’ b’ lt T1y T1b t1a

Test di verifica - teorico Sommario Risoluzione a ÎW IID bÎW ID cÎW IIID dÎW IVD

Test di verifica - logico Sommario Risoluzione t2a t1a t2a a” b” a” a’ a” a’ errore b” a’ b’ a’ a” b’ t1a t2a t1a

Esercitazioni da sviluppare sotto forma di elaborati grafici Sommario Definire la rappresentazione ortogonale dei seguenti piani assegnati una retta ed un punto esterno A(A’=1; A”=3) B(B’= - 3; B”=1) C(C’=-4; C”= - 2) D(D’=4; D= - 1) a b g d a( T1a=3; T2a= 3) b( T1b=1; T2b= 3) c(T1c=2; T2c= 4) d(T1d=6; T2d=4) E(E’=2; E”=4) F(F’= - 4; F”=2) G(G’=4; C”= - 2) H(H’= - 4; D= - 4) e j l m e( T1e=2; T2e=- 3) f( T1f= -3; T2f= - 3) g(T1g=2; T2g= - 4) h(T1h=2; T2h=5) Eseguire la rappresentazione ortogonale dei seguenti piani descritti nei caratteri geometrici a (Ð p1+ Ð p2+) b (// p1- ^ p2+)  (1+ 2+ // lt) d ( Ðp1- Ð p2 + // lt) e (^ p1+ Ð p2+) j (Ð p1+ ^p2+ ) l (^ p1- ^p2+ ) m (Ð p1- ^p2+ ) Definire la rappresentazione ortogonale dei piani così caratterizzati 1) Piano proiettante in 1a proiezione nel II D 2) Piano generico nel IV D 3) Piano di profilo nel IV D 4) Piano proiettante in 2a proiezione nel I D 5) Piano generico parallelo alla lt nel IID 6) Piano orizzontale nel IV D

Griglia di valutazione dei test e delle elaborazioni grafiche Sommario Si riporta, di seguito, una griglia utilizzata per la valutazione sia test che delle esercitazioni grafiche sviluppate sotto forma di elaborati. Si considerano tre parametri fondamentali: 1)Conoscenze teoriche 2)Capacità logiche 3)Competenze grafiche VALUTAZIONE DEI TEST E DELLE ESERCITAZIONI GRAFICHE Ogni elaborato è costituito da quattro esercizi che vengono, singolarmente, valutati secondo la seguente griglia Test Eserc. PUNTI MAX Elementi della valutazione VALUTAZIONI Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi) 0,00 0,50 1,00 1 Capacità logiche (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche) 0,00 0,50 1,00 2,50 Competenze grafiche (Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.) 0,00 0,25 0,50 Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi) 0,00 0,50 1,00 2 Capacità logiche (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche) 0,00 0,50 1,00 2,50 Competenze grafiche (Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.) 0,00 0,25 0,50 Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi) 0,00 0,50 1,00 3 Capacità logiche (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche) 0,00 0,50 1,00 2,50 Competenze grafiche (Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.) 0,00 0,25 0,50 Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi) 0,00 0,50 1,00 4 Capacità logiche (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche) 0,00 0,50 1,00 2,50 Competenze grafiche (Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.) 0,00 0,25 0,50 PUNTEGGIO TOTALE 10,00

Algoritmi grafici per la definizione descrittiva del piano (1) E’ bene, anzitutto, ricordare che il piano geometrico a viene rappresentato, in forma descrittiva, da due rette (t1a, t2a), appartenenti rispettivamente a p1 e p2 , che si intersecano sulla linea di terra (lt) nel medesimo punto che può essere reale o improprio. Se il punto d’intersezione è un punto reale le due tracce del piano sono costituite da due rette, appartenenti ai rispettivi piani di proiezione, che intersecano la lt in un punto reale definito come negli esempi che seguono. Tracce del piano generico Piano generico con tracce allineate Tracce allineate del piano di profilo

Tracce del piano generico parallelo alla lt Algoritmi grafici per la definizione descrittiva del piano (2) Se il punto d’intersezione è un punto improprio le tracce del piano sono costituite da rette (una o due) appartenenti ai piani di proiezione, parallele alla lt e, quindi, incidenti ad essa in un punto improprio come negli esempi successivi. Tracce del piano generico parallelo alla lt Tracce del piano orizzontale Tracce del piano frontale Si ricorda, infine, che una retta resta determinata mediante uno dei seguenti modi: mediante l’assegnazione di due punti distinti e non coincidenti mediante l’assegnazione di un punto reale (punto di applicazione) e una direzione detta (direttrice)

Progressione dei passi dell’algoritmo grafico Algoritmi grafici per la definizione descrittiva del piano (3) “Intuitivamente, un algoritmo si può definire come un procedimento che consente di ottenere un risultato atteso eseguendo, in un determinato ordine, un insieme di passi semplici corrispondenti ad azioni scelte solitamente da un insieme finito” (Wikipedia: voce algoritmo). Oppure “Un algoritmo consiste in un metodo di automazione del calcolo che, a partire da alcuni dati iniziali, permette di ottenere con certezza un risultato mediante una serie di regole, in un ordine determinato, ed in un numero finito di passaggi. Pertanto con un algoritmo non si risolve un unico problema, ma una serie di problemi della stessa classe, vale a dire, che siano governati dalle stesse prescrizioni, siano quali siano i dati iniziali” (Dal pallottoliere alla rivoluzione digitale; Algoritmi e informatica; Mondo Matematico; Direttore: Giorgio Rivieccio; Novara 2011 - Prefazione) Assunto, quindi, il concetto di algoritmo come sviluppo di un procedimento sintetico di calcolo per l’ottenimento di un risultato, trasponiamo questo concetto in campo descrittivo con la seguente definizione di “algoritmo grafico’’ Per “algoritmo grafico” si intende una sequenza di operazioni grafico-geometriche, in numero finito, necessarie per risolvere un determinato problema descrittivo Progressione dei passi dell’algoritmo grafico Problema Dati Passo 1 Passo 2 Passo 3 ---------- Passo n Verifiche Risultato Nel caso in oggetto saranno definiti gli algoritmi grafici necessari per la ricerca, la determinazione e la rappresentazione descrittiva del piano secondo i quattro modi precedentemente descritti in forma insiemistica; essi saranno esposti passo dopo passo, sia nella forma insiemistica che nella relativa trasposizione geometrico-grafico-descrittiva.

Elementi necessari alla definizione di un piano (1) Sulla base delle considerazioni sviluppate relativamente alla superficie piana intesa in senso dinamico, per definire, univocamente, un piano possiamo fare riferimento a quattro metodi utilizzabili a seconda delle situazioni grafiche che si presentano o delle necessità descrittive o in relazione all'economia grafica, se l'elaborazione si presenta complessa 1° metodo Un piano resta univocamente determinato se vengono assegnati tre punti non allineati e non coincidenti A B C (Fig.32). La formalizzazione specifica insiemistica e descrittiva assume l’aspetto seguente Sviluppo dell’algoritmo grafico ed esempi in versione pdf

Elementi necessari alla definizione di un piano (2) 2° metodo Un piano può essere univocamente definito se vengono assegnate due rette incidenti a Ç b (Fig.35) La formalizzazione specifica insiemistica e descrittiva assume l’aspetto seguente Sviluppo dell’algoritmo grafico ed esempi in versione pdf

Elementi necessari alla definizione di un piano (3) 3° metodo Un piano può essere univocamente definito se vengono date due rette parallele e distinte a//b; a b (Fig.34 La formalizzazione specifica insiemistica e descrittiva assume l’aspetto seguente Sviluppo dell’algoritmo grafico ed esempi in versione pdf

La ricerca può essere sviluppata nei seguenti due metodi Elementi necessari alla definizione di un piano (4) 4° metodo Un piano può essere univocamente determinato se vengono assegnati una retta r ed un punto esterno a questa AÏr (Fig.33) La formalizzazione specifica insiemistica e descrittiva assume l’aspetto seguente Sviluppo dell’algoritmo grafico ed esempi in versione pdf La ricerca può essere sviluppata nei seguenti due metodi 4.1- Ricerca impostata sull’intersezione tra due rette, in versione pdf 4.2– Ricerca impostata sul parallelismo tra due rette, in versione pdf