I sistemi di equazioni lineari Prof. Angela Fanti Liceo Scientifico Statale “Francesco d’Assisi”

Sistemi Oggetto di questa presentazione sono i “sistemi lineari”, ossia i sistemi di equazioni di primo grado, in un numero qualunque di incognite. L’obiettivo è quello di presentare i teoremi che descrivono le condizioni per l’esistenza delle soluzioni ed il metodo per calcolarle. Partiremo dai casi elementari come quello dei sistemi quadrati per giungere al caso dei sistemi qualunque,ed infine dei sistemi omogenei.

Sistemi di due equazioni in due incognite Ogni equazione del tipo ax+by+c=0 o del tipo y=mx+q ha infinite soluzioni e ciascuna di esse è una coppia (x,y) di numeri reali. La scrittura oppure è detta sistema lineare di due equazioni in due incognite ed è l’espressione formale per considerare le soluzioni comuni alle due equazioni. Il sistema è detto lineare perché è costituito da due equazioni di primo grado

E’ detto grado di un sistema di equazioni il prodotto dei gradi delle singole equazioni Il sistema lineare è di primo grado. Risolvere un sistema significa ricercare l’intersezione degli insiemi delle soluzioni delle sue equazioni. Una coppia (x0,y0) è soluzione di un sistema di equazioni se è soluzione di ciascuna equazione del sistema.

Soluzione grafica Dato che ciascuna equazione è rappresentabile per mezzo di una retta, ricercare le soluzioni di un sistema lineare equivale a determinare le coordinate degli eventuali punti di intersezione delle rette

Soluzione grafica Dato il sistema lineare di due equazioni in due incognite Se l’insieme delle soluzioni è costituito da un solo elemento, il sistema si dice determinato Le rette che costituiscono il sistema sono incidenti Il punto di intersezione delle due rette incidenti rappresenta la soluzione del sistema

Soluzione grafica Se l’insieme delle soluzioni è l’insieme vuoto, allora il sistema si dice impossibile Le rette che costituiscono il sistema sono parallele e non coincidenti. Non esiste alcun punto del piano che rappresenti l’insieme vuoto delle soluzioni.

Soluzione grafica Se l’insieme delle soluzioni è costituito da infiniti elementi, il sistema si dice indeterminato. Le rette che costituiscono il sistema sono coincidenti. L’insieme delle soluzioni è l’insieme di tutti e soli i punti appartenenti alla retta

Metodi risolutivi 1) Metodo del confronto 2) Metodo di sostituzione 3) Metodo di riduzione (addizione o sottrazione) 4) Metodo di Cramer

Sistemi di tre equazioni in tre incognite Nel piano, il modello geometrico delle soluzioni dell’equazione ax+by+c=0 è l’insieme dei punti di una retta. Nello spazio, in cui sia stato scelto un riferimento cartesiano, il modello geometrico delle soluzioni dell’equazione ax+by+cz+d=0 è l’insieme dei punti di un piano.

Posizione di tre piani nello spazio e modello algebrico dell’eventuale insieme intersezione Siano,, , , tre piani dello spazio di equazione Esaminiamo alcune situazioni

A) i tre piani sono paralleli e non coincidenti L’intersezione dei tre piani è l’insieme vuoto      =  Il sistema è impossibile e l’insieme delle soluzioni è S = 

B) i tre piani sono coincidenti L’intersezione è il piano stesso      =  Il sistema è indeterminato e l’insieme delle soluzioni è l’insieme delle terne (x,y,z) coordinate dei punti del piano .

C) due piani sono coincidenti e il terzo è parallelo ad essi L’intersezione dei tre piani è l’insieme vuoto    =  e      =  Il sistema è impossibile e l’insieme delle soluzioni è S = 

D) due piani sono coincidenti e il terzo li interseca L’intersezione dei tre piani è una retta r    =  e      = r Il sistema è indeterminato e l’insieme delle soluzioni è l’insieme delle terne (x,y,z) coordinate dei punti della retta r.

E) due piani sono paralleli ma non coincidenti e il terzo li interseca entrambi oppure si intersecano a due a due ma la loro intersezione è vuota L’intersezione dei tre piani è l’insieme vuoto    = r oppure    = r    = s    = s r  s =     = t e s  t =  Il sistema è impossibile e l’insieme delle soluzioni è S = 

F) l’intersezione dei tre piani è una retta Il sistema è indeterminato e l’insieme delle soluzioni è l’insieme delle terne (x,y,z) coordinate dei punti della retta r.

G) i tre piani si intersecano in un punto Il sistema è determinato e l’insieme delle soluzioni è S = {(xP ,yP ,zP )} .