Analisi e Ottimizzazione di Traiettorie per SPHERES Zero Robotics Competition 2012

Di cosa si tratta? Occorre muoversi da un punto A ad un punto B e nel frattempo far fuoriuscire del pulviscolo Entro un tempo dato (vincolo) Consumando poco (minimizzazione/vincolo) Ottenendo il massimo dei punti (ottimizzazione) Qual e’ la strategia e/o la traiettoria migliore per ottenere tutto cio’? Proviamo a fare un po di conti ?

Spostamento e Rotazione (nube) C B (nube) A (punto di partenza)

Spostamento Rettilineo (A->C) Satellite inizialmente fermo Accelerazione uniforme (quanta?) Moto rettilineo uniforme (per quanto tempo?) Decelerazione uniforme (quanta?) Arresto (circa…)

Spostamento Rettilineo Consumo (s) RILASCIO PULVISCOLO F(N) v(m/s) B t(s) A C acc moto uniforme dec acc moto uniforme dec

Spostamento Rapido Consumo (s) F(N) V(m/s) B B t(s) A C C

Facciamo un po di conti… Azione e reazione Legge di Newton: F = M*a F = forza applicata (N) M = massa di SPHERES (kg), NON “peso” a = accelerazione (m/s2) CO2

Facciamo un po di conti… Durante l’accelerazione (moto accelerato, da fermo): V = a*t S = ½*a*t2 V = velocita’ (m/s) a = accelerazione (m/s2) t = tempo (s) S = spostamento (m)

Facciamo un po di conti… Moto rettilineo uniforme: V = costante S = V*t V = velocita’ (m/s) S = spostamento (m) t = tempo (s)

Facciamo un po di conti… Consumo (carburante): CS = KC * F * t CS = KC * M * a * t = KC * M * V CS = consumo (espresso in s di carburante consumato) F = forza (N) t = tempo (s) KC = consumo specifico (dipende dal motore…) (s/(Ns)) V = velocita’ (m/s) M = massa (kg)

Caratterizzazione SPHERES Ma quanto valgono i parametri di SPHERES? Si lanciano delle simulazioni variando F: KR ≈ 0.05s/(o/s) F T S CS KC M FMAX 0.001N 10s - 0.01N 0.12m 1s 10s/(Ns) 4.15kg 0.02N 0.24m 2s 0.05N 0.54m 4.5s 0.046N 0.1N

E per rilasciare la polvere? Occorre far ruotare SPHERES a 30o/s, una tantum, tramite una coppia. Ma quanto consumo? CR = KR*ωROT CR = consumo per ruotare (s) ωROT = velocita’ angolare di rotazione (o/s) KR = consumo specifico per ruotare ≈ 0.05 s/(o/s) CR ≈ 1.5s

Prossimo passo E ora proviamo a: unire le varie formule, fare un po di conti, ragionarci sopra, ottimizzare le scelte… Sembra facile… ma lo e’!

Spostamento Rettilineo Consumo (s) F(N) V(m/s) t(s) TA TS TA TA TS TA

CD = P*2*(KC*F*TA) CD = 2*(KC*F*TA) CD = (KC*F*TA) Carburante totale Sapendo che: CS = KC*F*t il consumo per giungere a destinazione sara’: CD = consumo per giungere a destinaz. P = numero di tratti rettilinei KC = consumo specifico TA = tempo di accelerazione/decelerazione CD = P*2*(KC*F*TA) CD = 2*(KC*F*TA) CD = (KC*F*TA)

Spostamento Rettilineo Consumo (s) F(N) V(m/s) t(s) TA TS TA TA TS TA V/2 V/2 V/2 V/2

Spostamento complessivo Spazio totale percorso: ST = P*V*(TA+TS) (TA+TS) = ST / (P*V) ST = spazio totale percorso per giungere a destinazione P = numero di tratti rettilinei TA = tempo di accelerazione/decelerazione TS = tempo di moto uniforme

Combiniamo le formule… Partendo quindi da: CD = P*2*KC*F*TA  F*TA = CD/(P*2*KC) (impulso) F = M*a  a=F/M V = a*TA  V = F/M*TA  F*TA=V*M (impulso) Uguagliando, si ottiene la velocita’ di crociera: V = CD/(P*2*KC*M) CD = consumo per giungere a destinazione P = numero di tratti rettilinei KC = consumo specifico M = massa di SPHERES

Spostamento Rettilineo Consumo (s) F(N) V(m/s) t(s) TA TS TA TA TS TA

TD = P*(2*TA+TS) TD =P*(TA+TS)+P*TA Tempo per giungere Tempo per giungere a destinazione: TD = P*(2*TA+TS) TD =P*(TA+TS)+P*TA TD = tempo per giungere a destinazione P = numero di tratti rettilinei TA = tempo di accelerazione/decelerazione TS = tempo di moto uniforme

Combiniamo le formule… Partendo da: F*TA=V*M  TA=V*M/F (TA+TS) = ST / (P*V) TD =P*(TA+TS)+P*TA Tempo per giungere a destinazione: TD = P*ST/(P*V) + P*V*M/F Sostituendo ancora: V = CD/(2*P*KC*M) Si ha: TD =(2*ST*P*KC*M/CD) + CD/(2*KC*F) TD = tempo per giungere a destinazione P = numero di tratti rettilinei ST = spazio totale percorso per giungere a destinazione CD = Consumo di carburante per giungere a destinazione

Combiniamo le formule… Attenzione alle formule! Valgono fintanto che TA+TS > TA Ovvero P*(TA+TS) > P*TA (2*ST*P*KC*M/CD) > CD/(2*KC*F) Ovvio! Ma non scordiamolo! 1o termine 2o termine

Verifica dimensionale Proviamo a verificare le “unita’ di misura” della formula TD = (83s2/m * P*ST/CD) + CD/0.92 ST e’ espresso in m CD e’ espresso in s (unita’ di misura “strana” per un consumo, ma e’ quella usata per SPHERES) P e’ un numero intero puro Quindi… [s] = ([s2/m] * [m]/[s]) + [s] Corretto!

TD = (83s2/m * P*ST/CD) + CD/0.92 Un esempio TD = (83s2/m * P*ST/CD) + CD/0.92 Se: ST = 0.9m (p.to di partenza – satellite) P = 5 (= 4/5 nubi) CD = 10s Si ha: TD =(83s2/m * 5*0.9m/10s) + 10s/0.92 = 37.3s + 10.8s = 48.1s >

Attenzione… KC aumenta di un fattore √3. Le formule trovate valgono se la forza e’ applicata lungo uno degli assi propri del satellite Xs,Ys,Zs. Cosa succede se si vuole applicare una forza lungo una direzione diversa? Caso peggiore: la direzione Fx=Fy=Fz=F Tre propulsori attivi (X, Y, Z)  consumo triplo Forza √ (Fx2+Fy2+Fz2) = √3 * F Quindi consumo di piu’ a parita’ di forza KC aumenta di un fattore √3. X Y Z F

Prima ottimizzazione… Sapendo che: TD = (2*ST*P*KC*M/CD) + CD/(2*KC*F) Premesso che: ST, M, KC, NON si possono variare Quale valore di F scegliero’? Il MASSIMO! (FMAX ) TD = (83s2/m * P*ST/CD) + CD/0.92 Quale valore di CD scegliero’? Dipende… Quale valore di P scegliero’? Dipende… >

Adesso tocca a voi… TD TD = (83s2/m * P*ST/CD) + CD/0.92 CD P*ST 1m 2m

Adesso tocca a voi… TD = (83s2/m * P*ST/CD) + CD/0.92

Ragioniamo un po’… TD = (83s2/m * (P*ST)/CD) + CD/0.92 … sulla formula A parita’ di consumo CD il tempo totale TD aumenta all’aumentare del prodotto (P * ST) A parita’ di punti P e di percorso totale ST, il tempo totale dipende dal consumo CD. Ci sara’ un “ottimo” (prossima pagina). A parita’ di tempo totale TD il consumo CD dipende dal prodotto (P * ST)

Seconda ottimizzazione… TD = (83s2/m * (P*ST)/CD) + CD/0.92 Ha un TD “minimo”, dove la derivata e’ nulla! d TD(CD) / d CD = 0 -(83s2/m * (P*ST)/CD2) + 1/0.92 = 0 CD,opt2 = (83s2/m * (P*ST) * 0.92) CD,opt = √(76.4s2/m * (P*ST)) TD CD TA+TS > TA TA+TS < TA

Oppure… … il grafico puo’ essere letto “a rovescio” Se voglio far in fretta, consumo parecchio Se voglio consumare poco, devo andare adagio Cosa mi conviene? In entrambi i casi perdo punti… TD CD

Ottimizzazione Punteggio Se arrivo per primo, il punteggio finale sara’ dato da : Q = (K – TD) + 2 * (CTOT - CD) Dove: Punti per chi arriva primo (piu’ si arriva in fretta, piu’ si guadagna) K e’ una costante che tiene conto del tempo necessario per le “altre manovre” e del tempo richiesto al secondo per terminare TD e’ il tempo necessario per depositare le nubi ed uscire da zona 1 Carburante rimasto CTOT e’ il carburante a disposizione (sommato al rifornimento) CD e’ il consumo per depositare le nubi ed uscire dalla zona 1 Da cui: Q = K’ – TD – 2 * CD

Ottimizzazione Punteggio Sostituendo, si ha: Q = K’ – ((83s2/m * P*ST/CD) + CD/0.92) - 2 * CD Q = K’ - (83s2/m * P*ST/CD) – 3.09 * CD Di cui si cerca il massimo in funzione di CD (derivata = 0, come prima…) CD,opt = 5.18s * √((P*ST) * m-1) e, sostituendo: Qopt = K’ – 2 * 3.09 * CD,opt Qopt = K’ – 32.0s * √((P*ST) * m-1) Quindi, quanti punti “costa” una nube in piu?

Spostamento e Rotazione ST=S1+ P=2 +S5 +S2+ +S3+ A P=1 (sat) (punto di partenza)

Punteggio finale (ST = 1m) P (nubi) Q Penalty Pulv. TOT CD,opt 1 (0) -32s -12s - -44s 5.2s 2 (1) -42.3s -8.8s -8s -59.1s 7.3s 3 (2) -55.4s -5.4s -16s -76.8s 9.0s 4 (3) -64s -2.3s -24s -90.3s 10.4s 5 (4) -71.6s -28s -100s 11.6s 7 (6) -84.7s -113s 13.7s 9 (8) -96s -124s 15.5s 11 (10) -106.1s -134s 17.2s

Punteggio finale (ST = 1m) P (nubi) Q Penalty Pulv. TOT CD,opt 1 (1) -32s -8.8s -8s -48.8s 5.2s 2 (2) -42.3s -5.4s -16s -63.7s 7.3s 3 (3) -55.4s -2.3s -24s -81.7s 9.0s 4 (4) -64s - -28s -92s 10.4s 5 (5) -71.6s -100s 11.6s 7 (7) -84.7s -113s 13.7s

Ma Attenzione… Ci sono anche tanti altri fattori da tenere in considerazione… Piu’ pulviscolo rilascio piu’ rallento l’avversario… Piu’ velocemente arrivo al rifornimento piu’ probabilita’ ho di prendere il piu’ fornito… Ecc. Ecc. Ora avete gli strumenti matematici per considerarli tutti…

Concludendo… BUONA GARA E CHE VINCA IL MIGLIORE!