Tensione superficiale Fluidi Tensione superficiale

I fluidi Si chiamano “fluidi” tutti quei materiali, semplici o composti, che non sopportano uno sforzo di taglio. I liquidi e gli aeriformi sono fluidi. Nei fluidi i legami fra le molecole sono debolissimi e non oppongono nessuna resistenza alla loro separazione. Nei solidi i legami sono molto corti e le molecole formano un reticolo che gode di proprietà collettive inesistenti nei fluidi. Quando si tratta con i fluidi, piuttosto che di massa e forza, bisogna parlare di densità (massa volumica) e pressione. La densità e la pressione sono definite come: r = Dm/DV e P = DF/DA o più semplicemente r = m / V P = F / A

Valori tipici della r e della P (tanto per avere una idea di cosa stiamo parlando) Materiale Densità r 103 (kg/m3) Polistirolo espanso 0,03 Ghiaccio 0,92 Acqua (20°C - 50 bar) 1 Acqua di mare 1,03 Alluminio 2,7 Terra 5,5 Ferro 7,8 Ottone 8,6 Mercurio 13,6 H2SO4/PbSO4 1,30/1,15 Condizione di rivelazione di P Pressione (Pa, Pascal) Pressione al centro della terra 4x1011 Massima pressione in laboratorio (Anvil cell) 1,5 x 1010 Fossa delle Marianne 1,1 x 108 Pneumatici automobilistici 2x105 Al livello del mare 1x105 Pressione sanguigna 1,6x104 Minima pressione in laboratorio (vuoto) 10-12

Forze di coesione Sono chiamate forze di coesione quelle forze che agiscono fra le molecole di uno stato aggregato. Nel caso dei solidi, le forze di coesione fra le molecole sono molto forti, tanto da permettere solo piccole oscillazioni attorno ai propri siti. Il solido ha un volume ed una forma propria. Nel caso dei liquidi le forze di coesione sono ancora abbastanza forti da tenere le molecole abbastanza vicine. I liquidi hanno un volume proprio, ma non una forma propria. Nel caso delle sostanze gassose le forze molecolari sono debolissime, tanto da permettere alle singole molecole di muoversi, dopo gli urti, di moto rettilineo. Le sostanze gassose non hanno una forma propria ne un volume proprio.

La pressione in acqua dipende solo dalla profondità h Ipotizziamo una sottile lastra di acqua spessa Dy immersa in acqua, il suo peso sarà: m g = (rDV) g S F = mg = r (DyA) g (legge di Stevino) Le forze agenti sulla lastra saranno: (p+Dp)A pA – (p + Dp)A = S F ovvero -DpA = r(DyA)g e quindi: p2 - p1 = -r y2 g + r y1 g p1 + ry1 g = p2 + ry2 g in generale p = -r g y La pressione p aumenta con la profondità h = - y (rADy) g pA Inoltre se in un recipiente aperto assumiamo che p2 è pa, la pressione atmosferica, e h la profondità avremo che la pressione alla profondità h sarà p(h) = pa + rgh. La pressione in acqua dipende solo dalla profondità h

Pressione in fluidi a riposo (1) Per un liquido la pressione a riposo dipende linearmente dalla profondità. Questo è legato alla sua incompressibilità. Infatti siccome r non dipende da y l’integrazione di dp = rg dy da come risultato: p = p0 + rgh Si vede che la pressione è lineare con la profondità ed, in un grafico pressione – profondità, si rappresenta con un tratto lineare. In particolare ogni 10 metri circa di profondità la pressione raddoppia 20 (km) 1 Livello del mare P (atms) 8 (m) p = p0 + rgh

Pressione dell’atmosfera Se invece il fluido è compressibile (caso dell’aria) la pressione diminuisce con l’altezza. Salendo di quota, l’aria è più rarefatta. Dal livello del mare in su, la densità r dipende dalla quota e diminuisce esponenzialmente 20 (km) 1 Livello del mare p (atms) 8 (m) La dipendenza della pressione con l’altezza si otterrà integrando dp = -r(y)gdy

Principio di Archimede Un corpo immerso in un fluido riceve una spinta verticale, dal basso verso l’alto, pari al peso del liquido spostato. Esempio: quale è la percentuale del volume emergente di un iceberg? Soluzione: il peso dell’iceberg è Pi = ri Vi g il peso dell’acqua di mare è Pm = rm Vm g Per l’equilibrio Pm = Pi ri / rm = Vm / Vi = 0,92/1,03 89% è il volume dell’acqua di mare spostata, quindi la parte emergente è solo 11% di tutto l’iceberg

Pesare la spinta di Archimede Un recipiente pieno d’acqua del peso W è posto su una bilancia. Una pietra che pesa w, agganciata ad una corda, viene immersa nell’acqua senza toccare il fondo. La pietra sospesa ad un filo e immersa nell’acqua deve rispettare la II legge di Newton. S Fx = 0 w è la forza peso, T è la tensione del filo e B è la spinata di Archimede. quindi T + B = w (*). La molla della bilancia eserciterà sul sistema (recipiente + sasso) una forza S così per la II legge di Newton W + w = S + T e tenendo conto della relazione (*) avremo: W + (T + B) = S + T cioè S = W + B con B = r g V La spinta di Archimede B sarà B = S – W la differenza fra il valore indicato dalla bilancia e il peso dell’acqua

Principio di Pascal (1623 – 1662) “La pressione esercitata sulla superficie di un fluido chiuso si trasmette sulle pareti del recipiente e in ogni porzione del fluido” pi = p0 Fi /Ai = F0/A0 Fi / F0 = Ai / A0 L’unità di misura della pressione è il Pa (Pascal) pari a un Newton su un metro quadrato [Pa] = N/m2 [KM-1S-2] Nel principio dei vasi comunicanti l’acqua sta sempre alla stessa quota perché la pressione atmosferica è sempre la stessa.

Misurazione della pressione Torricelli (1608 -1647) Per misurare la pressione ambientale in un contenitore basta disporre di un tubo ad U contenente del liquido. Collegando un estremo del tubo con il contenitore, possiamo attenere il valore della sua pressione misurando il dislivello delle superfici del liquido ai due estremi p + rgy1 = pa + rgy2 p - pa = rg (y2 – y1) = rgh Il valore della pressione atmosferica si ottiene applicando questa equazione. Nel 1644 Torricelli trovò che essa è pari a 760 mmHg Domanda: Usando acqua, invece del Hg, quanto dovrebbe essere alto il tubo? Risposta: almeno 10,34 m, 13,6 volte più alto, cioè pari al rapporto rHg /rH2O

Pressione sanguigna Il sangue è soggetto ad una pressione variabile perché pompato dal cuore: la pressione sistolica e quella diastolica sono gli valori estremi del battito cardiaco. Per misurare la pressione di un paziente si applica una pressione molto alta al braccio e la si riduce lentamente. I primi battiti uditi sono dovuti alla pressione sistolica. Gli ultimi battiti sono dovuti alla pressione diastolica. ESEMPIO: A quale altezza deve essere sistemata una flebo se si deve iniettare una soluzione salina di densità r = 103 kg/m3 nel braccio di un paziente che ha la pressione di 60 mmHg

Pressione: fattori di conversione Le unità di misura della pressione sono molto diversi per ragioni tradizionali, per l’uso che se ne fa e ragioni di comodità. La pressione atmosferica si misura in bar, le gomme della macchina in atm, la pressione del sangue in mmHg Unità di pressione e fattori di conversione   Pa bar (daN/cm2) MPa (N/mm2) kgf/m2 at (kgf/cm2) atm torr (mmHg) 1 10−5 10−6 0,102 0,102 × 10−4 9,87 × 10−6 0,0075 bar 105 0,1 10 200 1,02 0,987 750 MPa 106 10 1,02 × 105 10,2 9,87 7 501 9,81 9,81 × 10−5 9,81 × 10−6 10−4 0,968 × 10−4 0,0736 at 98 100 0,981 0,0981 10 000 0,968 736 101 325 1,013 0,1013 10 330 1,033 760 torr (mmHg) 133 0,00133 1,33 × 10−4 13,6 0,00136 0,00132

Tensione superficiale g Per sollevare un anello immerso in un liquido serve una forza maggiore della sua forza peso, questa extra-forza è la tensione superficiale. La tensione superficiale è dovuta allo stato di stress esistente alla superficie di un liquido. La forza necessaria a sollevare l’anello è F = 2l g dove l è la circonferenza dell’anello e 2 indica che sono coinvolte 2 superfici. g è la tensione superficiale del liquido [Nm-1x 10-3]. F =2gl liquido T [°C] g [10-3 N/m] Acqua 20 72,8 100 58,6 Sapone 25 Glicerina 63,1 Olio di oliva 32 Mercurio 465

Menisco L’incurvamento prossimo alla interfaccia di un solido è detto menisco e determina il fenomeno della capillarità. Nel caso di menisco positivo, in un capillare di raggio r la forza dovuta alla tensione superficiale (2g p r) sarà F = 2p r gLV cosq e sapendo che la forza peso del liquido è: w = mg = r(p r2y)g si avrà: r p r2 y g = 2 p r gLV cosq y = (2 gLV cosq)/rgr q è l’angolo fra la parete e il menisco. Se è acuto (cioè minore di 90°) il cosq è positivo e quindi il liquido cresce, viceversa se q è ottuso il cosq è negativo e il liquido è più basso del livello libero del liquido.

Capillarità e tensione superficiale E’ possibile definire tre distinte tensioni superficiali, anche se in realtà sono stress da interfaccia. Quindi gSL, gSV, gLV Se gSV > gSL il liquido bagna il solido. Se gSV < gSL il liquido si ritrae dal solido. > 90° Hg Nel punto di incontro dei tre stati della materia oltre ai 3 stress ci sarà anche la forza di adesione A e il liquido sarà in equilibrio lungo l’asse x e l’asse y SFx = tLV sinq - A = 0 SFy = tSV - tSL - tLV cos q = 0 A = tLV sinq e tSV - tSL = tLV cos q dalla 1°, conoscendo i 3 valori di t si possono ricavare l’adesione A e q. Qualsiasi impurezza o corpo estraneo modifica anche considerevolmente questo equilibrio. < 90° Ioduro di metile

Effetti di r sulla capillarità ESEMPIO: Avendo un liquido di densità r, quale sarà l’altezza del menisco in capillari di differente diametro. Soluzione: Per l’equilibrio delle forze, il peso del liquido deve essere uguale alla componente della forza adesiva della tensione superficiale. 2r h La forza peso è Fp = r gV = r g(hp r2) La forza che spinge in alto il liquido sarà Fu = 2p r g cos q . Quindi dovendo essere Fp = Fu E si vede che l’altezza dipende da r ovvero dal raggio del capillare

Equazione di continuità Supponiamo di studiare un liquido vincolato a scorrere in un tubo di flusso in cui, durante il moto, il liquido non può entrare ne uscire dalle pareti laterali. E supponiamo che il moto sia: Stazionario, Irrotazionale, Incompressibile, non viscoso. Allora potremo definire l’ equazione di continuità: in un tubo di flusso a sezione variabile per ogni fissato intervallo di tempo, la quantità di materia che entra è uguale alla quantità di materia che esce. DV1 = DV2 = ADx = AvDt A1v1 = A2v2 ovvero Rv = Av = cost

Equazione di Bernoulli Un tubo di flusso di due diversi diametri abbia ingresso e uscita a due diverse quote. L’equazione di continuità vuole che i volumi di entrata e di uscita devono essere uguali, quindi possiamo, dire che: Questa equazione ha interessanti implicazioni: 1. Se il fluido è a riposo v = 0 ovvero v1 = v2 p1 - p2 = rg (y2 – y1) 2. Se il flusso è orizzontale y1 = y2 p1 – p2 = ½r (v22 – v12) l’equazione di Bernoulli deriva dalla conservazione dell’energia anche se i suoi termini non hanno la dimensione di una energia, ma [M-1KS-2].

Dimostrazione di Bernoulli In un certo intervallo di tempo Dt ai due estremi del tubo le superfici che si spostano sono Ds1 e Ds2. Per il principio di continuità: Ds1A1 = Ds2A2 e il lavoro fatto sarà w = p1A1Ds1 - p2A2Ds2 = w = (p1-p2) DV. p2 s2 y2 s1 y1 A1 p1 Il lavoro fatto è la variazione dell’energia meccanica. w = E+U In un tempo Dt l’energia cinetica della massa che entra è uguale all’energia cinetica che esce DEk = Ek2(s2) – Ek1(s1) = ½ r DV (v22 - v12) Nello stesso tempo Dt l’energia potenziale della massa m entrante in s1 sarà Dmgy1 = rDVgy1 e quella uscente da s2 sarà Dmgy2 = rDVgy2 DU = rDV g(y2 – y1) Per il teorema del Lavoro e dell’Energia (p1-p2) DV = ½ r DV (v22-v12) + rDV g(y2– y1) o più semplicemente p + ½ rv2 + rgy = cost [M-1KS-2]

Esempio classico Quale è la velocità orizzontale dell’acqua che esce dal foro? Bisogna pensare ad un tubo con diametro del serbatoio. Quindi per l’equazione della continuità Av0 = av v0 = (a/A) v p0 + ½ r v02 + r gh = p0 + ½ r v2 + r g 0 Ipotesi specifica v0<<v v = (2gh)½ (velocità di un grave)