Analisi e Gestione del Rischio Lezione 2 Titoli a tasso fisso: valutazione e sensitività

Mercati e prodotti finanziari I prodotti finanziari consentono di trasferire il consumo dal periodo corrente ai periodi futuri. Per questo ogni prodotto finanziario ha un proprio valore equo legato all’attualizzazione di questi flussi futuri. Il rischio di mercato è dato dalle fluttuazioni del valore attuale di tali titoli dovuto al cambiamento dei valori di mercato.

Prodotti finanziari Reddito fisso. Obbligazioni. Il pay-off è definito indipendentemente dal progetto che viene finanziato con i fondi. Reddito variabile. Azioni. Il pay-off è definito in funzione dei proventi del progetto. Derivati. Contingent claims. Prodotti che danno un pay-off in funzione del valore di altri prodotti finanziari o di eventi. Fondi e GPM: gestione del portafoglio per clienti

Prodotti finanziari: ingredienti Scadenzario: {t0, t1, …,tn} Festività e convezioni di calendario Convenzioni di day-count Piano cedole: {c0, c1, …,cn} Deterministico Indicizzato (a tassi, inflation, equity, credit, commodities, longevity) Piano di rimborso {k0, k1, …,kn} Stocastico (callable, putable, exchangeable, convertible)

Il principio di arbitraggio Si dice che esiste una possibilità di arbitraggio (free lunch) se nell’economia è possibile Costituire una posizione il cui valore sia zero al tempo t e in futuro assuma valore senz’altro non-negativo, con possibilità di un valore positivo in almeno uno di essi Costruire una posizione il cui valore sia negativo al tempo t e in futuro assuma valore senz’altro non-negativo.

Arbitraggio e portafogli di replica Il portafoglio di replica, o una strategia di replica di un prodotto finanziario è un insieme di posizioni il cui valore, a una qualche data futura è uguale a quello del prodotto finanziario in tutti i possibili stati di natura (cioè qualsiasi cosa succeda) Se è possibile costruire un portafoglio di replica di un prodotto finanziario per un prezzo diverso da quello del prodotto finanziario in oggetto, possiamo sfruttare profitti di arbitraggio, con la vendita del portafoglio (se è meno caro del titolo replicato) e acquistando il titolo, seguita dal riacquisto a fronte della vendita del titolo quando avranno lo stesso valore

Portafoglio di replica: utilizzo per la valutazione e copertura Assumere che non siano possibili profitti di arbitraggio significa quindi richiedere che il valore di ogni titolo sia uguale a quello dei suoi portafogli di replica (pricing) Acquistare un titolo e vendere il portafoglio di replica corrispondente significa costruire una posizione immunizzata, o realizzare la copertura (hedging) del titolo replicato

Titoli zero-coupon-bond Definiamo P(t,tk,xk) il valore in t di un titolo zero-coupon bond (ZCB). Si tratta di un titolo che non paga cedole intermedie e che dà diritto a ricevere un quantità xk in tk Definiamo v(t,tk) la funzione di sconto, cioè il il valore in t di un’unità di valuta disponibile in tk Assumendo infinita divisibilità dei titoli otteniamo che l’esclusione di possibilità di arbitraggio richiede P(t,tk,xk) = xk v(t,tk) PRINCIPIO DI INDIPENDENZA DALL’IMPORTO

Valutazione di titoli a cedola fissa (coupon bond) Si definisca P(t,T;c) il prezzo di un titolo che paga cedola c su uno scadenzario {t1, t2, …,tm=T}, con rimborso del capitale in un’unica soluzione alla scadenza T. I flussi di cassa di questo titolo possono essere replicati da un paniere di ZCB per valore nominale pari a c in corrispondenza delle scadenze ti per i = 1, 2, …, m – 1 e uno ZCB per un valore nominale pari a 1 – c in corrispondenza della scadenza T. L’operazione di arbitraggio che consiste nell’acquisto/vendita delle cedole e del valore del capitale e vendita/acquisto del coupon bond è nota come coupon stripping.

Prezzi dei titoli e fattori di sconto Sulla base dei prezzi dei titoli zero-coupon bond e dei titoli con tasso fisso osservati sul mercato è possibile ricavare la funzione di sconto che stabilisce una relazione di equivalenza finanziaria tra un importo unitario disponibile a una data futura tk ed una somma v(t,tk) disponbile in t. La funzione di sconto è ricavata sfruttando l’assunzione di esclusione di arbitraggio discussa negli esempi precedenti. La tecnica utilizzata per ricavare la funzione di sconto è definita bootstrapping.

Procedura di bootstrapping Supponiamo che nell’istante t il mercato sia strutturato su m periodi con scadenze tk = t + k, k=1....m, e su queste scadenze siano osservati i prezzi di zero-coupon-bond P(t,tk) o titoli a tasso fisso P(t,tk;ck). La procedura di bootstrapping consente di ricavare i fattori di sconto in funzione di quelli precedenti

La struttura per scadenza dei tassi di interesse La struttura per scadenza dei tassi a pronti è un modo di rappresentare la funzione di sconto. Può essere rappresentata in capitalizzazione composta discreta

La struttura per scadenza dei tassi di interesse La struttura per scadenza dei tassi a pronti è un modo di rappresentare la funzione di sconto. Può essere rappresentata in capitalizzazione composta continua

La struttura per scadenza dei tassi di interesse La struttura per scadenza dei tassi a pronti è un modo di rappresentare la funzione di sconto. Può essere rappresentata in capitalizzazione semplice

Duration di Macaulay Assumiamo un’esposizione di un euro al tempo tk il cui valore al tempo t è v(t, tk ). Qual è la sensitività di questo valore a un cambio infinitesimo del tasso i(t, tk ). Se per semplicità utilizziamo la regola di capitalizzazione composta continua otteniamo:

Duration modificata Assumiamo un’esposizione di un euro al tempo tk il cui valore al tempo t è v(t, tk ). Qual è la sensitività di questo valore a un cambio infinitesimo del tasso i(t, tk ). Se utilizziamo la regola di capitalizzazione composta discreta otteniamo:

Duration di un portafoglio Se definiamo ck un portafoglio di flussi di cassa dovuti ai tempi tk, k = 1, 2,…,n e Dk la duration di ciascuno di essi (nella versione di Macaulay o modificata) la duration del portafoglio è calcolata come il portafoglio delle duration. In altri termini la duration complessiva è la media ponderata delle duration dei flussi.

Duration e sensitività di un portafoglio Se definiamo ck un portafoglio di flussi di cassa dovuti ai tempi tk, k = 1, 2,…,n e Dk la duration di ciascuno di essi (nella versione di Macaulay o modificata) l’effetto di variazioni dei tassik può essere approssimato con un’espansione di Taylor arrestata al primo ordine.

Duration e sensitività di un portafoglio Se assumiamo che lo shock sia lo stesso su tutte le scadenze, cioè k =  abbiamo che la sensitività allo shock è sintetizzata dalla duration D del portafoglio. In altri termini, la duration del portafoglio è una misura corretta di sensitività solo per spostamenti paralleli della curva dei tassi.

Convexity Assumiamo un’esposizione di un euro al tempo tk il cui valore al tempo t è v(t, tk ). Qual è la sensitività di secondo ordine questo valore a una variazione del tasso i(t, tk ). Se per semplicità utilizziamo la regola di capitalizzazione composta continua otteniamo:

Sensitività di un portafoglio Se assumiamo uno shock di dimensione finita, che sia lo stesso su tutte le scadenze, cioè k =  abbiamo che la sensitività allo shock è approssimata da un’espansione di Taylor arrestata al secondo ordine in termini della duration D e della convexity C del portafoglio.

Duration gap e duration matching Assumiamo un portafoglio di attività A finanziate con passità L, denotiamo DA e DL le rispettive duration e CA e CL le convexity. Assumendo A = L La sensitività a movimenti dei tassi è approssimata da A – L () = – (DA – DL)  + ½ (CA – CL) 2 Si noti che il gap di duration DA – DL definisce la sensitività del capitale (differenza tra attivo e passivo) a movimenti della curva dei tassi in aumento o diminuzione (rischio direzionale), mentre la differenza di convexity definisce l’ammontare (rischio dimensionale). Politche di duration matching sono efficaci solo se la convessità dell’attivo non è minore di quella del passivo.