Logica Lezioni 16-

Lezione 16 14/3/18

Strategie dimostrative (1) Dimostrare per assurdo in mancanza di altre strategie. Se la formula da dimostrare è atomica, o comunque non è una negazione, ipotizzare la negazione della conclusione, tipicamente al fine di ottenere la sua doppia negazione tramite ∼I; quindi applicare ∼E. (2) Dimostrare per assurdo in mancanza di in mancanza di altre strategie. Se la formula da dimostrare è una negazione: assumere per ipotesi la conclusione senza il segno di negazione per ottenere una contraddizione; quindi applicare ∼I. (3) Per dimostrare una congiunzione: dimostrare ciascuno dei congiunti separatamente e poi congiungerli mediante &I.

Strategie dimostrative (ii) (4) Per dimostrare una disgiunzione: provare a derivare uno dei disgiunti per applicare vI. Se questa strategia fallisce, ragionare per assurdo, comportandosi come nel caso delle fbf atomiche; cioè assumere la negazione della conclusione e poi applicare ∼I e ∼E. (5) Per dimostrare una condizionale: ipotizzare l’antecedente e derivare il conseguente, poi applicare →I. (6) Per dimostrare una bicondizionale: usare →I due volte per dimostrare i condizionali necessari a ottenere la conclusione per ↔I.

Strategie dimostrative (iii) Aggiungerei: se tra le premesse è disponibile una disgiunzione P v Q e bisogna dimostrare C, provare a dimostrare sia P → C che Q → C e poi applicare vE

Sommario delle 10 regole di base Guardare la tabella riassuntiva 4.2 a p. 118

Esercizio risolto 4.23 Dimostrare: (P & Q) |– P  Q Strategia: Abbiamo detto che, in mancanza di una strategia migliore, ragioniamo per assurdo e quindi ipotizziamo (P  Q) e proviamo a dimostrare una contraddizione. Quando ragioniamo per assurdo, spesso cerchiamo di contraddire una delle premesse. In questo caso cerchiamo di contraddire la nostra unica premessa (P & Q). Ossia miriamo ad ottenere (P &Q). In questo modo avremo la contraddizione (P &Q) & (P & Q). Il che ci permette di inferire la conclusione desiderata, ossia P  Q (perché negandola abbiamo ottenuto la contraddizione) Quindi abbiamo questo obiettivo: dimostrare (P &Q ). Come? Dobbiamo dimostrare prima un congiunto e poi l’altro. Come? Per assurdo

Esercizio risolto 4.23 Dimostrare: (P & Q) |– P  Q Soluzione

Esempio per sostituzione E’ una nozione che ci serve per potere aggiungere «regole derivate» Un esempio per sostituzione di una fbf o di una forma argomentativa è il risultato della sostituzione di zero o più lettere enunciative con fbf qualsiasi, anche complesse, purché ogni occorrenza della stessa lettera venga sostituita dalla stessa fbf Diciamo zero o più’ per permettere a ogni forma di valere come esempio per sostituzione di se stessa. Esempio ...

P → Q, ∼Q |– ∼P Sostituzioni: P = (P ∨ N) Q = ∼S (P ∨ N) → ∼S, ∼∼S |– ∼(P ∨ N)

Regole derivate Se è valida una certa forma argomentativa φ1, ..., φn |– ψ, sarà valido qualsiasi esempio per sostituzione φ1*, ..., φn* |– ψ* di quella forma Motivo: potrei ripetere gli stessi passi dimostrativi che mi hanno condotto a ψ da φ1, …, φn, questa volta per ottenere ψ* da φ1*, ..., φn* Quindi la dimostrazione di una forma argomentativa genera una corrispondente regola DERIVATA

Esempio: abbiamo dimostrato (es. 4.18) che questa forma è valida: P → Q, ∼Q |– ∼P Allo stesso modo potremmo dimostrare la validità di qualsiasi esempio per sostituzione di tale forma. Quindi posso assumere questa regola derivata: Da una fbf della forma φ → ψ e ∼ψ, (è lecito) inferire ∼φ.

regole derivate notevoli Alcune regole derivate sono particolarmente utili e intuitive. Gli è stato quindi assegnato un nome ed è utile conoscerle e imparare a usarle per abbreviare le dimostrazioni. Quella che abbiamo appena visto viene chiamata Modus tollens (MT): MT Modus tollens: Da una fbf della forma φ → ψ e ∼ψ, (è lecito) inferire ∼φ. v. tabella 4.3 p. 118

Es. 4.25: uso di regola derivata MT Dimostrare: (P  N) → S |– S → (P  N) Soluzione Per apprezzare l’utilità pratica delle regole derivate è sufficiente confrontare questa dimostrazione con quella riportata qui sotto, in cui si fa a meno del richiamo a MT e si riproduce invece per intero la derivazione del corrispondente esempio per sostituzione:

Lezioni 15-16 15/3/19

esercitazioni di Logica dimartedì 19 e 26 marzo: in aula S1 dalle 14 alle 16 ESAME INTERMEDIO: Giovedì 21 marzo ore 11

Es. 4.25: uso di regola derivata MT Dimostrare: (P  N) → S |– S → (P  N) Soluzione Per apprezzare l’utilità pratica delle regole derivate è sufficiente confrontare questa dimostrazione con quella riportata qui sotto, in cui si fa a meno del richiamo a MT e si riproduce invece per intero la derivazione del corrispondente esempio per sostituzione:

Regola ASS ASS (assimilazione, assorbimento): v. 4.26, p. 110 v. prossima slide

ASS (assimilazione, assorbimento): v. 4.26, p. 110 Dimostrare la regola derivata ASS, cioè: P → Q |– P → (P & Q) Soluzione 1 P → Q A 2 P H (per →I) 3 Q 1, 2 →E 4 P & Q 2, 3 &I 5 P → (P & Q) 2–4 →I

regola DC v. prossima slide

Esercizio risolto 4.27 Soluzione Dimostrare la regola derivata DC, cioè: P  Q, P → R, Q → S |– R  S Soluzione

Reiterazione (RE) P |- P 1 P A 2 P & P 1,1, &I 3 P 2, & E

Esercizio risolto 4.29 Soluzione Dimostrare la regola derivata CON, cioè: P, P |– Q Soluzione

Sillogismo disgiuntivo (SD) P v Q, P |- Q Strategia?

Sillogismo disgiuntivo (SD) P v Q, P |- Q Strategia? dimostrare P -> Q, Q -> Q, poi usare vE Come dimostrare P -> Q? usare CON Guardare soluzione 4.30, p. 112

Esercizio risolto 4.31 Soluzione Dimostrare: P → Q, R → S, P  R, Q |– S Soluzione

Nota su RE (reiterazione) P |- P Questa regola che per noi è derivata in altri sistemi è primitiva (evitando così lo stratagemma del considerare due volte una stessa riga) In altri sistemi (Montague, Fitch) risulta spesso necessaria, perché bisogna "importare" dentro una sotto-derivazione una formula già asserita nella derivazione principale. Nel nostro sistema è invece più raro doverla usare. Il libro dà questo esempio:

Esempio di uso di RE Dimostrare P |- Q -> P (p. 111, es. 4.28) 1 P A 2 Q H 3 P 1, RE 4 Q -> P 2-3, -> I

Teoremi Ci sono fbf che si possono dimostrare senza bisogno di alcuna premessa, cioè senza assunzioni. Queste formule sono dette teoremi o leggi del calcolo [della LOGICA] proposizionale, e semanticamente corrispondono a quelle formule che abbiamo chiamato tautologie: formule che risultano vere in ogni situazione logicamente possibile Per indicare che una fbf è un teorema le anteponiamo semplicemente il simbolo ‘|–’.

Esercizio risolto 4.33 Soluzione Dimostrare il teorema: |– (P & P) Questa è la reductio ad absurdum più semplice possibile. La riga 1 costituisce l’intera derivazione ipotetica in cui ‘P & P’ è sia l’ipotesi che la conclusione. Sul piano semantico, la validità di questo teorema conferma che la negazione di una contraddizione è sempre una tautologia.

Terzo escluso |- P v P Strategia: ragioniamo per assurdo: ipotizziamo e cerchiamo di ottenere P v P. Come? Strategia: per provare una disgiunzione ci basta dimostrare un disgiunto, diciamo  P,* perché possiamo poi ottenere P v P con v I . Per dimostrare  P, ragioniamo per assurdo e ipotizziamo: (2) P. Con vI otteniamo P v P, che contraddice (1) Quindi, scaricando (2), abbiamo dimostrato  P. Con vI otteniamo P v P, che contraddice (1) Quindi, scaricando (1), abbiamo dimostrato P v P Guardare soluz. 4.36 p. 114 (prossima slide) *se qui cerchiamo di dimostrare l’altro disgiunto, la dimostrazione funziona ugualmente

Dimostrare il teorema: |– P ∨ ∼P Soluzione 1 ∼(P ∨ ∼P) H (per ∼I; scopo: ottenere P ∨ ∼P) 2 P H (per ∼I; scopo: ottenere il disgiunto ∼P ) 3 P ∨ ∼P 2 ∨I 4 (P ∨ ∼P) & ∼(P ∨ ∼P) 1, 3 &I 5 ∼P 2–4 ∼I 6 P ∨ ∼P 5 ∨I 7 (P ∨ ∼P) & ∼(P ∨ ∼P) 1, 6 &I 8 ∼∼(P ∨ ∼P) 1–7 ∼I 9 P ∨ ∼P 8 ∼E