Cenni ai modelli ARCH-GARCH Statistica per l’economia e l’impresa Capitolo 10 Cenni ai modelli ARCH-GARCH

Motivazione all’introduzione di nuovi modelli: Fino agli inizi degli anni ‘80 gli studi econometrici per la stima di serie storiche si sono focalizzati alla misurazione di valori nominali, reali o medie di grandezze micro o macroeconomiche. Più recentemente si è iniziato invece ad indagare sulla cosidetta volatilità e sugli effetti che tale volatilità ha sui valori reali o nominali delle serie storiche.

Definizione di Volatilità Supponiamo che Si sia il valore diuna variabile (es.prezzo) all’istante (giorno) i. La volatilità giornaliera è definita come la standard deviation di ln(Si /Si-1), ovvero il suo scarto quadratico medio Normalmente i giorni nei quali i mercati sono chiusi vengono ignorati per il calcolo della volatilità Chiaramente la Varianza è il quadrato volatilità

Standard approach per stimare la Volatilità Sia Si il valore della market variabile alla fine del giorno i Si definisca ui= ln(Si/Si-1) Allora la volatilità “per day” tra il giorno n-1 e il giorno n, stimata alla fine del giorno n-1, è definite come:

Esempio di Volatilità: S&P 500

Riprendiamo il modello di regression lineare La forma generale per la relazione lineare di Yt su: La variance del termine di errore è costante over time. Questa proprietà è definita “unconditional homoscedasticity”

Distinzione tra Varianza Conditional e Unconditional La varianza “unconditional” è semplicemente la classica misura della varianza, ovvero: var(x) =E(x -E(x))2 La varianza “conditional” è invece la misura di incertezza rispetto ad una variabile, dato un modello e un set di informazioni : cond var(x) =E(x-E(x|  ))2 questa è la vera misura dell’incertezza.

Volatility Clustering (read books)

La varianza “Conditional” varia nel tempo Per introdurre una varianza conditional non-costante nel modello, si moltiplica l’errore per lo scarto quadratic medio conditional: dove t è chiaramente non-negativo in quanto è una standard deviation

ARCH e GARCH

Dove VL è la varianza di “lungo termine” ARCH(q) Model Engle(1982) Auto-Regressive Conditional Heteroscedasticity Dove VL è la varianza di “lungo termine”

GARCH (p,q) Bollerslev (1986) Nei lavori empirici, l’ordine q dei modelli ARCH risulta essere spesso molto grande. Sono stati quindi proposti modelli più parsimoniosi, definiti Generalised ARCH model:

Riferimenti bibliografici  • Engle, R.F. (1982), Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of the Variance of U.K. • Bollerslev, T.P. (1986), Generalized Autoregresive Conditional Heteroscedasticity. • Bollerslev T., Engle R. F. and D. B. Nelson (1994), ARCH Models • Engle, R. F. (2001), GARCH 101: The Use of ARCH/GARCH Models in Applied Econometrics.