Modello matematico per la risoluzione dei problemi L’equazione Modello matematico per la risoluzione dei problemi

L’equazione è… …una PARTICOLARE uguaglianza CERCHIAMO DI CAPIRE! CONSIDERIAMO LE SEGUENTI UGUALIANZE: 5 + 4 = 9 13 – 5 = 7 + 1 4 – 1 = 3 + 2 8 + 1 = 7 Cosa hanno in comune queste uguaglianze? Sono uguaglianze tra espressioni numeriche ed inoltre per ciascuna di esse possiamo stabilire se è VERA o FALSA uguaglianza VERA uguaglianza VERA uguaglianza FALSA uguaglianza FALSA

ESAMINIAMO ALTRE UGUAGLIANZE 2a + 6b + 5a - 4b = 7a + 2b 5x2 + 7x2 = 20x2 - 8x2 E queste uguaglianze cosa hanno in comune? Sono uguaglianze tra espressioni letterali ed inoltre ciascuna di esse è VERA VERA VERA

INFINE, CONSIDERIAMO AD ESEMPIO x+7=12 3x+y=4 Consideriamo ad esempio la prima uguaglianza Per x=5 otteniamo 5 + 7 =12 allora l’uguaglianza è VERA Per x=9 otteniamo 9 + 7 =12 allora l’uguaglianza è FALSA Oppure la seconda Per x=2 e y=-5 otteniamo 3∙2+(-5)=4; 6-5=4 allora l’uguaglianza è FALSA Per x=-1 e y=7 otteniamo 3∙(-1)+7=4; -3+7=4 allora l’uguaglianza è VERA Anche queste sono uguaglianze tra espressioni letterali, ma sono VERA o FALSE ? IL VALORE DI VERITÀ (cioè l’essere VERA o FALSA) DIPENDE DAL VALORE ATTRUBUITO ALLE LETTERE PRESENTI NELL’UGUAGLIANZA

A=B oppure A(x, y, …)=B(x, y, …) L’EQUAZIONE è … una UGUALIANZA che attende di essere verificata, cioè una uguaglianza che può essere VERA o FALSA in base ai valori sostituiti alle incognite (o variabili) In simboli A=B oppure A(x, y, …)=B(x, y, …) A(x,y,…) e B(x,y,…) sono detti rispettivamente primo membro e secondo membro dell'equazione

Incognita (Variabile) e costante si dice INCOGNITA (o incognite) dell'equazione quella lettera (o lettere) della quale (o delle quali) si cerca il valore affinché si verifichi l'uguaglianza tra le due espressioni algebriche dell'equazione. Esempio 5x +3=4-7x x è l’incognita E se ci sono più lettere? Determina il valore di b che verifica l'equazione 3ab-5c=-4+6a In questo esempio l’incognita è solo b, le altre lettere prendono il nome di COSTANTI Perciò una lettera presente in una equazione può essere considerata incognita o una variabile

dominio dell'equazione si dice DOMINIO dell'equazione (*) l'insieme numerico D dei valori attribuibili all'incognita; quando questo non è specificato è da intendersi il più ampio possibile (generalmente l'insieme dei numeri reali R) ESEMPIO 5x + 3 =-4 + 7x con x ∈ Z in questo esempio il dominio è Z, ovvero l'insieme dei numeri interi.

La Soluzione dell’equazione si dice SOLUZIONE dell'equazione un numero appartenente al suo dominio D che, sostituito alla incognita, rende vera l'uguaglianza tra primo e secondo membro. In simboli, data l'equazione A(x)=B(x) con x∈D, una soluzione è un numero k∈D tale che A(k)=B(k). Data l'equazione A(x)=B(x) , si dice INSIEME DELLE SOLUZIONI l'insieme i cui elementi sono soluzioni dell'equazione; in simboli è l'insieme S={k∈D : A(k) = B(k)}.

VERIFICA DELLE SOLUZIONI Si tratta di controllare se un determinato numero, o più numeri, verificano la definizione di soluzione per un'equazione. Esempio1: dati i numeri -1,+3,-5, dire quali di essi è soluzione dell'equazione x2 -2x -2 =1 Risoluzione: è un'equazione in una incognita, x, e i membri dell'equazione sono A(x)=x2- 2x-2 e B(x)=1. k A(k) B(k) A(k)=B(k) ? allora -1 A(-1)=1 B(-1)=1 SI -1 è soluzione +3 A(+3)=1 B(+3)=1 +3 è soluzione -5 A(-5)=33 B(-5)=1 NO -5 non è soluzione

VERIFICA DELLE SOLUZIONI Esempio2: le coppie numeriche che seguono sono ordinate, cioè il primo numero rap- presenta la x e il secondo la y; stabilire quali tra le seguenti coppie ordinate (1,4) (4,1) (0,0) (-7,-4) è soluzione dell'equazione x -3y =-2 y - 3 Risoluzione: è una equazione in 2 incognite, x e y, e i due membri sono A(x,y)=x-3y e B(x,y)=-2y-3 h k A(h,k) B(h,k) A(h,k)=B(h,k) ? allora 1 4 A(1,4)= -11 B(1,4)= -11 SI (1,4) è soluzione A(4,1)= 1 B(4,1)= -5 NO (4,1) non è soluzione A(0,0)= 0 B(0,0)= -3 (0,0) non è soluzione -7 -4 A(-7,-4)= +5 B(-7,-4)= +5 (-7,-4) è soluzione

CLASSIFICAZIONE DELLE EQUAZIONI Si dice DETERMINATA una equazione che ha per soluzioni ALCUNI elementi del suo dominio. Si dice INDETERMINATA una equazione che ha per soluzioni TUTTI gli elementi del suo dominio. Si dice IDENTITÀ una equazione indeterminata per qualunque suo dominio D Si dice IMPOSSIBILE una equazione che NON ha soluzioni.