Corso di Laboratorio di Fisica Prof. G. Chiarotti, dott. F. Aloisi Laboratorio di didattica della Fisica e della Matematica La diffrazione degli elettroni Corso di Laboratorio di Fisica Prof. G. Chiarotti, dott. F. Aloisi

Il dualismo onda-corpuscolo si estese anche agli elettroni a partire dall’ipotesi di de Broglie che attribuì a queste particelle un carattere ondulatorio caratterizzato da una lunghezza d’onda: La Meccanica Quantistica, nella formulazione di Schrödinger, è basata sulla formula di de Broglie. Louis de Broglie (1892 - 1987) Erwin Schrödinger (1887 - 1961)

Diffrazione elettronica I primi ad osservare sperimentalmente la diffrazione degli elettroni furono Davisson, Germer e Thomson nel 1927-28 con un metodo analogo a quello delle polveri, usato da Debye e Scherrer nel caso dei raggi X. C. J. Davisson e L. H. Germer G. P. Thomson Diffrazione elettronica Per comprendere l’esperimento sulla diffrazione degli elettroni è necessario illustrare brevemente la diffrazione dei raggi X.

Diffrazione dei raggi X da parte di un cristallo In un cristallo gli atomi sono disposti nei vertici di un reticolo tridimensionale: il reticolo cristallino. Ogni atomo colpito da un’onda elettromagnetica (i raggi X) la diffrange in tutte le direzioni. Considerando un piano reticolare come quello della figura: A B C D θ1 θ2 b a osserviamo che, se θ1 = θ2 , la differenza di cammino tra i raggi a e b è nulla (essendo uguali i triangoli ABD e ACD), per cui i due fasci si sommano in fase.

a b A B C D θ Questa condizione “di riflessione geometrica” è indipendente da θ, dalla lunghezza d’onda dei raggi X e dalla spaziatura degli atomi. La condizione di riflessione geometrica (θ1 = θ2 ) differenzia il caso tridimensionale (caratteristico dei reticoli cristallini) da quello bidimensionale dei reticoli ottici.

Questo è il principio su cui si basa la cristallografia. Nel caso di un reticolo tridimensionale è necessario, per ottenere un massimo di intensità in una data direzione, che le onde diffratte dagli atomi dei vari piani del cristallo siano in fase (ossia che i cammini differiscano per un numero intero di λ). θ d A C B AB = BC= dsin θ Differenza di cammino = AB+BC Ciò avviene se: 2dsinθ = kλ (k = 1,2,3,…) θ1 = θ2= θ, Condizioni di Bragg Conoscendo la lunghezza d’onda dei raggi X e misurando θ si ottiene il parametro reticolare: d. Questo è il principio su cui si basa la cristallografia.

Diffrazione dei raggi X con il metodo delle polveri (Debye-Scherrer) Il campione viene frantumato in un mortaio riducendolo in minuti cristalli che presentano tutte le possibili orientazioni. θ Piano cristallografico Lastra fotografica Raggi X monocromatici L’esperimento si fa con una radiazione X monocromatica (λ ben definita). Le condizioni di Bragg θ1 = θ2 = θ, 2dsinθ = kλ , con k = 1, danno un unico valore di θ per ogni valore di d.

Tra i moltissimi micro-cristalli con molteplici orientazioni ce n’è certamente qualcuna che soddisfa alle condizioni di Bragg. Poiché il sistema ha simmetria cilindrica ci si aspetta che le figure di diffrazione siano dei cerchi associati ai vari valori di d. Piano cristallografico Diffrazione di raggi X da polveri di allume

Dispositivo sperimentale per la diffrazione degli elettroni +  2R Schermo fluorescente Policristallo di grafite Filamento Il fascetto elettronico viene emesso da un filamento riscaldato per effetto termoionico e focalizzato sul policristallo di grafite da una serie di lenti elettroniche (non riportate in figura). Il fascio diffratto dà origine alla figura di interferenza sullo schermo fluorescente.

Misura della lunghezza d’onda dell’elettrone L=135mm θ R L Piano cristallografico La condizione di Bragg (2dsinθ = k ≈λ) diventa (con k = 1): Conoscendo d (dai raggi X) e misurando R, si ottiene direttamente il valore della lunghezza d’onda dell’elettrone. L’esperimento mostra che R è funzione della d.d.p. applicata V (diminuisce all’aumentare di V).

anelli di diffrazione osservati nel caso della grafite

Struttura cristallografica della grafite La grafite è costituita da piani con struttura esagonale (che in figura sono mostrati di colore diverso) separati da una distanza c molto più grande di quella del lato degli esagoni a. Questa è la ragione delle proprietà lubrificanti e di scrittura della grafite. c a

I due anelli osservati nell’esperimento corrispondono ai piani reticolari A e B distanti d1 = 3/2 a=2,13Ǻ, per l’anello minore, ed ai piani reticolari C e D distanti d2 = 1,23 Ǻ, per l’anello maggiore. d2 d1 A B C D a=1,42 Ǻ

Distanza tra i piani evidenziati d2 = 1,23Ǻ

Distanza tra i piani evidenziati d1 = 2,13Ǻ

stati ricavati dalla formula . I dati sono riportati nel grafico. L’esperimento è stato eseguito misurando il raggio dell’anello più piccolo in funzione della d.d.p. acceleratrice degli elettroni. I valori di l sono stati ricavati dalla formula . I dati sono riportati nel grafico. kV 40 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 • 10 5 2,5 1,6 0,6 1,2 1,8 R (cm)

La retta ha equazione: con coefficiente angolare: C = 12,46·10-10 mV½ Poiché √V è proporzionale alla quantità di moto, p = mv, dell’elettrone, è conveniente far comparire p nell’equazione ; che diventa: La proporzionalità fra √V e p si deduce facilmente dalla conservazione dell’energia:

Il valore di C’ risulta (dai dati precedenti e dai valori standard di e = 1,60·10-19C ed m = 9,10·10-31kg ): che è il valore della costante di Planck ottenuto nell’esperimento mostrato. (Il valore di h così ottenuto differisce di circa l’1,5% da quello standard). Abbiamo così verificato l’equazione di de Broglie: