LE DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO Contenuti Disequazioni: definizione, soluzioni, grado Classificazione Disequazioni equivalenti Principi di equivalenza Risoluzione di disequazioni lineari Rappresentazione grafica delle soluzioni Problemi riconducibili a disequazioni lineari Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Definizione disequazione Si definisce disequazione in una sola incognita una disuguaglianza tra due espressioni, di cui una almeno letterale, verificata solo per particolari valori attribuiti all’incognita 1) 2) 3) 4) Esempi di disequazioni Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Soluzioni di una disequazione Si dice SOLUZIONE di una disequazione ogni numero che sostituito all’incognita rende vera la disuguaglianza Esempio: data la disequazione verificare se e rappresentano delle soluzioni VERIFICA FALSO NON E’ SOLUZIONE VERIFICA VERO E’ SOLUZIONE Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Grado di una disequazione Si definisce grado di una disequazione razionale intera il massimo esponente con cui compare l’incognita Esempi 1) Disequazione di secondo grado 2) Disequazione di primo grado Disequazione di quinto grado 3) Le disequazioni 1° GRADO si dicono anche disequazioni LINEARI Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Classificazione delle disequazioni TIPO disequazione Disequazione con ESEMPI Intera Incognita solo al numeratore Fratta Incognita almeno al denominatore Numerica Coefficienti numerici Letterale Coefficienti letterali Determinata Soluzioni sottoinsieme di R Indeterminata Soluzioni coincidenti con R Impossibile Non ha soluzioni Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Disequazioni EQUIVALENTI Due disequazioni si dicono EQUIVALENTI se possiedono le stesse soluzioni esempio soluzioni soluzioni Pertanto, qualsiasi numero più grande di 2 soddisfa sia la prima che la seconda disequazione perciò esse si dicono equivalenti Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Utilità dei principi di equivalenza I principi di equivalenza, applicati alle disequazioni, consentono di trasformare una disequazione in un’altra più semplice avente le stesse soluzioni Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Primo Principio di equivalenza ADDIZIONANDO o SOTTRAENDO ai due membri di una disequazione la stessa espressione si ottiene una disequazione EQUIVALENTE a quella data Addizione Sottrazione Disequazioni equivalenti Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Conseguenze del PRIMO PRINCIPIO Regola del trasporto Si può trasportare un termine da un membro all’altro di una disequazione purché gli venga cambiato il segno (Tale regola viene impiegata per trasportare le incognite al primo membro ed i numeri al secondo membro) Esempio Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Conseguenze del Primo Principio 2) Regola della cancellazione a) se uno stesso termine figura in entrambi i membri può essere cancellato Esempio b) se due termini opposti si trovano nello stesso membro essi possono essere cancellati Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Secondo Principio di equivalenza Moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione per uno stesso numero positivo si ottiene una disequazione equivalente alla data Esempio: b) Moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione per uno stesso numero negativo, si ottiene una disequazione equivalente a quella data solo se si inverte il verso della disuguaglianza Disequazioni equivalenti maggiore VERSO INVERTITO ( ) 5 4 2 3 × - + x p f Disequazioni equivalenti minore Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Conseguenze del Secondo Principio Eliminazione di denominatori numerici E’ possibile eliminare i denominatori numerici di una disequazione moltiplicando tutti i termini per il loro m.c.m. Esempio m.c.m = 6 Disequazione con denominatore Disequazione senza 2 3 Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Conseguenze del Secondo Principio Eliminazione del coefficiente dell’incognita E’ possibile liberare l’incognita dal suo coefficiente dividendo primo e secondo membro della disequazione per tale coefficiente Esempio Coefficiente dell’incognita Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Conseguenze del Secondo Principio 3) Regola del cambiamento del segno Il segno di un termine di una disequazione si può cambiare solo quando si cambiano i segni dei restanti termini e si inverte il verso della disequazione MAGGIORE Esempio MINORE Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Risoluzione di disequazioni di primo grado: Per risolvere le disequazioni lineari si procede nel modo seguente: 1) Si eseguono le operazioni che vengono indicate nella disequazione ( potenze, moltiplicazioni, divisioni,addizioni e sottrazioni ) 2)Quando al primo ed al secondo membro non è più possibile eseguire operazioni, si passa all’applicazione delle conseguenze dei principi di equivalenza (cancellazione,trasporto, cambiamento di segno,ecc.) per passare a disequazioni equivalenti sempre più semplici Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Risoluzione guidata di disequazioni Esempio 1 Operazioni indicate (potenza,prodotto) 1° principio (cancellazione) 1° principio (Trasporto) Operazioni indicate (somma e differenza) 2° principio (Eliminazione coefficiente dell’incognita) Operazioni indicate (divisioni) Soluzioni della disequazione Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Risoluzione guidata di disequazioni Esempio 2 Operazioni indicate (potenza-prodotto) 1° principio (cancellazione) 2° principio (Eliminazione denominatore numerico) Operazioni indicate (divisioni-prodotti) 1° principio (Trasporto) Operazioni indicate (differenze) 2° principio (cambiamento di segno) Soluzioni della disequazione Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Rappresentazione GRAFICA delle soluzioni: retta orientata Per rappresentare graficamente le soluzioni di una disequazione si fa uso di una retta orientata i cui punti corrispondono a numeri reali. I due simboli (meno infinito) e (più infinito) posti agli estremi della retta non rappresentano nessun numero reale, essi stanno solo ad indicare che la retta risulta illimitata (senza fine) sia a sinistra che a destra. . . . . . . . -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 ORIGINE Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Rappresentazione GRAFICA delle soluzioni: convenzioni Per rappresentare graficamente le soluzioni di una disequazione si fa uso delle seguenti convenzioni: linea continua per rappresenta l’insieme delle soluzioni della disequazione ( ) linea tratteggiata per rappresenta l’insieme dei valori che non sono soluzioni ( ) cerchietto pieno per indicare che il valore corrispondente è una soluzione ( ) cerchietto vuoto per indicare che il valore corrispondente non è una soluzione.( ) Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Rappresentazione GRAFICA delle soluzioni: procedimento Per la rappresentazione si procede nel modo seguente Si scrive l’equazione associata alla disequazione e si determina il valore che l’annulla si riporta tale valore sulla retta orientata da esso si riporta un segmento verticale al cui estremo si disegna un cerchietto vuoto quando non fa parte delle soluzioni si traccia la linea continua in corrispondenza dei valori che costituiscono l’insieme delle soluzioni e dalla parte opposta una linea tratteggiata a rappresentare l’intervallo dei numeri che non sono soluzioni Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Rappresentare graficamente le soluzioni della disequazione x > 2 Equazione associata alla disequazione X = 2 Esempio 1 . . . . . . . 2 Linea tratteggiata NON SOLUZIONI Linea piena SOLUZIONI 2 escluso dalle Soluzioni CERCHIO VUOTO Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Rappresentare graficamente le soluzioni della disequazione x < - 3 Esempio 2 Equazione associata alla disequazione X = -3 . . . . . . . -3 Linea tratteggiata NON SOLUZIONI -3 incluso nelle soluzioni CERCHIO PIENO Linea piena SOLUZIONI Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Definizione di Intervallo numerico Dati due numeri a e b con a < b, si definisce INTERVALLO NUMERICO, l’insieme di tutti i numeri compresi tra a e b. 2 3 4 5 6 7 8 9 a b Intervallo numerico Estremo superiore inferiore I numeri a e b prendono il nome di ESTREMO INFERIORE ed ESTREMO SUPERIORE dell’intervallo e possono o meno appartenere all’insieme Per la rappresentazione simbolica degli intervalli numerici si fa uso di parentesi tonde e quadre entro cui vengono scritti gli estremi inferiore e superiore a e b separati da punto e virgola Il tipo di parentesi ci indica se l’estremo risulta incluso oppure escluso dall’intervallo Parentesi tonda estremo escluso. Parentesi quadra estremo incluso Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

-2 è escluso mentre 7 è incluso nell’intervallo Rappresentazione simbolica di intervalli numerici Esempi -2 7 La rappresentazione simbolica indica che gli estremi -2 e 7 fanno parte dell’intervallo La rappresentazione simbolica indica che gli estremi -2 e 7 sono esclusi dall’intervallo La rappresentazione simbolica indica che -2 è escluso mentre 7 è incluso nell’intervallo La rappresentazione simbolica indica che -2 è incluso mentre 7 è escluso dall’intervallo Rappresentazione grafica Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Utilizzo di simboli diversi per gli stessi concetti Alcuni testi di matematica per rappresentare simbolicamente un intervallo numerico usano esclusivamente parentesi quadre, rivolte verso l’esterno per indicare che l’estremo non appartiene all’insieme, rivolte verso l’interno per esprimere che l’estremo fa parte dell’insieme. Stesso significato Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Quindi la soluzione è l'insieme delle x minori od uguali a -3 Risolviamo: x - 4 ≥ 3x +2 1. Porto le x prima del ed i numeri dopo il ≥ ; chi “salta” cambia di segno. x - 4 ≥ 3x +2 x - 3x ≥ 2 + 4 2. calcolo : -2x ≥ 6 3. Divido entrambi i membri per -2 e contemporaneamente cambio di verso la disequazione. Cambiare il verso vuol dire che ≥ diventa ≤ e viceversa -2x 6 ---- ≤ -- -2 -2 Semplifico e ottengo x ≤ - 3 Quindi la soluzione è l'insieme delle x minori od uguali a -3 Si può indicare anche in altri modi, l’ultimo dei quali è il più usato (il tondino indica che il valore terminale è compreso). Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Esercizi sulle disequazioni di primo grado 1) x + 3 - 3x < 5x - 2 - 8x      2) 3x + 2 - 2x ≤ 4x - 8         3) 10x + 12 - 4x > 6x - 3 4)  (x + 2)2 - 2x < x2 - 4x  -2  5) Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

SOLUZIONI 1) x + 3 - 3x < 5x  -2 - 8x Trasporto le x prima del < e i termini noti dopo < , chi salta cambia di segno x - 3x - 5x + 8x < - 3 - 2 sommo x < - 5 Soluzione:  2) 3x + 2 - 2x ≤ 4x - 8 Trasporto le x prima del minore o uguale, i termini noti dopo il minore o uguale e chi “salta” cambia di segno 3x - 2x - 4x ≤ - 8 - 2 sommo -3x ≤ - 10 divido per -3 e cambio di verso e semplifico e ottengo: Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Divido per 6 da entrambe le parti: 3)10x + 12 - 4x > 6x - 3 Trasporto le x prima del maggiore, i termini noti dopo il maggiore e chi “salta” il maggiore cambia di segno 10x - 4x - 6x > - 3 - 12 poi sommo 0 > - 15 Sempre vero (perché 0 e' sempre superiore a -15), quindi tutto R 4) (x + 2)2 - 2x < x2 - 4x  -2 Eseguo i calcoli: x2 + 4x + 4 - 2x < x2 - 4x - 2 Trasporto le x prima del minore, i termini noti dopo il minore e chi “salta” cambia di segno: x2 + 4x - 2x - x2 + 4x < - 4 - 2 Sommo (essendo esercizi su equazioni di primo grado evidentemente i termini di secondo grado dovranno annullarsi): 6x < - 6 Divido per 6 da entrambe le parti: Risultato: x < -1 Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

il minimo comune multiplo e' 6 5) il minimo comune multiplo e' 6 Elimino i denominatori ed eseguo le operazioni al numeratore 3x + 6 - 12x ≥ 8x + 6 Trasporto le x prima del maggiore o uguale , i termini noti dopo il maggiore o uguale e chi “salta” il maggiore o uguale cambia di segno 3x - 12x - 8x ≥ +6 - 6 poi sommo -17x ≥ 0 cambio di segno e di verso 17x ≤ 0 Divido per 17 da entrambe le parti e otteniamo x ≤ 0 soluzione: Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.