La retta Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Sistema di riferimento sulla retta I punti di una retta orientata, una volta fissato un segmento di lunghezza unitaria, sono in corrispondenza biunivoca con i numeri reali. Se a è il numero associato al punto P, questa corrispondenza si evidenzia scrivendo P(a) e si dice che P ha ascissa a. u A (-3) B (+2) C (+ ) 9 2 A −3 +2 9 2 B O C + Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Sistema di riferimento sulla retta Un segmento AB su una retta è individuato dai suoi punti estremi. La sua misura si determina calcolando la differenza fra le ascisse dei suoi punti estremi A e B, presi in un ordine qualsiasi, e considerandone poi il valore assoluto in modo da garantire la positività del risultato. Se A(xA) e B(xB), la misura di AB è data dalla relazione AB = |xA – xB| = |xB – xA| ESEMPI Se A(+4) e B(−2), allora AB = |−2 – (+4)| = |+4 – (−2)| = 6 Se A(−3) e B(−8), allora AB = |−8 – (−3)| = |−3 – (−8)| = 5 Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Sistema di riferimento sulla retta Il punto medio M di un segmento è il punto per il quale si verifica che AM ≅ MB. M xM xB A B r xA Se A(xA) e B(xB) si ha che: AM = xM – xA e MB = xB − xM Quindi xM − xA = xB − xM , cioè risolvendo rispetto a xM xA + xB 2 xM = Possiamo allora concludere che l’ascissa del punto medio di un segmento AB è data dalla semisomma delle ascisse dei suoi estremi. ESEMPIO Se A(+2) e B(−7), allora +2 − 7 2 xM = = − 5 Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Sistema di riferimento sulla retta I punti del piano cartesiano sono in corrispondenza biunivoca con le coppie ordinate (x, y) di numeri reali. O 1 2 3 4 5 6 -1 s r Consideriamo due rette orientate qualsiasi r e s, incidenti, distinte e perpendicolari. Fissiamo su ciascuna di esse un sistema di ascisse in modo che il punto origine O sia il loro punto di intersezione e supponiamo che l’unità di misura sia la stessa su entrambe le rette. Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Sistema di riferimento sulla retta Da un punto qualunque P del piano, tracciamo le parallele ad r e s che le incontrano rispettivamente nel punto P’ associato al numero x e nel punto P” associato al numero y. O P’(x) P’’(y) P r s Viceversa assegnati un punto P’ di ascissa x sulla retta r ed un punto P’’ di ascissa y sulla retta s e tracciate da essi le parallele ad s e r, si viene ad individuare come loro intersezione un unico punto P. La coppia ordinata (x, y) di numeri reali rappresenta le coordinate del punto P e si scrive P(x, y) Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Sistema di riferimento sulla retta L’asse r viene detto asse delle ascisse (asse x) O asse delle ascisse x y asse delle ordinate L’asse s viene detto asse delle ordinate (asse y) Questi due assi perpendicolari definiscono un sistema di riferimento cartesiano ortogonale. Il piano cartesiano viene diviso in quattro quadranti. O I Quadrante x y II Quadrante III Quadrante IV Quadrante Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Sistema di riferimento sulla retta I segni delle coordinate dei punti nel piano cartesiano variano a seconda della posizione del punto. O x y D (−4, 3) A (3, 2) C (−2, −1) B (2, − ) 7 2 u Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

SEGMENTI A(−2, 1) ; B(3, 4) AB = √(xB – xA)2 + (yB – yA)2 Dati nel piano cartesiano due punti A(xA, yA) e B(xB, yB), la misura del segmento AB è data dalla formula: O x y A B C xA xB yA yB AB = √(xB – xA)2 + (yB – yA)2 ESEMPIO A(−2, 1) ; B(3, 4) Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

SEGMENTI AB = |xB – xA| xA xB A(3, 2) ; B(−5, 2) AB = |−5 −3| = 8 y O x y A B xA yA = yB xB In particolare: se il segmento AB è parallelo all’asse delle ascisse AB = |xB – xA| ESEMPIO A(3, 2) ; B(−5, 2) AB = |−5 −3| = 8 Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

SEGMENTI yB AB = |yB – yA| yA A(3, −4) ; B(3, 7) AB = |7 − (−4)| = 11 O x y A yA xA = xB yB B se il segmento AB è parallelo all’asse delle ordinate AB = |yB – yA| ESEMPIO A(3, −4) ; B(3, 7) AB = |7 − (−4)| = 11 Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

SEGMENTI yA yB yM xA xM xB xM = xA + xB 2 yM = yA + yB Dati i punti A(xA, yA) e B(xB, yB), le coordinate del loro punto medio M sono date dalla formula: O x y A yA yB B M yM xA xM xB xM = xA + xB 2 yM = yA + yB ESEMPIO Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

LA RETTA I punti che appartengono all’asse x hanno ascissa variabile ma ordinata sempre uguale a zero. equazione asse x: I punti che appartengono all’asse y hanno ordinata variabile ma ascissa sempre uguale a zero. equazione asse y: Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

LA RETTA Analogamente: L’equazione di una retta parallela all’asse x è: Analogamente: L’equazione di una retta parallela all’asse y è: Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

coefficiente angolare LA RETTA Per i punti A, B, C, ... che appartengono ad una retta per l’origine O, il rapporto è costante. L’equazione di una retta passante per l’origine. Indicata con m tale costante si ha: o anche: coefficiente angolare Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

coefficiente angolare LA RETTA L’equazione di una retta non passante per l’origine. In questo caso è il rapporto che si mantiene costante: Una retta di questo tipo ha equazione: coefficiente angolare ordinata all’origine Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

LA RETTA Significato geometrico di m. rappresenta la pendenza della retta (rispetto all’asse x) Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

LA RETTA Rette significative passanti per l’origine sono le seguenti: bisettrice del primo e terzo quadrante bisettrice del secondo e quarto quadrante Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

LA RETTA Significato geometrico di q. Nell’equazione per x = 0 si ottiene y = q Il punto di coordinate (0; q) rappresenta il punto di intersezione tra la retta e l’asse delle y. q si dice ordinata all’origine. Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

LA RETTA L’equazione generale della retta può essere espressa: in forma esplicita: in forma implicita: ESEMPI L’equazione (forma esplicita) può essere scritta in forma implicita: Viceversa (forma implicita) può essere scritta in forma esplicita: Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

LA RETTA Nel caso b ≠ 0 le relazioni che legano la forma esplicita a quella implicita sono: e ESEMPIO Data la retta di equazione Il coefficiente angolare è L’ordinata all’origine è Nel caso b = 0 l’equazione diventa: che individua una retta parallela all’asse y. In tal caso non si può definire il coefficiente angolare. Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

LA RETTA Il grafico di una retta, così come quello di una qualsiasi curva, è costituito da tutti e soli i punti le cui coordinate ne soddisfano l’equazione. Sappiamo che per due punti del piano passa una e una sola retta. Quindi per disegnare la retta di equazione si segue la seguente procedura: scriviamo l’equazione in forma esplicita x 1 −2 y −1 troviamo il primo punto attribuendo il valore 1 alla variabile x: troviamo il secondo punto attribuendo il valore −2 a x: Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

LA RETTA Per scrivere l’equazione di una retta che passa per un punto P(x0, y0) dato e che ha coefficiente angolare m noto, si usa la formula: ESEMPIO La retta passante per A(2, −3) di coefficiente angolare m = 4 ha equazione: in forma esplicita in forma implicita Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

LA RETTA Per scrivere l’equazione della retta che passa per i punti A(x1, y1) e B(x2, y2) si usa la formula: ESEMPIO La retta passante per A(1, −3) e B(3, −2) ha equazione Calcolando si ottiene Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

LA RETTA Date due rette e La condizione di parallelismo è La condizione di perpendicolarità è cioè ESEMPIO La retta r di equazione 3x − 2y + 1 = 0 è parallela alla retta s di equazione 6x − 4y −5 = 0 Infatti La retta r è perpendicolare alla retta t di equazione Infatti Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.