7a lezione - laboratorio Corso di Laurea ING. MECCANICA a.a 2004-2005

g: accelerazione di gravità Esercizio 1: Problema del Pendolo Si utilizzi il metodo di Runge Kutta 4 per calcolare la soluzione del problema del pendolo: g: accelerazione di gravità Problema di Cauchy del 2° ordine nell’incognita

Problema equivalente del 1° ordine Sostituzioni Problema equivalente Risolvendo (*) in si ottengono: x (t) e quindi  (t), valore dell’angolo istante per istante, e , velocità.

Dati del problema e metodo di soluzione Si assume: Si analizzano i risultati che si ottengono applicando il metodo di Runge Kutta 4.

Istruzioni: Runge Kutta 4 t0=0;tmax=10; n=100;y0=[0 0.5]; f1='y(2)';f2='-9.81260*sin(y(1))'; f=strvcat(f1,f2); [T,Y]=Rungekutta4(t0,tmax,n,y0,f); x=Y(:,1);y=Y(:,2); plot(T,x) axis([0 10 min(x) max(x)]) title('Valori istantanei dell''angolo-RK4') xlabel('Tempo (s)') ylabel('Angolo (rad)') tabella

File “tabella.m” clc a=[T,x,y]; % Il file permette di scrivere una tabella in cui si riportano i valori % in uscita da un problema differenziale di Cauchy di tipo vettoriale. % Se si vuole riportare anche l'errore, vanno aggiunte altre colonne clc a=[T,x,y]; s='----------------------------------------------'; disp(s) fprintf('tempo\t\t\t angolo\t\t\t\t velocità\n') n=length(T); for i=1:10:n fprintf('%6.3f %16.6e %16.6e \n',a(i,1:3)) end

Risultati del Metodo RK4 --------------------------------------------- tempo angolo velocità 0.000 0.000000e+000 5.000000e-001 1.000 2.289632e-003 -4.999165e-001 2.000 -4.578396e-003 4.997301e-001 3.000 6.865820e-003 -4.994409e-001 4.000 -9.151435e-003 4.990491e-001 5.000 1.143477e-002 -4.985546e-001 6.000 -1.371536e-002 4.979577e-001 7.000 1.599273e-002 -4.972584e-001 8.000 -1.826642e-002 4.964570e-001 9.000 2.053595e-002 -4.955537e-001 10.000 -2.280087e-002 4.945486e-001

Movimento del punto P Il punto P ha coordinate: x y P  Il punto P ha coordinate: Per costruire la rappresentazione del punto P in movimento, determiniamo le coordinate di P, cioè: (sin ( x ( i )), - cos ( x ( i ))), i = 0,1,…,n . N.B. l’asse y è orientato verso il basso, cioè in modo contrario della normale rappresentazione.

Metodo di Runge Kutta 4: simulazione ……………………… y0=[0 3]; [T,Y]=Rungekutta4(t0,tmax,n,y0,f); theta=Y(:,1);n=length(T); plot(0,-1,'or'); for i=1:n x(i)=sin(theta(i)); y(i)=-cos(theta(i)); plot(x(i),y(i),'ob',[0,x(i)],[0,y(i)],'r'); axis([-1 1 -1.5 .5]) pause(.25) end title('Oscillazioni del pendolo – RK4') xlabel('Ascissa del punto P') ylabel('Ordinata del punto P')

Esercizio 2: Moto del Battello Si determini la traiettoria ed il tempo di attraversamento di un fiume largo 2 km e con velocità della corrente di modulo s, da parte di un battello che si muove con velocità relativa (rispetto all’acqua) di modulo v, e che, partendo da un punto a valle (o a monte) del punto di attracco, si dirige sempre verso tale punto. Si utilizzi il metodo di Eulero. Si esaminerà il caso di partenza da un punto a valle. Lo studente può studiare l’altro caso.

s y dx/dt V v dy/dt x A P 2 km 0.1 km s y dx/dt V v dy/dt x A P

Modello del problema Velocità assoluta battello:

[T,X,Y]=Eulero2(t0,tmax,n,x0,y0,f1,f2); Metodo di Eulero [T,Y]=Eulero(t0,tmax,n,y0,f) Eulero scalare: f=strvcat(f1,f2); [T,Y]=Eulero(t0,tmax,n,y0,f) Eulero vettoriale: Eulero vettoriale applicato in serie: [T,X,Y]=Eulero2(t0,tmax,n,x0,y0,f1,f2);

Soluzione del problema e simulazione del moto t0=0;tmax=0.5; %primo valore di tentativo y0=[2 0.1]; f=strvcat('-5*y(1)/sqrt(y(1)^2+y(2)^2)‘, ... '-5*y(2)/sqrt(y(1)^2+y(2)^2)+3'); n=50; [T,Y]=Eulero(t0,tmax,n,y0,f); x=Y(:,1); y=Y(:,2); figure(1) axis([-0.1 2 -0.2 0.6]) hold on for i=1:length(T) plot(x(i),y(i),'*b') %*=simbolo,b=blu pause(0.30) end hold off title([' Traiettoria del battello - tmax = ' num2str(tmax)]) xlabel(' X [km]');ylabel(' Y [km]') grid

L’estremo finale viene calcolato per tentativi.

Risultati con tmax=0.65 T X Y 0.000 2.000000e+000 1.000000e-001 ... ... ... 0.559 1.919500e-002 1.821415e-001 0.572 1.238269e-002 1.564994e-001 0.585 7.255724e-003 1.307019e-001 0.598 3.652893e-003 1.048019e-001 0.611 1.388678e-003 7.884131e-002 0.624 2.439726e-004 5.285139e-002 0.637 -5.607722e-005 2.685208e-002 0.650 7.966688e-005 8.522218e-004

Esercizio 3: Problema Preda-Predatore Sistema differenziale non lineare di ordine 1 P(t): prede, Q(t): predatori. Si trovi la soluzione del problema per assumendo: k1 = 2; k2 = 10; c = 0.001; d = 0.002; P0=5000; Q0=100.

Soluzione analitica del problema Variabili separate Integrando i due membri si ottiene l’Int. Gen. cost. si calcola imponendo le condizioni iniziali.

Istruzioni: Metodo Eulero esplicito e grafici di P( t ), Q( t ) t0=0;tmax=3; y0=[5000 100]; % P,Q sono in y(1), y(2) f=strvcat('2*y(1)- 0.001*y(1)*y(2)',... '-10*y(2)+ 0.002*y(1)*y(2)'); str1='Eulero';n=300; h=tmax./n; [T,Y]=Eulero(t0,tmax,n,y0,f); plot(T,Y(:,1),’b’,T,Y(:,2),’g’); grid title(['Risultati del metodo di ',str1]) legend('prede','predatori') title(['Risultati del metodo di ',str1,... ' con h =' num2str(h)]) xlabel('Tempo')

Grafici: Metodo di Eulero Esplicito

Istruzioni per grafico nel piano P Q t0=0;tmax=3; y0=[5000 100]; % P,Q sono in y(1), y(2) f=strvcat('2*y(1)- 0.001*y(1)*y(2)','-10*y(2)+ .002*y(1)*y(2)'); str1='Eulero';N=[60 300]; h=tmax./N; n=N(1); [T,Y]=Eulero(t0,tmax,n,y0,f); plot(Y(:,1),Y(:,2),'r') hold on n=N(2); plot(Y(:,1),Y(:,2),'b',10/0.002,2/0.001,'*'),grid title(['Risultati del metodo di ',str1]) xlabel('Prede'),ylabel('Predatori');grid legend(['h1 = ' num2str(h(1))],['h2 = 'num2str(h(2))])

Rappresentazione nel piano PQ Il punto segnato con * è il punto critico che si ottiene ponendo:

Istruzioni del Metodo Heun Grafici di P( t ), Q( t ) t0=0;tmax=3; y0=[5000 100]; f=strvcat('2*y(1)- 0.001*y(1)*y(2)',... '-10*y(2)+ 0.002*y(1)*y(2)'); str1=‘Heun';n=300; h=tmax./n; [T,Y]=Heun(t0,tmax,n,y0,f); plot(T,Y(:,1),T,Y(:,2)); grid legend('prede','predatori') title(['Risultati del metodo di ',str1,... ' con h =' num2str(h)]) xlabel('Tempo')

Grafici prede, predatori Metodo di Heun

Soluzione nel piano PQ: simulazione movimento t0=0;tmax=3;y0=[5000 100]; f=strvcat('2*y(1)- 0.001*y(1)*y(2)','-10*y(2)+ 0.002*y(1)*y(2)'); n=300; h=tmax./n; [T,Y]=Heun(t0,tmax,n,y0,f); plot(10/0.002,2/0.001,’*r’,y0(1),y0(2),’*b’) hold on for i=1:n plot(Y(i,1),Y(i,2),’*b’) pause(0.25) end title('Simulazione nel piano PQ - Heun')

Simulazione: metodo di Heun

Esercizio 4: Sistema differenziale lineare del 1° ordine Stabilire se il problema ammette soluzione unica e se è ben condizionato. Calcolare la soluzione con il metodo di Eulero Implicito, n1=100 e n2=200; n1, n2 = numero sottointervalli.

Esercizio 4: quesiti c,d c) Si calcoli l’errore nei nodi sapendo che la soluzione vera è: d) Si confronti la soluzione vera calcolata nei nodi al punto c), con quella approssimata ottenuta applicando il metodo di Runge-Kutta 4 con n1 = 100.

a: esistenza, unicità della soluzione Esiste unica la soluzione del problema.

a: stabilità e condizionamento La matrice dei coefficienti è i suoi autovalori si trovano risolvendo l’equazione caratteristica: il sistema è asintoticamente stabile e quindi ben condizionato.

b: metodo di Eulero Implicito n=input('n = '); % numero sottointervalli t0=0;tmax=10; coeff=[-1 1 0; -1 -1 0]; x0=-1;y0=1; [T,X,Y]=Eulsis(t0,tmax,n,x0,y0,coeff); str1='Eulero Implicito'; Stampa dei risultati disp(['Risultati del metodo di ',str1]); t=T; Xv=exp(-t).*(sin(t)-cos(t)); Yv=exp(-t).*(sin(t)+cos(t)); tabella2

c: file “tabella2.m” ErrX= abs(X-Xv);ErrY= abs(Y-Yv); % Il file scrive una tabella in cui si riportano i valori in uscita da % un problema differenziale di Cauchy di tipo vettoriale. % Si vuole riportare l'errore nella X e nella Y, quindi vanno % considerate le colonne relative. % ErrX= abs(X-Xv);ErrY= abs(Y-Yv); a=[T,X,Y, ErrX,ErrY]; s='------------------------------------------'; disp(s) fprintf(' T X Y ErrX ErrY \n'); n=length(T); for i=1:10:n %stampa ogni 10 valori fprintf('%6.3f %16.6e %16.6e %10.2e %10.2e \n',a(i,:)) end

Tabella Eulero Implicito: n1 = 100 ----------------------------------------------------------------------------------------------------- T X Y ErrX ErrY 0.000 -1.000000e+000 1.000000e+000 0.00e+000 0.00e+000 1.000 6.326408e-002 5.194194e-001 4.75e-002 1.11e-002 2.000 1.657577e-001 1.000365e-001 1.36e-002 3.33e-002 3.000 6.695044e-002 -2.547604e-002 1.06e-002 1.68e-002 4.000 7.847666e-003 -2.531598e-002 9.74e-003 5.17e-004 5.000 -5.585724e-003 -8.060362e-003 2.79e-003 3.51e-003 6.000 -3.622299e-003 -2.110340e-004 5.50e-004 1.90e-003 7.000 -8.876485e-004 1.007195e-003 7.99e-004 2.79e-004 8.000 9.098508e-005 4.883277e-004 2.90e-004 2.05e-004 9.000 1.630219e-004 8.486890e-005 2.80e-007 1.46e-004 10.000 6.190752e-005 -2.813839e-005 4.85e-005 3.47e-005

% Grafico soluzione vera ed approssimata plot(T,Xv,T,X);grid xlabel('Tempo (s)') title(’Metodo di Eulero implicito - n=100') legend('Xvera','Xapp')

Errore per la x(t): Eulero Implicito

Tabella Eulero Implicito: n2 = 200 -------------------------------------------------------------- T X Y ErrX ErrY 0.000 -1.000000e+000 1.000000e+000 0.00e+000 0.00e+000 0.500 -2.615168e-001 8.176226e-001 2.00e-002 5.44e-003 1.000 8.623577e-002 5.138799e-001 2.46e-002 5.55e-003 1.500 1.894160e-001 2.532959e-001 1.74e-002 1.49e-002 2.000 1.726328e-001 8.400313e-002 6.75e-003 1.73e-002 2.500 1.165047e-001 -2.675497e-003 1.62e-003 1.40e-002 3.000 6.211849e-002 -3.383809e-002 5.80e-003 8.42e-003 3.500 2.410848e-002 -3.553024e-002 6.42e-003 3.34e-003 4.000 3.128919e-003 -2.587447e-002 5.02e-003 4.12e-005 ...... 7.000 -5.159904e-004 1.197169e-003 4.28e-004 8.94e-005 7.500 5.446362e-005 7.894289e-004 2.73e-004 7.89e-005 8.000 2.488899e-004 4.108081e-004 1.32e-004 1.28e-004 8.500 2.485198e-004 1.524551e-004 3.64e-005 1.12e-004 9.000 1.764843e-004 1.315848e-005 1.32e-005 7.47e-005 9.500 9.888436e-005 -4.197206e-005 2.99e-005 3.83e-005 10.000 4.168455e-005 -5.014193e-005 2.83e-005 1.27e-005

Costruzione tabella riassuntiva n1=100; % numero sottointervalli t0=0;tmax=10;coeff=[-1 1 0; -1 -1 0]; x0=-1;y0=1; [T1,X1,Y1]=Eulsis(t0,tmax,n1,x0,y0,coeff); t=T1; Xv=exp(-t).*(sin(t)-cos(t)); Yv=exp(-t).*(sin(t)+cos(t)); ErrX1= abs(X1-Xv);ErrY1= abs(Y1-Yv); n2=200; % numero sottointervalli [T2,X2,Y2]=Eulsis(t0,tmax,n2,x0,y0,coeff); t=T2; ErrX2= abs(X2-Xv);ErrY2= abs(Y2-Yv); a=[T1,ErrX1,ErrX2(1:2:end),ErrY1,ErrY2(1:2:end)]; fprintf(' T ErrX1 ErrX2 ErrY1 ErrY2\n'); fprintf('%6.3f %10.2e %10.2e %10.2e %10.2e \n',a(1:10:end,:)')

Tabella riassuntiva dei risultati T ErrX1 ErrX2 ErrY1 ErrY2 0.000 0.00e+000 0.00e+000 0.00e+000 0.00e+000 1.000 4.75e-002 2.46e-002 1.11e-002 5.55e-003 2.000 1.36e-002 6.75e-003 3.33e-002 1.73e-002 3.000 1.06e-002 5.80e-003 1.68e-002 8.42e-003 4.000 9.74e-003 5.02e-003 5.17e-004 4.12e-005 5.000 2.79e-003 1.28e-003 3.51e-003 1.92e-003 6.000 5.50e-004 3.86e-004 1.90e-003 9.42e-004 7.000 7.99e-004 4.28e-004 2.79e-004 8.94e-005 8.000 2.90e-004 1.32e-004 2.05e-004 1.28e-004 9.000 2.80e-007 1.32e-005 1.46e-004 7.47e-005 10.000 4.85e-005 2.83e-005 3.47e-005 1.27e-005

MODIFICHE ai files EULSIS e TRAPEZI .. …. .. . %file TRAPEZI.M while t<tmax c1_old=eval(coeff(1,:)); c2_old=eval(coeff(2,:)); t=t+h; if abs(tmax-t)<1.e-13 t=tmax; end c1_new=eval(coeff(1,:)); c2_new=eval(coeff(2,:)); .. …. .. . .. …. .. . %file EULSIS.M while t < tmax tn=x1+h*tn1; x1=mat\tn; X=[X;x1(1)]; Y=[Y;x1(2)]; t=t+h; if abs(tmax-t)<1.e-13 t=tmax; end T=[T;t];

Soluzione con movimento nel piano XY tmax=10; coeff=[-1 1 0;-1 -1 0]; x0=-1;y0=1; [T,X,Y]=Eulsis(t0,tmax,n,x0,y0,coeff); plot(0,0,'or',x0,y0,'*g') % (0,0) punto % di stazionarietà hold on for i=1:n plot(X(i),Y(i),'ob') pause(0.25) end

Grafico nel piano XY

d: metodo di Runge-Kutta 4 n=input('n = '); % numero sottointervalli t0=0;tmax=10; y0=[-1 1]; % x,y sono in y(1), y(2) f=strvcat('-y(1)+y(2)','-y(1)-y(2)'); [T,Y]=RungeKutta4(t0,tmax,n,y0,f); X=Y(:,1); Y=Y(:,2); str1='Runge-Kutta'; Stampa dei risultati disp(['Risultati del metodo di ',str1]); t=T; Xv=exp(-t).*(sin(t)-cos(t)); Yv=exp(-t).*(sin(t)+cos(t)); tabella

Tabella Metodo RK4: n1 = 100 -------------------------------------------------------------- T X Y ErrX ErrY 0.000 -1.000000e+000 1.000000e+000 0.00e+000 0.00e+000 1.000 1.107954e-001 5.083239e-001 1.62e-006 2.12e-006 2.000 1.793787e-001 6.673883e-002 6.65e-007 1.85e-006 3.000 5.631372e-002 -4.226311e-002 1.05e-006 2.42e-007 4.000 -1.889800e-003 -2.583285e-002 3.79e-007 3.71e-007 5.000 -8.372432e-003 -4.549641e-003 4.95e-008 2.39e-007 6.000 -3.072525e-003 1.687461e-003 1.01e-007 3.86e-008 7.000 -8.833836e-005 1.286537e-003 3.73e-008 2.74e-008 8.000 3.807013e-004 2.830635e-004 1.21e-009 1.94e-008 9.000 1.632948e-004 -6.158686e-005 7.03e-009 3.92e-009 10.000 1.339237e-005 -6.279076e-005 2.90e-009 1.55e-009

% Grafico soluzione vera ed approssimata plot(T,Xv,T,X);grid xlabel('Tempo (s)') title(’Metodo di Runge-Kutta - n=100') legend('Xvera','Xapp')

Errore per la x(t): Metodo RK4