Cosa sono? Come si risolvono? EQUAZIONI di I° Grado Cosa sono? Come si risolvono?

Che differenza c’è tra identità ed equazione? IDENTITA’: un’identità è un’uguaglianza tra 2 espressioni letterali verificata per qualunque valore attribuito alle lettere contenute nell’espressione EQUAZIONE: un’equazione è un’uguaglianza tra 2 espressioni letterali verificata solo da particolari valori attribuiti alle lettere contenute nell’espressione

Sono esempi di identità: sono identità perché qualsiasi valore si assegni alla lettera a o x, si ha che il primo membro è uguale al secondo membro

Sono esempi di equazione: infatti la prima uguaglianza è verificata solo per il valore x=5, mentre la seconda è verificata solo per a=2. Tali valori prendono il nome di soluzioni o radici dell’equazione. Risolvere un’ equazione significa trovarne le soluzioni.

Tipi di equazioni INTERA: se l’incognita è presente soltanto nel numeratore FRATTA: se l’incognita è presente anche nel denominatore NUMERICA: se l’unica lettera che compare è l’incognita LETTERALE: se oltre all’incognita compaiono anche altre lettere, che prendono il nome di parametri

Esempi: equazione numerica intera equazione numerica fratta equazione letterale intera equazione letterale fratta

Forma normale di un’equazione Portando tutti i termini di un’equazione a sinistra dell’uguale, eseguendo i calcoli e riducendo i termini simili, l’equazione si può scrivere come un polinomio P(x) uguale a zero: Questa si chiama forma normale, o canonica, dell’equazione. Il grado del polinomio P(x) si dice grado dell’equazione.

è un’equazione in forma normale Esempi: è un’equazione in forma normale di secondo grado è un equazione in forma normale di primo grado l’equazione non è in forma normale, pertanto non se ne può stabilire il grado. Se la riportiamo in forma canonica vediamo che è di I°grado

Esercizi guidati Verifica se l’espressione è una identità. Se si eseguono i calcoli e si riducono i termini simili nei due membri, si ottiene: I° membro … II° membro … L’espressione è un’identità perché il I° membro è uguale al II° membro.

Riduci in forma normale la seguente equazione e indica il suo grado: Si eseguono i calcoli Si spostano tutti i termini al I° membro Si riducono i termini simili … Pertanto l’equazione è di grado …… .

Equazioni equivalenti Due equazioni si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni. Per risolvere un’equazione generalmente è necessario trasformarla in una equivalente più semplice che, a sua volta si trasforma in un’altra ancora più semplice, e così via. Per eseguire questa trasformazione si utilizzano i seguenti due principi di equivalenza.

Principi di equivalenza I° Principio: aggiungendo o togliendo ai due membri di un’equazione uno stesso numero o una stessa espressione, si ottiene una equazione equivalente II° Principio: moltiplicando o dividendo i due membri di un’equazione per uno stesso numero o espressione diverso da zero, si ottiene un’equazione equivalente

Da questi principi si deducono alcune conseguenze importanti dal punto di vista operativo: Si possono spostare i termini da un membro all’altra cambiandone il segno Si può eliminare uno stesso elemento presente in tutti e due i membri

Se i due membri hanno un fattore numerico identico lo si può sopprimere Si può cambiare il segno a tutta l’equazione Si possono eliminare i denominatori, facendo prima il minimo comune multiplo, nei due membri

Tipi di equazioni Considerando le soluzioni, un’equazione può essere: DETERMINATA: se ha un numero finito di soluzioni INDETERMINATA: se ha infinite soluzioni, cioè è una identità IMPOSSIBILE: se non ha soluzioni

Esempi: determinata con soluzione impossibile indeterminata

Il procedimento per la risoluzione di un’equazione di primo grado Per risolvere un’equazione: la si libera dagli eventuali denominatori, facendo il m.c.m. si eliminano le parentesi effettuando i calcoli si spostano i termini, in modo da avere al I° membro solo quelli che contengono l’incognita si riducono i termini simili, portando l’equazione in forma normale si stabilisce se l’equazione è determinata (e si trova la soluzione), indeterminata o impossibile

Verifica della soluzione Per stabilire se la soluzione trovata è esatta, nel caso in cui l’equazione sia determinata, si effettua la verifica che consiste nel sostituire la soluzione all’incognita in ciascuno dei due membri dell’equazione, per verificare se si ottiene lo stesso risultato. L’equazione: ha come soluzione Verifica: I° membro … II° membro … La soluzione è esatta essendo i due membri uguali.

Esercizi guidati Risolvi le seguenti equazioni: esegui i calcoli … sposta i termini … riduci i termini simili …

cambia di segno … dividi per 3 … la soluzione è …

m.c.m. … sposta i termini … riduci i termini simili … cambia segno e otterrai la soluzione …

esegui i calcoli riducendo i termini simili e spostando i … rimanenti si ottiene la soluzione è … e l’equazione risulta … INDETERMINATA

esegui i calcoli … sposta i termini … riduci i termini simili … l’equazione risulta … IMPOSSIBILE

Esercizi proposti

Risoluzione equazioni fratte In sintesi per risolvere un’equazione fratta si deve: scomporre in fattori le frazioni algebriche presenti determinare le condizioni di esistenza (C.E.) delle frazioni algebriche scomposte portare tutte le frazioni algebriche ad un denominatore comune (m.c.m.)

eliminare il denominatore moltiplicando entrambi i membri dell’equazione per lo stesso denominatore, in modo da ottenere un’equazione intera calcolare le soluzioni dell’equazione intera controllare che tali soluzioni siano accettabili, cioè che rispettino le condizioni di esistenza: in caso affermativo esse sono soluzioni dell’equazione fratta, altrimenti l’equazione risulta impossibile

Esercizi guidati i denominatori non sono da scomporre si esegue il m.c.m. e lo si elimina moltiplicando per lo stesso si scrivono le condizioni di esistenza

esegui i calcoli e semplifica cambia di segno e otterrai … si confronta la soluzione con le condizioni di esistenza e … essendo diverse da questa è la soluzione

si scompongono i denominatori si calcola il m.c.m. e lo si elimina si scrivono le C.E. … si eseguono i calcoli … la soluzione è … e … non è accettabile perché non è nel C.E.

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