Rappresentazioni numeriche Sistemi posizionali, numeri binari, complemento a due

Conversione dalla base 10 alla base 2 Dato un numero N la sua rappresentazione in base due sarà del tipo ck ck-1ck-2 … c1c0 (dove “ci” è una cifra binaria) Per convertire un numero in base dieci nel corrispondente in base due si devono trovare i resti delle divisioni successive del numero N per due

Conversione dalla base 10 alla base 2 Esempio: il numero 610: 6/2 = 3 resto 0 3/2 = 1 resto 1 1/2 = 0 resto 1 Leggendo i resti dal basso verso l’alto, si ha che la rappresentazione binaria del numero 610 è 1102

Conversione dalla base 10 alla base 2 Esempio: il numero 34510: 345/2 = 172 resto 1 172/2 = 86 resto 0 86/2 = 43 resto 0 43/2 = 21 resto 1 21/2 = 10 resto 1 10/2 = 5 resto 0 5/2 = 2 resto 1 2/2 = 1 resto 0 1/2 = 0 resto 1 Leggendo i resti dal basso verso l’alto (in quanto si ottengono a partire dalla cifra meno significativa, l’unità), si ha che rappresentazione binaria del numero 34510 è 1010110012

Conversione dalla base 2 alla base 10 Sia cm cm-1cm-2 … c1c0 un numero rappresentato in base 2, usiamo: cm x 2m + cm-1 x 2m-1 + cm-2 x 2m-2 + … + c1 x 21 + c0 x 20 = N Esempio: 1010110012 1 x 28 + 0 x 27 + 1 x 26 + 0 x 25 + 1 x 24 + 1 x 23 + 0 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = 256 + 64 + 16 + 8 + 1 345

Altri basi: ottale, esadecimale Sistema ottale Utilizza una notazione posizionale basata su otto cifre (0,1,…,7) e sulle potenze di 8 Esempio: 1038 = 1 x 82 + 0 x 81 + 3 x 80 = 67 Sistema esadecimale Utilizza una notazione posizionale basata su sedici cifre (0,1,…,9,A,B,C,D,E,F) e sulle potenze di 16 Esempio: 10316 = 1 x 162 + 0 x 161 + 3 x 160 = 259 Esempio: AC416 = 10 x 162 + 12 x 161 + 4 x 160 = 2756

Operazioni su numeri binari Vediamo solo il caso della addizione nella codifica binaria: Si mettono in colonna i numeri da sommare Si calcola il riporto ogni volta che la somma parziale supera il valore 1 Addizione: 0 + 0 = 0 con riporto 0 0 + 1 = 1 con riporto 0 1 + 0 = 1 con riporto 0 1 + 1 = 0 con riporto 1

Operazioni su numeri binari Addizione: 0 + 0 = 0 con riporto 0 0 + 1 = 1 con riporto 0 1 + 0 = 1 con riporto 0 1 + 1 = 0 con riporto 1 Esempi: 1 + 1 = 1 0 1 0 1 + 1 1 = 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 + 1 0 0 0 1 1 0 = 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 + 1 1 = 1 0 1 0

Codici a lunghezza fissa Se si usa un numero prestabilito di cifre si ha un codice a lunghezza fissa In questo modo si pone anche un limite al numero massimo rappresentabile Esempio: qual è il numero più grande rappresentabile con 4 cifre? In base 10: 9999 In base 2: 1111 (=1510) In base 16: FFFF (=6553510) In base 8: 7777 (=409510)

Codici a lunghezza fissa Numeri maggiori di quello massimo rappresentabile causano problemi di overflow Ovvero per essere rappresentati richiedono più cifre di quelle a disposizione Esempio: 4 cifre In base 10: 9999 + 1 = 1000010 In base 2: 1111 + 1 = 100002 (=1610) In base 16: FFFF + 1 = 1000016 (=6553610) In base 8: 7777 + 1 = 100008 (=409610)

Codici a lunghezza fissa In generale, con N cifre a disposizione e base b il più grande numero (intero positivo) rappresentabile si può esprimere come bN – 1 Esempio: N=4 In base 10: 9999 = 104 - 1 In base 2: 1111 = 24 - 1 In base 16: FFFF = 164 - 1 In base 8: 7777 = 84 - 1

Codici a lunghezza fissa Esempio di overflow nel sistema binario dovuto a operazioni aritmetiche: 5 + 4 = 9 (in sistema decimale) abbiamo usato solo un cifre decimale per il risulto Ricordiamo: 510 = 1012 , 410 = 1002 Errore: overflow (non può essere codificato 910 = 10012 con tre bit) 1 0 1 + 1 0 0 = 1 0 0 1 (in sistema binario)

Rappresentazione dei numeri In realtà, una semplice codifica binaria come quella discussa fino ad ora non è sufficiente, per due motivi: Numeri negativi Numeri con la virgola Per questi numeri vengono utilizzate delle rappresentazioni differenti Per esempio “complemento a due” per rappresentare i numeri negativi

Rappresentazione dei numeri negativi Si può pensare di usare un bit per il segno “0” identifica “+” “1” identifica “-” Gli altri bit vengono usati per codificare il valore assoluto (modulo) del numero

Rappresentazione dei numeri negativi Con 3 bit avremo: Problemi: Il numero 0 ha due rappresentazioni Per l’operazione di somma si deve tener conto dei segni degli addendi 000 +0 001 +1 010 +2 011 +3 100 -0 101 -1 110 -2 111 -3 0 0 1 0 + (+2) 1 0 1 1 = (-3) 1 1 0 1 (-5 ERRATO)

Rappresentazione dei numeri negativi Complemento a due: Il bit più significativo rappresenta il segno del numero: 0 per i numeri positivi e 1 per i numeri negativi La rappresentazione di un numero positivo si ottiene codificando il valore assoluto del numero con i bit restanti La rappresentazione di un numero negativo si ottiene in tre passi: Si rappresenta in complemento a due il numeri positivo con lo stesso valore assoluto del numero negativo da codificare Si invertono tutti i bit in tale rappresentazione (01,10) Si somma uno al risultato ottenuto al passo precedente

Complemento a due Esempio (con 4 bit a disposizione): La codifica di +5 è 0101 La codifica del numero –5 avviene in tre passi: La rappresentazione in complemento a due di +5 è 0101 Invertendo tutti i bit si ottiene 1010 Sommando 1 si ottiene 1011, la rappresentazione in complemento a due di -5

Complemento a due Per ottenere un numero con segno data la sua rappresentazione in complemento a due: Se il primo bit è 0 il numero è positivo: per calcolarne il valore assoluto si esegue la conversione da binario a decimale Se il primo bit è 1 il numero è negativo: Si ignora il primo bit Si invertono i restanti bit Si converte il numero da binario a decimale Si somma uno al numero ottenuto per ottenere il valore assoluto del numero negativo

Complemento a due Esempio: 1011 Si esclude il primo bit Invertendo 011 si ottiene 100 che è codifica di 4 Va aggiunto 1 per ottenere il valore assoluto 5 Il risultato è quindi -5

Esercizio Esercizio: Rappresentare -3510 in complemento a 2 001000112 = +3510 11011100 + 1 = ------------ 11011101 Complemento a uno Soluzione: -3510 = 110111012

Complemento a due Esempi di addizione: Con 3 bit avremo: 0 0 1 0 + (+2) 1 0 1 1 = (-5) 1 1 0 1 (-3) 0 1 1 1 + (+7) 0 0 1 0 (+2) Nel secondo esempio, l’overflow è ignorato 000 +0 001 +1 010 +2 011 +3 100 -4 101 -3 110 -2 111 -1

Codifica dei numeri Codificare il numero 13210 nella corrispondente rappresentazione binaria Ordinare in modo crescente i seguente numeri: 10410 , 128 , 1000100002 , 1001110 Codificare il numero negativo –1210 nella rappresentazione in complemento a due

Concludendo … « There are only 10 types of people in the world: those who understand binary and those who don't » « Ci sono solamente 10 tipi di persone nel mondo: chi comprende il sistema binario e chi no »