I numeri… complessi o no?

VOGLIAMO ESTRARRE LA RADICE QUADRATA DI UN NUMERO NEGATIVO

Matematicamente possiamo: decidere che tale calcolo non si può eseguire creare un insieme di numeri in cui tale calcolo si può eseguire

Optiamo per la seconda ipotesi Eureka !

Cominciamo con l’osservare che non vi è alcun numero reale il cui quadrato sia uguale a -1. Però nulla impedisce di creare un nuovo “numero”, fuori dall’insieme R dei numeri reali, il quale soddisfi a questa condizione. Questo nuovo numero si suole indicare con la lettera i e si chiama: UNITA’ IMMAGINARIA

Quindi poniamo:

L’unità immaginaria è un po’ “strana” infatti

L’unità immaginaria ha, con le sue potenze, un “piede” nell’insieme dei numeri reali. Le sue potenze sono “cicliche” di ciclo 4, infatti i valori si ripetono ogni quattro.

In un riferimento cartesiano ortogonale poniamo sull’asse delle ascisse i numeri reali sull’asse delle ordinate i “numeri immaginari” ottenuti moltiplicando un numero reale per l’unità immaginaria i

Un numero complesso sarà un numero del tipo

dove a e b sono numeri reali a si chiama parte reale del numero complesso ib si chiama parte immaginaria del numero complesso

un nuovo insieme di numeri In questo modo è nato un nuovo insieme di numeri i numeri complessi

Rappresentiamo con un insieme tutti i numeri che conosciamo Complessi a+ib Reali a Immaginari bi

Diamo qualche definizione

Somma algebrica di numeri complessi REGOLA

Esempi

Prodotto di numeri complessi In particolare: Si però i fattori sono numeri complessi!!! Bella cosa……..! Nell’insieme dei numeri complessi la somma di due quadrati è scomponibile in fattori!!!

Esempi somma di due quadrati

Reciproco di un numero complesso Si definisce reciproco del numero complesso il numero complesso: infatti il loro prodotto è uguale a 1

Quoziente di numeri complessi

Esempio

RIASSUMENDO

Avevamo un problema l’abbiamo risolto = 2 i introducendo i numeri immaginari abbiamo creato l’insieme dei numeri complessi a + ib abbiamo visto che tale insieme contiene sia i numeri reali già noti che i numeri immaginari abbiamo visto che in questo nuovo insieme valgono regole uguali a quelle già note ma in più che in esso si possono fare operazioni vietate nell’insieme dei reali