I VETTORI

con quanti numeri rispondi? (NUMERI, bada, non “cifre”) Se ti chiedo: “Che età hai?” con quanti numeri rispondi? (NUMERI, bada, non “cifre”)

con quanti numeri rispondi? E se ti chiedo: “Che temperatura c’è nell’aula?” con quanti numeri rispondi?

In tutti i casi è sufficiente 1 numero

In tutti i casi è sufficiente 1 numero Ho 14 anni

In tutti i casi è sufficiente 1 numero Ho 14 anni Ci sono 22 gradi

E se ti ordino: “Spostati di 5 metri” tu che cosa fai?

vai qui?

vai qui?

vai qui?

vai qui?

vai qui?

vai qui?

vai qui?

vai qui? 5 metri

SBAGLIATO!

Allora vai qui?

Allora vai qui?

Allora vai qui?

Allora vai qui?

Allora vai qui?

Allora vai qui?

Allora vai qui?

Allora vai qui? 5 metri

SBAGLIATO!

Come mai non riesci ad andare là dove voglio io?

Come mai non riesci ad andare là dove voglio io?

Come mai non riesci ad andare là dove voglio io?

Come mai non riesci ad andare là dove voglio io?

Come mai non riesci ad andare là dove voglio io?

Come mai non riesci ad andare là dove voglio io?

Come mai non riesci ad andare là dove voglio io?

Evidentemente un solo numero non è sufficiente per darti tutte le informazioni che voglio!

Proviamo così:

40° 55° 82°

Spostati di 5 metri in direzione 82° rispetto all’asse X 40° 55° 82° X

Spostati di 5 metri in direzione 82° rispetto all’asse X 82° X

vai qui? 82° X

vai qui? 82° X

vai qui? 82° X

vai qui? 82° X

vai qui? 82° X

vai qui? 82° X

vai qui? 82° X

vai qui? 82° X

5 metri vai qui? 82° X

5 metri SBAGLIATO! vai qui? 82° X

5 metri Sì: ancora sbagliato! Evidentemente nemmeno 2 numeri sono sufficienti a darti l’informazione giusta. 82° X

5 metri Proviamo con una terza informazione 82° X

Spostati di 5 metri in direzione 82° rispetto all’asse X 40° 55° 82° X

Spostati di 5 metri in direzione 82° rispetto all’asse X verso l’asse X 40° 55° 82° X

Spostati di 5 metri in direzione 82° rispetto all’asse X verso l’asse X 82° X

Spostati di 5 metri in direzione 82° rispetto all’asse X verso l’asse X 82° X

Spostati di 5 metri in direzione 82° rispetto all’asse X verso l’asse X 82° X

Spostati di 5 metri in direzione 82° rispetto all’asse X verso l’asse X 82° X

Spostati di 5 metri in direzione 82° rispetto all’asse X verso l’asse X 82° X

Spostati di 5 metri in direzione 82° rispetto all’asse X verso l’asse X 82° X

Spostati di 5 metri in direzione 82° rispetto all’asse X verso l’asse X X

Proprio lì, dovevi andare! Bravo! Proprio lì, dovevi andare! X

Proprio lì, dovevi andare! Bravo! Proprio lì, dovevi andare! X

Occorrono quindi almeno 3 informazioni per comunicare in modo corretto una grandezza come lo spostamento.

Occorrono quindi almeno 3 informazioni per comunicare in modo corretto una grandezza come lo spostamento. Più una quarta informazione, per dirti da dove devi partire.

I matematici hanno inventato uno strumento proprio adatto a questo scopo: il VETTORE

I matematici hanno inventato uno strumento proprio adatto a questo scopo: il VETTORE

Esso ha una intensità

Esso ha una intensità (corrisponde alla sua lunghezza)

Esso ha una intensità una direzione

Esso ha una intensità una direzione (corrisponde alla retta alla quale appartiene il segmento)

Esso ha una intensità una direzione un verso

Esso ha una intensità una direzione un verso (corrisponde all’orientamento della freccia)

ed un punto di applicazione Esso ha una intensità una direzione un verso ed un punto di applicazione

ed un punto di applicazione Esso ha una intensità una direzione un verso ed un punto di applicazione (corrisponde all’origine della freccia)

I VETTORI SI SOMMANO

Se ti dico: spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da A poi spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da dove sei arrivato. Tu che cosa fai? + Y X + A

Se ti dico: spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da A poi spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da dove sei arrivato. Tu che cosa fai? + Y X + A 2 metri B

Se ti dico: spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da A poi spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da dove sei arrivato. Tu che cosa fai? C + Y 3 metri X + A 2 metri B

Il risultato di questa operazione è che: sei partito da A e sei arrivato in C C + Y 3 metri X + A 2 metri B

Il risultato di questa operazione è che: sei partito da A e sei arrivato in C come se fossi andato direttamente da A a C C + Y 3 metri X + A 2 metri B

Il risultato di questa operazione è che: sei partito da A e sei arrivato in C come se fossi andato direttamente da A a C C + Y 3 metri X + A 2 metri B

Il risultato di questa operazione è che: sei partito da A e sei arrivato in C come se fossi andato direttamente da A a C C + Y In altre parole possiamo dire che il vettore S è la somma dei vettori S1 ed S2 . S S2 S = S1 + S2 S1 X + A B

E se ti avessi detto: spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da A poi spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da dove sei arrivato. Tu che cosa avresti fatto? + Y X + A

E se ti avessi detto: spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da A poi spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da dove sei arrivato. Tu che cosa avresti fatto? B + Y 3 metri X + A

E se ti avessi detto: spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da A poi spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da dove sei arrivato. Tu che cosa avresti fatto? B C + Y 2 metri 3 metri X + A

E se ti avessi detto: spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da A poi spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da dove sei arrivato. Tu che cosa avresti fatto? B C + Y 2 metri 3 metri X + A

S1 + S2 = S2 + S1 Questo è lo stesso risultato E se ti avessi detto: spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da A poi spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da dove sei arrivato. Tu che cosa avresti fatto? B C + Questo è lo stesso risultato dell’operazione precedente! quindi: Y 2 metri 3 metri S1 + S2 = S2 + S1 che è la proprietà commutativa rispetto alla somma. X + A

+ Y X + A

+ Y X + A

C + Y X + A

C + Y X + A

C + Y X + A

C + Y X + A

Questo procedimento va sotto il nome di REGOLA DEL PARALLELOGRAMMA in quanto la risultante della somma di due vettori corrisponde alla diagonale di un parallelogrammo i cui lati sono gli stessi vettori C + Y X + A

Vediamo un esempio

Vediamo un esempio Sommiamo il vettore V al vettore P

Vediamo un esempio Sommiamo il vettore V al vettore P V P

Vediamo un esempio Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede V P

Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede Vediamo un esempio Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione V P

Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede Vediamo un esempio Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione V P

Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede Vediamo un esempio Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione V P

Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede Vediamo un esempio Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione 2 - si tracciano le parallele ai vettori che passano per le punte delle “frecce” V P

Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede Vediamo un esempio Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione 2 - si tracciano le parallele ai vettori che passano per le punte delle “frecce” V P

Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede Vediamo un esempio Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione 2 - si tracciano le parallele ai vettori che passano per le punte delle “frecce” V P

Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede Vediamo un esempio Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione 2 - si tracciano le parallele ai vettori che passano per le punte delle “frecce” 3 - si traccia la diagonale che congiunge i punti di applicazione allo spigolo opposto del parallelogramma V P

Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede Vediamo un esempio Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione 2 - si tracciano le parallele ai vettori che passano per le punte delle “frecce” 3 - si traccia la diagonale che congiunge i punti di applicazione allo spigolo opposto del parallelogramma V S P

Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede Vediamo un esempio Sommiamo il vettore V al vettore P Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a mettere in comune i punti di applicazione 2 - si tracciano le parallele ai vettori che passano per le punte delle “frecce” 3 - si traccia la diagonale che congiunge i punti di applicazione allo spigolo opposto del parallelogramma Il vettore S così ottenuto è la somma dei vettori V e P V S P

Si può procedere anche in un altro modo V P

Si può procedere anche in un altro modo Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena V P

Si può procedere anche in un altro modo Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena V P

Si può procedere anche in un altro modo Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena 2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo V P

Si può procedere anche in un altro modo Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena 2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo V P S

Si può procedere anche in un altro modo Come si vede il risultato è identico al precedente Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena 2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo V P S

Si può procedere anche in un altro modo Come si vede il risultato è identico al precedente Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena 2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo V P S V P S

Questo procedimento si chiama: “poligono funicolare”, ed è comodo quando i vettori sono molti Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena 2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo V P S

Questo procedimento si chiama: “poligono funicolare”, ed è comodo quando i vettori sono molti Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena 2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo

Questo procedimento si chiama: “poligono funicolare”, ed è comodo quando i vettori sono molti Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena 2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo

Questo procedimento si chiama: “poligono funicolare”, ed è comodo quando i vettori sono molti Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena 2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo

Questo procedimento si chiama: “poligono funicolare”, ed è comodo quando i vettori sono molti Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena 2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo

Questo procedimento si chiama: “poligono funicolare”, ed è comodo quando i vettori sono molti Come si procede 1 - si spostano i vettori parallelamente a sé stessi, fino a metterli in fila, come a costruire una catena 2 - si congiunge il punto di applicazione del primo vettore con la “freccia” dell’ultimo S

I VETTORI SI SOTTRAGGONO

Basta considerare che:

Basta considerare che: +V

Basta considerare che: +V -V

Prova da solo, per esercizio, a determinare il vettore: S = A - B B A

Prova da solo, per esercizio, a determinare il vettore: S = A + ( - B) B A

Prova da solo, per esercizio, a determinare il vettore: S = A + ( - B) - B A

Prova da solo, per esercizio, a determinare il vettore: S = A + ( - B) - B A

Prova da solo, per esercizio, a determinare il vettore: S = A + ( - B) - B A

Prova da solo, per esercizio, a determinare il vettore: S = A + ( - B) - B A S

I VETTORI SI SCOMPONGONO

TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA PROBLEMA 1 SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA

TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA PROBLEMA 1 SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA 50 +

50 + QUANTE SOLUZIONI CI SONO? PROBLEMA 1 SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA 50 + QUANTE SOLUZIONI CI SONO?

TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA PROBLEMA 1 SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA 50 +

TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA PROBLEMA 1 SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA 50 + 30 20

TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA PROBLEMA 1 SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA 50 + 12 38

TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA PROBLEMA 1 SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA 50 + 100 -50

TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA PROBLEMA 1 SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA 50 + 50

50 + CI SONO INFINITE SOLUZIONI PROBLEMA 1 SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA 50 + CI SONO INFINITE SOLUZIONI

TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA PROBLEMA 2 SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA E CHE UNO DEI DUE SIA 40 50 +

TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA PROBLEMA 2 SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA E CHE UNO DEI DUE SIA 40 50 + 40 10

TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA PROBLEMA 2 SCOMPORRE UN NUMERO IN DUE NUMERI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI PARTENZA E CHE UNO DEI DUE SIA 40 50 + 40 10 1 SOLA SOLUZIONE!

TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL VETTORE DI PARTENZA PROBLEMA 3 SCOMPORRE UN VETTORE IN DUE VETTORI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL VETTORE DI PARTENZA

a

a

a

a

ANCHE QUI CI SONO INFINITE SOLUZIONI

TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL VETTORE DI PARTENZA PROBLEMA 4 SCOMPORRE UN VETTORE IN DUE VETTORI TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL VETTORE DI PARTENZA E CHE LE LORO DIREZIONI SIANO NOTE

[2] a [1]

IN QUESTO CASO C’E’ UNA SOLA SOLUZIONE [2] a [1]

IN QUESTO CASO C’E’ UNA SOLA SOLUZIONE VEDIAMO COME SI PROCEDE [2] a [1]

a) si manda la parallela alla direzione [1] che passa per la “punta” del vettore a [2] a [1]

a) si manda la parallela alla direzione [1] che passa per la “punta” del vettore a [2] a [1]

b) si manda la parallela alla direzione [2] che passa per la “punta” del vettore a [2] a [1]

b) si manda la parallela alla direzione [2] che passa per la “punta” del vettore a [2] a [1]

In questo modo si costruisce un parallelogramma i cui lati coincidono con le direzioni [1] e [2] e la cui diagonale è a [2] a [1]

In questo modo si costruisce un parallelogramma i cui lati coincidono con le direzioni [1] e [2] e la cui diagonale è a [2] a [1]

Per cui questi sono i vettori componenti [2] a [1]

Per cui questi sono i vettori componenti a2 [2] a1 a [1]

ESERCIZIO

NEL DESERTO,UN TIZIO PARTE DAL PUNTO A E PERCORRE 30 KM VERSO NORD A

NEL DESERTO,UN TIZIO PARTE DAL PUNTO A E PERCORRE 30 KM VERSO NORD B 30 Km A

B A UN SUO AMICO, PARTENDO SEMPRE DA A, SI MUOVE PRIMA IN DIREZIONE NORD-EST, POI ,ESSENDOSI ACCORTO DI AVER SBAGLIATO STRADA, IN DIREZIONE NORD-OVEST B 30 Km N O S E NE NO A

QUANDO I DUE SI INCONTRANO, IN B, QUANTA STRADA HA PERCORSO L’AMICO? 30 Km N O S E NE NO A

SOLUZIONE

30 Km N O S E NE NO A

NE 30 Km N O S E NE NO A

NO NE 30 Km N O S E NE NO A

NO NE 30 Km N O S E NE NO A

NO NE 30 Km N O S E NE NO A

NO NE 30 Km N O S E NE NO A

NO NE 30 Km N O S E NE NO A

NO NE 30 Km N O S E NE NO A

NO NE 30 Km N O S E NE NO A

NO NE 30 Km N O S E NE NO A

NO NE 30 Km N O S E NE NO A

NO NE 30 Km N O S E NE NO A

NO NE 30 Km N O S E NE NO A

NO NE 30 Km N O S E NE NO A

NO NE l 30 Km N O S E NE NO A

questa è la metà di un quadrato NO NE l 30 Km N O S E NE NO  Poiché  è 90°, e  è 45°, questa è la metà di un quadrato  A

Per il teorema di Pitagora: questa è la metà di un quadrato NO NE Per il teorema di Pitagora: l2 + l2 = 302 l 30 Km N O S E NE NO  Poiché  è 90°, e  è 45°, questa è la metà di un quadrato  A

Per il teorema di Pitagora: questa è la metà di un quadrato NO NE Per il teorema di Pitagora: l2 + l2 = 302 2l2 = 900 l 30 Km N O S E NE NO  Poiché  è 90°, e  è 45°, questa è la metà di un quadrato  A

Per il teorema di Pitagora: questa è la metà di un quadrato NO NE Per il teorema di Pitagora: l2 + l2 = 302 2l2 = 900 l2 = 450 l 30 Km N O S E NE NO  Poiché  è 90°, e  è 45°, questa è la metà di un quadrato  A

Per il teorema di Pitagora: questa è la metà di un quadrato NO NE Per il teorema di Pitagora: l2 + l2 = 302 2l2 = 900 l2 = 450 l ~ 21,21 Km l 30 Km N O S E NE NO  Poiché  è 90°, e  è 45°, questa è la metà di un quadrato  A

L’amico percorre in tutto circa 42,4 Km A NO L’amico percorre in tutto circa 42,4 Km NE Per il teorema di Pitagora: l2 + l2 = 302 2l2 = 900 l2 = 450 l ~ 21,21 Km l 30 Km N O S E NE NO  Poiché  è 90°, e  è 45°, questa è la metà di un quadrato  A fine