Linguaggi  naturali e linguaggi formali Sistemi formali  

I linguaggi  naturali  

All’origine dei linguaggi naturali vi è la necessità di comunicare concetti in modo comprensibile . Il primo passo è attribuire un significato ad una forma, sia essa  un disegno, un suono o una parola.

Per esempio per individuare il significato di cane

posso disegnare un cane

ascoltare l’abbaiare di un cane

O il suo ansimare

o scrivere la parola    cane

Nel linguaggio naturale si distinguono quindi forma e significato

forma successione di caratteri che formano le parole e successioni di parole che, unitamente a regole ( la sintassi ), diventano frasi

significato interpretazione che si attribuisce alla forma (la semantica)

Per scrivere una parola usiamo i caratteri (l’alfabeto della lingua italiana) ma li uniamo in modo univoco per non incorrere in ambiguità

C a n e ma anche C e n a con significato diverso o anche

N e c a oppure N a c e che non hanno significato

Senza spazi tra le parole l’ambiguità sarebbe ancora maggiore : Leggiamo questa successione di caratteri : FUNICOLAREDINAPOLI che può essere interpretata come :

FUNICOLARE DI NAPOLI ma anche

FU NICOLA RE DI NAPOLI

Un uso misto di immagini e caratteri non è sicuramente adatto per una comprensione immediata di una frase

E’ il caso dei rebus dove immagini e caratteri messi nel modo corretto portano ad una frase di senso compiuto

Rebus Dif lto m

Che appunto spesso risulta una difficoltosa impresa

Così come concateniamo le parole tra loro per comporre una frase utilizzando regole di sintassi

Il libro sulla televisione E’ una frase con una sintassi corretta ma un significato ambiguo E’ un libro che parla di televisione o è un libro che è stato poggiato sulla televisione?

Il linguaggio naturale è spesso ambiguo

Per superare l’ambiguità occorre il contesto della frase : Guarda che hai lasciato il libro sulla televisione Il libro sulla televisione che ho letto non mi è piaciuto. Ora tutto è chiaro!

Ridondanza Il linguaggio naturale è spesso ridondante: lunghe perifrasi per un semplice concetto: …. Mi sia consentito di esprimere in questa sede e davanti a tale consesso di professori il mio sia pur inesperto pensiero.. Traduzione “io penso”

Superamento Uso di una sintassi rigorosa Schematizzazione

Autoreferenza nel linguaggio naturale Linguaggio che “parla”di se stesso Frasi Immagini Situazioni Funzioni e procedure (in informatica si chiama ricorsività)

Frasi autoreferenti Problema n.1 La proposizione “Questa frase è falsa “ è vera o falsa?

Soluzione problema n.1 Se la proposizione “Questa frase è falsa “ è vera. allora afferma il vero ossia che la frase è falsa contraddizione Se la proposizione “Questa frase è falsa “ è falsa, non è vero che la frase è falsa e quindi la frase è vera

Problema n.2 Su di un foglio vi sono le seguenti proposizioni: “ Alice non esiste “ “Entrambe queste proposizioni sono false “ Lo sapevi che Alice non esiste? Perché ?

Soluzione problema n.2 Se la 2) è vera allora la 2) è falsa 1) “Alice non esiste “ 2) “Entrambe queste proposizioni sono false “ Se la 2) è vera allora la 2) è falsa contraddizione Se la 2) è falsa allora è falso che la 1) e la 2) siano entrambe false quindi almeno una delle due è vera e non potendo essere vera la 2), essendo falsa per ipotesi, allora è vera la 1) e quindi Alice non esiste

Immagini autoreferenti Mani che disegnano di M.C.Escher

Schematizziamo

Come superare l’autoreferenza? La mano di Escher disegna

Mano con sfera riflettente di M.C.Escher 1935

Autoreferenza

Superamento dell'autoreferenza

Situazioni autoreferenti: i tre scrittori X , Y e Z sono 3 scrittori X scrive di Y Y scrive di Z Z scrive di X

Superamento

Funzioni ricorsive n! n! = 1x2x3x4x….x(n-1)xn n! = (n-1)!xn il fattoriale di un numero n è una funzione ricorsiva                

I numeri di Fibonacci 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 ...... fibo(1)=1 fibo(2)=1 fibo(n) = fibo(n-1) + fibo(n-2 ) Per n >2 Funzione ricorsiva

I numeri di Padovan 1 1 1 2 2 3 4 5 7 ... P(1)=1 P(2)=1 P(3)=3 1  1   1  2  2   3  4  5  7  ...  P(1)=1 P(2)=1 P(3)=3 P(n) = P(n-3)+ P(n-2) Per ogni n >3 Funzione ricorsiva

I frattali La curva di Koch , classico esempio di oggetto frattale , dalla proprietà di essere autoreferente , proprietà che in geometria si chiama autosomiglianza ,e che si disegna utilizzando procedure ricorsive.

La curva di Koch è costruita partendo da un triangolo equilatero . Si divide il lato in tre parti uguali e su ogni lato, nella parte centrale, si disegna un  nuovo triangolo equilatero di lato l/3. Si ripete il procedimento su ogni segmento Ad ogni passo il contorno diventa più frastagliato

Altri esempi di oggetti autoreferenti Triangolo di Sierpinski Fiocco di neve

Un lato della curva di Koch

Esercizi Riconoscere funzioni ricorsive

I numeri naturali n n = (n-1) +1 per n>1 (Banale!!!)

I numeri pari 2n 2n = 2(n-1) +2 Ogni numero pari è dato dal numero pari precedente +2

I numeri dispari n 2n+1 n-1 2(n-1) +1

I numeri dispari ricorsività n 2n+1 n-1 2(n-1) +1 2n+1 = 2n+1-2+2 =(2n-2)+1+2= =(2(n-1)+1)+2 Ogni numero dispari è dato dal numero dispari precedente +2

La potenza an Ogni potenza è dato dalla potenza precedente moltiplicata per a an = an-1 a

I numeri triangolari 1 3 6 10 15 …. Ottenuti sommando 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ .. T(1)=1 T(2)=1+2=3 T(3)=1+2+3=6 T(4)=1+2+3+4=10 T(5)=1+2+3+4+5+=15 T(n) = T(n-1) + n

I numeri quadrati 1 4 9 16 Si ottengono sommando i numeri dispari 1 4 9 16 Si ottengono sommando i numeri dispari 1 3 5 7 … Q(1)=1 Q(2)=1+3=4 Q(3)=1+3+5=9 Q(4)=1+3+5+7=16 Q(n+1) = Q(n) +2n+1

Numeri triangolari e quadrati

I numeri tetraedrici (piramidali a base triangolare) 1 4 10 20 35 Ottenuti sommando i numeri triangolari 1 3 6 10 15 P(1)=1 P(2)=1+3=4 P(3)=1+3+6=10 P(4)=1+3+6+10=20 P(5)=1+3+6+10+15=35 P(n) = P(n-1) +T(n)

I numeri tetraedrici (piramidali a base triangolare) 1 4 10 20 35 Ma anche P(n) = n(n+1)(n+2)/6 P(n+1) = (n+1) ( n+1+1)(n+1+2)/6=(n+1)(n+2)(n+3)/6= = n(n+1)(n+2)(n+3)/n6= P(n)(n+3)/n P(n+1)=P(n)(n+3)/n Esempio 35= 20(4+3)4=20x7/4=35

I numeri piramidali a base quadrata 1 5 14 30 Si ottengono sommando i numeri quadrati 1 4 9 16 P(1)=1 P(2)=1+4=5 P(3)=1+4+9=14 P(4)=1+4+9+16=30 P(n)=P(n-1) + Q(n)

Numeri piramidali

I linguaggi formali  

Eliminando Ambiguità Ridondanza Autoreferenza proviamo a…..

costruire un linguaggio formale stabilendo l’alfabeto, la sintassi ossia le regole e la stringa iniziale ( l’assioma )

Alfabeto: A={ I , + , = } La stringa di partenza I + I = II (assioma) Le regole 1) da x + y = z posso dedurre xI + y = zI 2) da x + y = z posso dedurre y + x = z ( dove x e y sono stringhe di I)

Ogni stringa ottenuta dall’applicazione di una regola è una stringa ammessa (formula ben formata fbf) Ogni fbf dedotta mediante regole da altre fbf è un teorema L’insieme delle stringhe ammesse forma il linguaggio

Esercizio dimostrate passo passo che IIII + III = IIIIIII

1° regola Se x + y = z x I I +Y= Z

Soluzione I + I = II assioma II + I = III regola 1) III + I = IIII regola 1) IIII + I = IIIII regola 1) I + IIII = IIIII regola 2) II + IIII = IIIIII regola 1) III + IIII = IIIIIII regola 1) IIII + III = IIIIIII regola 2)

Come si può vedere questo linguaggio formale fa parte di un Sistema Formale

Sistemi formali

Un sistema formale è una quadrupla (A,L,S,P) dove : A alfabeto ( insieme numerabile di simboli) L linguaggio ( insieme di formule ben formate fbf) S insiemi di assiomi (sottoinsieme di L) P regole di produzione (regole di inferenza che permettono di dedurre formule ben formate da formule ben formate(teoremi))

L’esercizio precedente non è altro che l’insieme dei numeri naturali N con l’operazione interna +

Alfabeto: A= { I , + , = } La stringa di partenza I + I = II (assioma) Le regole 1) da x + y = z posso dedurre xI + y = zI 2) da x + y = z posso dedurre y + x = z ( dove x e y sono stringhe di I)

Interpretazione dei simboli II 2 III 3 IIII 4 IIIII 5 + è l’addizione = è l’uguaglianza

L’assioma è la somma di 1 + 1 =2 La regola 1) : se la somma di due numeri naturali x e y è un numero naturale ( l’addizione è l’operazione interna e N è chiuso per l’addizione + ) allora la somma del successivo di x e di y è il successivo di z La regola 2) è la proprietà commutativa

L’esercizio proposto IIII + III = IIIIIII era quindi dimostrare che 4 + 3 = 7

Il sistema pg A ={-,p,g} L : insieme dei teoremi e assiomi S :infiniti assiomi del tipo x p – g x - P : se è un teorema allora è un teorema x p y g z x p y – g z -

Regola Se x p y g z allora - - x p y g z

Esercizio Scrivere il primo assioma Scrivere i primi 5 assiomi Applicare la regola al 3° assioma ---p---g--- è o no un teorema ? ----p-----g--------- è o no un teorema ?

Esercizion n.1 Scrivere il primo assioma x p – g x - - p - g - -

Esercizio n. 2 Scrivere i primi 5 assiomi x p – g x -

Esercizio n.3 Applicare la regola xpygz xpy-gz- al 3° assioma ---p-g---- poichè x pyg z x py-g z- ---p-g---- allora ---p--g----- applicando la regola

Esercizio n.4 ---p---g--- è o no un teorema ? Da –p-g-- assioma --p-g--- assioma ---p-g---- assioma applicando la regola x p y g z x p y - g z - si ottiene --- p – g ---- --- p -- g----- Riapplicandola --- p-- g----- ---p --- g------ quindi ---p --- g------ per cui ---p --- g--- non è un teorema La risposta è no

Esercizio n.5 ----p-----g--------- è o no un teorema ? ----p-- g------ applicando la regola x p y g z x p y- g z- ----p--- g------- applicando la regola ----p---- g-------- applicando la regola ----p----- g--------- applicando la regola Quindi ----p-----g--------- è un teorema

Avete decodificato il sistema pg? --- 3 quindi il sistema è (N+) ---- 4 ----- 5 ma è l’unica interpretazione?

2° interpretazione 1 = 1 sottratto da 2 --p - g --- 2° assioma mentre la regola si tradurrà come: --p-- g ---- allora –-p--- g ----- Se 2=2 sottratto da 4 allora 2 = 3 sottratto da 5

quindi 1 P = -- 2 g sottratto da --- 3 ---- 4 ----- 5 anche questa interpretazione è corretta

Un sistema formale può avere più interpretazioni

Ancora un esempio Alfabeto A { I , ∙ , = } L’assioma I ∙ I = I Le regole 1) da x ∙ y =z posso dedurre ???????????????? 2) da x ∙ y =z posso dedurre (x,y,z stringhe di I)

Completare le regole in modo che III ∙ II = IIIIII

Soluzione Regola 1) da x∙y=z posso dedurre xI ∙y = zy y∙x=z

Costruiamo le stringhe I∙I = I assioma II∙I =II regola 1) da x∙y=z si deduce xI ∙y = zy III∙I = III regola 1) I∙III =III regola 2) II∙III = IIIIII regola 1) III∙II = IIIIII regola 2) ecco quindi III∙II = IIIIII

Interpretazione I 1 ∙ moltiplicazione II 2 = uguaglianza III 3 IIII 4

quindi 1x1 = 1 2x1 = 2 3x1=3 Se axb=c (a+1)xb = axb + b = c + b Se axb=c bxa=c

Alcuni alfabeti Calcolo algebrico {a,b,c,..,+,-,x,/..} Numerazione romana {I,II,III,V,X,L,C,D,M} Calcolo degli enunciati {p,q,..,v, , …}

Il gioco del MU Alfabeto A={M,I,U} Assioma MI 1° regola se una stringa finisce per I a essa si può aggiungere U …..I …..IU 2° regola se Mx allora Mxx 3° regola ….III…. …U… 4° regola ….UU… ….. x è una stringa di I e U

Domanda Si può costruire la stringa MU ? Proviamo a giocare

2 1 2 2 1 2 2 3 2 3 Anche qui dopo M si ripete la successione di IIU 2 La successione di IU dopo M si ripete all’infinito 1 In ogni caso il numero di I non è mai 3 o multiplo di 3 e quindi non può essere eliminato per diventare MU

Analizzando il ramo MUI Si ritorna a MIU

Analizzando il ramo MUIUI In ogni caso il numero di I non è mai 3 o multiplo di 3 e quindi non può essere eliminato per diventare MU

concludendo Con un ragionamento al di fuori delle regole del gioco siamo in grado di dire che non si può costruire MU

Quello che abbiamo utilizzato è un modo intelligente di ragionare

Una macchina che volesse risolvere il problema potrebbe fare solo, mediante un opportuno programma : Acquisire una stringa Verificare che sia fbf (ossia formata da Mx con x stringa di I e U) Applicare le 4 regole per arrivare a ottenere MU In realtà la macchina entrerebbe in un loop infinito non riuscendo a costruire MU oppure

Potrebbe produrre tutte le stringhe che si ottengono applicando le 4 regole. Sarebbe quindi un costruttore di stringhe Comunque una macchina può solo applicare le regole e non ragionare per dedurre se il ragionamento porterà alla conclusione desiderata.

Questo è un ragionamento meccanico Un teorema è deducibile se esiste una dimostrazione basata sull’applicazione delle regole Un teorema è decidibile se esiste una procedura che consente di decidere se esso è deducibile

Il primo è un processo meccanico all’interno del sistema Il secondo è un processo intelligente all’esterno del sistema e questo è lasciato agli studiosi!