Università di Roma Tor Vergata Dipartimento di Ingegneria Elettronica Benvenuti al modulo di: Elaborazione dei Segnali Proff. Marina Ruggieri, Ernestina Cianca ruggieri@uniroma2.it, cianca@david.eln.uniroma2.it a.a. 2005/2006

Informazioni generali (1/3) Ricevimento: Ruggieri: Giovedi’ ore 10.00 – 14.00 Cianca: Martedi, 16.00-18.00 1a prova in itinere: 20 Aprile 2006 Recupero prova in itinere: 27 Aprile 2006 Appello scritto + colloqui orali: 9 Maggio 2005 Colloqui orali bis: 12 Maggio 2005 Marina Ruggieri, Ernestina Cianca, Modulo di Elaborazione dei Segnali, Nuovo Ordinamento, aa 2005-06

Informazioni generali (2/3) Testo di Teoria: A. V. Oppenheim – R. W. Schafer Benedetto, E. Biglieri: “Discrete-Time Signal Processing” Prentice Hall, 1989 Testo di Esercizi M. Ruggieri-M. Luglio – M. Pratesi “Digital Signal Processing: Exercices and Applications” Aracne, 2004 Altro materiale didattico: Dispense ed esercizi a cura dei docenti http://www.uniroma2.it/didattica/ES_COLL Marina Ruggieri, Ernestina Cianca, Modulo di Elaborazione dei Segnali, Nuovo Ordinamento, aa 2005-06

Concetti base: segnali digitali I dati sperimentali che rappresentano un fenomeno fisico sono chiamati segnali. Es.: fluttuazioni della temperatura in una stanza in funzione del tempo, variazioni di pressione in un punto di un campo acustico. Il fenomeno fisico rilevato da un trasduttore e trasformato in una grandezza elettrica opportuna si presenta di solito come segnale continuo (o analogico) in funzione del tempo. Marina Ruggieri, Ernestina Cianca, Modulo di Elaborazione dei Segnali, Nuovo Ordinamento, aa 2005-06

Concetti base: segnali digitali In molti casi i segnali possono assumere una rappresentazione discreta, o per motivi inerenti al fenomeno stesso o per qualche procedimento di campionamento. In questo caso i segnali sono caratterizzati da una sequenza di punti (numeri). Attenzione: non e’ detto che la variabile indipendente sia il tempo, potrebbe essere il profilo di una strada e quindi la variabile e’ la distanza. Marina Ruggieri, Ernestina Cianca, Modulo di Elaborazione dei Segnali, Nuovo Ordinamento, aa 2005-06

Sistemi Un sistema e’ un’ entità che manipola uno o più segnali per svolgere una funzione e quindi tirare fuori altri segnali ingresso sistema uscita Es.: sistema di controllo dell’atterraggio di un aereo Ingresso: posizione dell’aereo relativamente alla pista Sistema: aereo Uscita: correzione laterale alla posizione dell’aereo Obiettivo: tenere l’aereo parallelo alla pista d’atterraggio Marina Ruggieri, Ernestina Cianca, Modulo di Elaborazione dei Segnali, Nuovo Ordinamento, aa 2005-06

Operazioni base sui segnali Operazioni sulla variabile dipendente Amplificazione/attenuazione dell’ampiezza y(t)=cx(t) Esempi fisici di dispositivi che realizzano questa operazione: amplificatore elettronico, un resistore Addizione y(t)=x1(t)+ x2(t) Esempi fisici di dispositivi che realizzano questa operazione: operazionale Moltiplicazione y(t)=x1(t)x2(t) Esempi fisici di dispositivi che realizzano questa operazione: modulatore d’ampiezza Marina Ruggieri, Ernestina Cianca, Modulo di Elaborazione dei Segnali, Nuovo Ordinamento, aa 2005-06

Operazioni base sui segnali Operazioni sulla variabile dipendente Derivazione: Esempi fisici di dispositivi che realizzano questa operazione: induttore Integrazione: Esempi fisici di dispositivi che realizzano questa operazione: seguente circuito con condensatore. Marina Ruggieri, Ernestina Cianca, Modulo di Elaborazione dei Segnali, Nuovo Ordinamento, aa 2005-06

Operazioni base sui segnali Operazioni sulla variabile indipendente Espansione/compressione temporale: y(t)=x(at) Riflessione: y(t)=x(-t) Traslazione temporale: y(t)=x(t-t0) x(t/2) x(t) x(2t) -2 2 -1 1 -1/2 1/2 x(t) x(-t) -b -a b a Marina Ruggieri, Ernestina Cianca, Modulo di Elaborazione dei Segnali, Nuovo Ordinamento, aa 2005-06

Elaborazione del segnale digitale o analogica? L’elaborazione del segnale può essere implementata in due modi: Analogica o tempo continua: uso di elementi circuitali analogici come resistenze, capacità, induttori, transistor, amplificatori, diodi Digitale o tempo discreta: uso di sommatori e moltiplicatori (per operazioni artimetiche) e di elementi di memoria per immagazzinare i dati (questi tre sono gli elementi base degli elaboratori digitali) Marina Ruggieri, Ernestina Cianca, Modulo di Elaborazione dei Segnali, Nuovo Ordinamento, aa 2005-06

Elaborazione del segnale digitale o analogica? Tempo reale Dipendente dal tempo necessario per svolgere le operazioni richieste garantito Flessibilità Lo stesso dispositivo digitale (HW) può essere usato per realizzare diverse operazioni di elaborazione del segnale, semplicemente cambiando il programma SW Il sistema deve essere ri-progettato ogni volta che le specifiche per l’elaborazione cambiano Ripetibilità Una prescritta elaborazione del segnale può essere realizzata più volte uguale a se stessa (es. controllo di un robot). I sistemi analogici sono sensibili alle variazioni di parametri come la tensione di alimentazione o la temperatura della stanza, rendendo impossibile la ripetibilità di una prescritta elaborazione Marina Ruggieri, Ernestina Cianca, Modulo di Elaborazione dei Segnali, Nuovo Ordinamento, aa 2005-06

Elaborazione del segnale digitale o analogica? L’elaborazione digitale ieri: Il principale svantaggio dell’elaborazione digitale era il fatto che comporta una complessità circuitale maggiore e quindi, in passato, un costo maggiore. L’elaborazione digitale oggi: La crescente disponibilità di circuiti VLSI, nella forma di chip di silicio, ha reso l’elaborazione digitale relativamente economica e quindi i risultati elaboratori digitale hanno prezzi competitivi con la controparte analogica. La scelta tra analogico e digitale può essere determinata solo dall’applicazione specifica, le risorse disponibili, il costo complessivo. Gran parte dei sistemi oggi hanno una parte digitale ed una parte analogica. Marina Ruggieri, Ernestina Cianca, Modulo di Elaborazione dei Segnali, Nuovo Ordinamento, aa 2005-06

SEQUENZE E SISTEMI DISCRETI Marina Ruggieri, Modulo di Elaborazione Numerica dei Segnali 1, a.a. 2004/2005

Sequenze • x(n): indica la sequenza oppure il valore n-simo di essa esempio • x(n): indica la sequenza oppure il valore n-simo di essa • x(n) non e’ definita per valori di n non interi • interpretazione temporale di x(n): x(t)|t=nT con T=quanto temporale Marina Ruggieri, Ernestina Cianca, Modulo di Elaborazione dei Segnali, Nuovo Ordinamento, aa 2005-06

Energia e Potenza di una sequenza Sequenza e’ di energia se es non e’ infinita POTENZA attenzione all’origine! Sequenza e’ di potenza se e solo se 0 < Ps < Sequenza e’ di potenza e periodica attenzione al numero di punti! Marina Ruggieri, Ernestina Cianca, Modulo di Elaborazione dei Segnali, Nuovo Ordinamento, aa 2005-06

Esempi Impulso discreto (unitario) e’ una sequenza di energia Gradino discreto (unitario) e’ una sequenza di potenza Esponenziale discreto Marina Ruggieri, Ernestina Cianca, Modulo di Elaborazione dei Segnali, Nuovo Ordinamento, aa 2005-06

Traslazione di una sequenza Marina Ruggieri, Ernestina Cianca, Modulo di Elaborazione dei Segnali, Nuovo Ordinamento, aa 2005-06

Proprietà dei sistemi discreti LINEARITA’ ENERGIA x1(n) a1 x1(n) T a1 y2(n) y1(n) x2(n) a2 T x2(n) T a2 x3(n) x3(n) a3 T a3 Se y1(n)= y2(n),T descrive un sistema lineare Marina Ruggieri, Ernestina Cianca, Modulo di Elaborazione dei Segnali, Nuovo Ordinamento, aa 2005-06

Proprietà dei sistemi discreti Invarianza alla traslazione Fisicamente: le caratteristiche del sistema non cambiano nel tempo Marina Ruggieri, Ernestina Cianca, Modulo di Elaborazione dei Segnali, Nuovo Ordinamento, aa 2005-06

Esempio: meccanica delle vibrazioni Studio delle vibrazioni tratta ogni oscillazione di una grandezza intorno ad una posizione di equilibrio. La forma piu’ semplice di oscillazione e’ il moto armonico che puo’ essere descritto da un vettore rotante che si ripete ad uguali intervalli di tempo. Esempio di sistema oscillante: Fig. 1 Massa m che può traslare in una sola direzione x, legata ad una molla di rigidezza k. x m Marina Ruggieri, Ernestina Cianca, Modulo di Elaborazione dei Segnali, Nuovo Ordinamento, aa 2005-06

Esempio: meccanica delle vibrazioni La molla applica alla massa una forza di richiamo proporzionale allo spostamento e l’equazione fondamentale della dinamica si scrive: (*) Questa equazione differenziale del secondo ordine, risolta, definisce il moto di x. Moto di x = uscita del sistema oscillante Ingresso del sistema = eventuale forza esterna applicata L’equazione differenziale (*) suppone che non ci sia una forza esterna eccitante salvo all’inizio del fenomeno (perturbazione iniziale). La soluzione rappresenta le cosiddette oscillazioni libere del sistema, dovute solo all’azione di forze inerenti il sistema e non esterne ad esso Marina Ruggieri, Ernestina Cianca, Modulo di Elaborazione dei Segnali, Nuovo Ordinamento, aa 2005-06

Esempio: meccanica delle vibrazioni Definendo wn= k/m, l’equazione precedente ha la seguente soluzione: con A e B determinate dalle condiziono iniziali (t=0). Le oscillazioni del sistema sono oscillazioni armoniche con frequenza wn che prende il nome di pulsazione propria o naturale del sistema. Marina Ruggieri, Ernestina Cianca, Modulo di Elaborazione dei Segnali, Nuovo Ordinamento, aa 2005-06

Esempio: meccanica delle vibrazioni Oscillazioni smorzate Fig. 2 x m Elemento smorzante smorzamento viscoso Marina Ruggieri, Ernestina Cianca, Modulo di Elaborazione dei Segnali, Nuovo Ordinamento, aa 2005-06

Esempio: meccanica delle vibrazioni In molti casi pratici le azioni eccitanti sono invece continuamente applicate ed interessa allora conoscere la legge del moto queste condizioni di oscillazioni forzate. Si consideri il sistema di Fig.2, a cui venga applicata alla massa m una forza variabile con il tempo F(t). L’equazione differenziale del moto diventa: Lo studio della risposta ad una eccitazione arbitraria può essere ottenuto considerando la forza eccitante costituita da un’insieme di impulsi elementari. Forza impulsiva che agisce nell’istante t=a e’ cosi definita: Marina Ruggieri, Ernestina Cianca, Modulo di Elaborazione dei Segnali, Nuovo Ordinamento, aa 2005-06

Esempio: meccanica delle vibrazioni L’impulso di Dirac puo’ essere considerato come il caso limite di un ingresso ad ampiezza finita, applicato per Dt finito, tale che F0 Dt=1. Diminuendo Dt tale che rimanga F0 Dt=1, l’impulso termina prima che il sistema si sia mosso sensibilmente, ma si raggiunge una notevole velocita’! Per Dt 0 il sistema non ha tempo di spostarsi quindi x 0 e l’equazione diventa: risolvendo si ottiene: e quindi, il sistema risponde all’impulso con condizioni iniziali: Marina Ruggieri, Ernestina Cianca, Modulo di Elaborazione dei Segnali, Nuovo Ordinamento, aa 2005-06

Esempio: meccanica delle vibrazioni Risposta impulsiva del sistema Con queste condizioni iniziali e definendo il fattore di smorzamento: la soluzione diventa: Risposta impulsiva del sistema Marina Ruggieri, Ernestina Cianca, Modulo di Elaborazione dei Segnali, Nuovo Ordinamento, aa 2005-06

Esempio: meccanica delle vibrazioni Per un sistema lineare a parametri costanti nel tempo (come quello dell’esempio), la risposta stazionaria a una forza qualsiasi F(t) e’ ottenibile come prodotto di convoluzione o prodotto convolutorio della forza F(t) e la risposta impulsiva del sistema: Marina Ruggieri, Ernestina Cianca, Modulo di Elaborazione dei Segnali, Nuovo Ordinamento, aa 2005-06

Proprietà dei sistemi discreti Sistema Lineare E Invariante alla Traslazione (LTI = Linear and Time Invariant) La risposta del sistema è additiva e omogenea: vale cioe’ il principio di sovrapposizione e inoltre la risposta ad una eccitazione per una costante è pari alla costante per la risposta alla sola sollecitazione Proprietà base dei sistemi LTI: le caratteristiche dinamiche del sistema possono essere descritte dalla risposta impulsiva h(t) Marina Ruggieri, Ernestina Cianca, Modulo di Elaborazione dei Segnali, Nuovo Ordinamento, aa 2005-06

Proprietà dei sistemi discreti STABILITA’ CAUSALITA' MEMORIA Marina Ruggieri, Ernestina Cianca, Modulo di Elaborazione dei Segnali, Nuovo Ordinamento, aa 2005-06

Sistema LIT con x(n) rettangolare Esempio di convoluzione discreta (1/3) Sistema LIT con x(n) rettangolare di durata N e : Sequenze di partenza: x(n) e ribaltamento di h(n) Traslazioni di h(-n)=h(0-n) Marina Ruggieri, Ernestina Cianca, Modulo di Elaborazione dei Segnali, Nuovo Ordinamento, aa 2005-06

Esempio di convoluzione discreta (2/3) 1. per n < 0 : h(n - k) e x(k) non hanno campioni non nulli che si sovrappongono y(n) = 0 2. per 0 ≤ n < N : h(n - k) e x(k) hanno valori non nulli che si sovrappongono da k=0 a k=n 3. per n > N - 1 : i valori non nulli di h(n - k) e x(k) che si sovrappongono si estendono da k= 0 a k = N - 1 Marina Ruggieri, Ernestina Cianca, Modulo di Elaborazione dei Segnali, Nuovo Ordinamento, aa 2005-06

Esempio di convoluzione discreta (3/3) IL RISULTATO FINALE DELL’ESEMPIO DI CONVOLUZIONE E’, DUNQUE: Zona 1 Zona 2 Zona 3 Marina Ruggieri, Ernestina Cianca, Modulo di Elaborazione dei Segnali, Nuovo Ordinamento, aa 2005-06

Esempi sulle proprieta’ dei sistemi ESEMPIO SU CAUSALITA’ E STABILITA’ Marina Ruggieri, Ernestina Cianca, Modulo di Elaborazione dei Segnali, Nuovo Ordinamento, aa 2005-06

Esempi sulle proprieta’ dei sistemi ESEMPI SULLA MEMORIA Marina Ruggieri, Ernestina Cianca, Modulo di Elaborazione dei Segnali, Nuovo Ordinamento, aa 2005-06

UN MODELLO PER SISTEMI DISCRETI Il modello (equazione alle differenze a coefficienti costanti di ordine N) si applica a sistemi LIT che supporremo anche causali e, dunque, in forma esplicita diventa: L’ n.mo valore di uscita e’ calcolabile da: 1) n.mo valore ingresso; 2) M valori precedenti d’ingresso; 3) N valori precedenti d’uscita. Marina Ruggieri, Ernestina Cianca, Modulo di Elaborazione dei Segnali, Nuovo Ordinamento, aa 2005-06

UN MODELLO PER SISTEMI DISCRETI Se nel modello si pone N=0: cioe’ y(n) e’ dato dalla convoluzione discreta tra x(n) e: di durata finita pari a M+1. Marina Ruggieri, Ernestina Cianca, Modulo di Elaborazione dei Segnali, Nuovo Ordinamento, aa 2005-06

CLASSIFICAZIONE DEI SISTEMI DISCRETI LIT I sistemi LIT possono essere: 1. FIR (Finite Impulse Response), con risposta all’impulso (di durata) finita. N.B. se N=0 nel modello, il sistema e’ FIR 2. IIR (Infinite Impulse Response), con risposta all’impulso (di durata) infinita. N.B. se N≠0 nel modello, il sistema e’ IIR Questa e’ una classificazione molto importante ai fini progettuali . Marina Ruggieri, Ernestina Cianca, Modulo di Elaborazione dei Segnali, Nuovo Ordinamento, aa 2005-06