PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE Liceo “Norberto Rosa” - Indirizzo Scientifico e Scientifico Tecnologico Anno Scolastico 2006-07 PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE Polinomi e Equazioni Simonetta Guglielmetto

Risposte diverse a seconda dei periodi storici CHE COS’E’ L’ALGEBRA ? Risposte diverse a seconda dei periodi storici L'algebra si caratterizza prima di tutto per il suo metodo, che comporta l'uso di lettere e di espressioni letterali sulle quali si eseguono delle trasformazioni secondo regole ben definite. Il metodo algebrico, cioè il metodo del calcolo letterale, permea tutta la matematica.

Il valore del metodo algebrico Una parte essenziale della soluzione di un qualsiasi problema matematico spesso non è altro che un calcolo algebrico più o meno complesso Il valore del metodo algebrico è cresciuto enormemente negli ultimi decenni: alcune questioni di analisi sono state risolte con metodi algebrici avanzati. alcune questioni di analisi sono state risolte con metodi algebrici avanzati. alcune questioni di analisi sono state risolte con metodi algebrici avanzati. alcune questioni di analisi sono state risolte con metodi algebrici avanzati. i rami superiori dell'algebra hanno trovato applicazioni nella fisica moderna …….

2) ALLA FINE DEL XVIII SECOLO PER EULERO . l'algebra è la teoria del calcolo con quantità diverse 2) ALLA FINE DEL XVIII SECOLO il problema centrale è trovare la soluzione delle equazioni algebriche e in particolare la soluzione della equazione algebrica di grado n in 1 incognita: l'algebra era definita come la teoria delle equazioni algebriche.

L'algebra come studio di diversi sistemi algebrici 3) NEL XX SECOLO . L'algebra come studio di diversi sistemi algebrici Molti problemi pratici si trasformano nella risoluzione di un’equazione polinomiale

PROBLEMA DI PRIMO GRADO Pierino ha 8 anni e suo padre 37; tra quanti anni l’età del padre sarà doppia di quella di Pierino? (37+x)=2(8+x) x= 21

FORMULA RISOLUTIVA EQ. PRIMO GRADO

PROBLEMA DI SECONDO GRADO Calcolare il perimetro di un campo rettangolare, sapendo che un lato è il doppio dell’altro e che la superficie misura 7200 m2 (x2x)=7200 x= 60

FORMULA RISOLUTIVA EQ. SECONDO GRADO Si divide per a e si aggiunge ad ambo i membri

NB sempre due soluzioni che però possono essere non reali

PROBLEMA DI TERZO GRADO Una pianta ha prodotto nel 1° anno di vita un certo numero di rami; nel 2° anno, da ogni ramo del 1° anno uno in meno rispetto a quelli del 1°; nel 3° anno, da ogni ramo del 2° anno due in meno rispetto a quelli del primo. Se nel 3° anno i rami prodotti risultano 210, quanti rami sono stati prodotti nel 1° anno?

SO USARE IL TEOREMA DI RUFFINI? COME LA RISOLVO? SVOLGO I CALCOLI? SO USARE IL TEOREMA DI RUFFINI?

Data l’equazione Soluzione con stratagemmi: Metodo di Ruffini binomie, trinomie,… Metodo di Ruffini per trovare un divisore del polinomio Metodi di scomposizione

RISOLUTIVA PER RADICALI ESISTE UNA FORMULA RISOLUTIVA PER RADICALI PER EQUAZIONI DI TERZO E QUARTO GRADO Spesso è più conveniente utilizzare il teorema di Ruffini ovvero fattorizzare il polinomio determinare innanzitutto le soluzioni razionali

TEOREMA DI RUFFINI F(x) = (x- c) G(x) + r Siano F(x) un polinomio di grado n e c un numero reale. Allora c è una radice di F(x) = 0 se e soltanto se F(x) si può fattorizzare nel prodotto di x - c per un polinomio di grado n - 1. Dim: Per sapere se un numero c è radice del polinomio F(x) possiamo eseguire la divisione con resto di F(x) per il polinomio di primo grado x - c ottenendo: F(x) = (x- c) G(x) + r dove r è un polinomio di grado inferiore al grado di x - c, ossia r è un numero reale

F(c) = r Calcolando F(c) si ottiene c è radice di F(x) se e soltanto se r = 0 ossia se e soltanto se F(x) = (x - c) G(x). c.v.d. una equazione polinomiale di grado n ha al massimo n radici, anche contando la molteplicità di ciascuna.

Come applico Ruffini ? Si applica la regola del resto ai divisori del termine noto se il coefficiente del termine di grado massimo è 1 Esempio : x³-2x²+3x-6=0 Divisori di 6 : 1,  2,  3,  6 Calcolo F(divisori) ; se uno annulla fattorizzo

REGOLA DEL RESTO GENERALIZZATA Come si opera se il coefficiente a 0 ≠1 ? REGOLA DEL RESTO GENERALIZZATA Data l’equazione dove i coefficienti sono numeri interi e (in caso contrario 0 è una soluzione e possiamo dividere il polinomio per x).

Ogni sua soluzione razionale b/c , dove b, c sono numeri interi senza fattori comuni, avrà la proprietà che il suo numeratore b è un divisore del termine noto e il suo denominatore c è un divisore del coefficiente direttivo a0. Dimostrazione: Sostituiamo b/c nell'equazione e poi facciamo il m.c.m. Possiamo raccogliere b dai primi n addendi e portare l'ultimo a secondo membro: Poichè b non ha fattori in comune con c, allora deve dividere an; allo stesso modo si prova che c deve dividere a 0.

IN PRATICA scrivere l'elenco di tutte le frazioni che si ottengono mettendo un divisore di an al numeratore e un divisore di a0 al denominatore sostituirle una ad una nell'equazione verificando se annullano procedere alla fattorizzazione Esempio

Formula di Cardano-Tartaglia a x3 + b x2 + c x +  d = 0

Formula risolutiva equazioni di quarto grado a x4 + b x3 + c x2 + d x + e = 0 http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_di_quarto_grado http://planetmath.org/encyclopedia/QuarticFormula.html

TEOREMA DI ABEL-RUFFINI NON ESISTONO FORMULE RISOLUTIVE PER RADICALI DELLE EQUAZIONI DI GRADO >=5

Formula di Cardano-Tartaglia Vogliamo trovare una formula risolutiva per le equazioni di terzo grado, ossia per equazioni del tipo: Per prima cosa osserviamo che è sempre possibile ricondurre questa equazione ad una del tipo: (1) Mediante una trasformazione

Introduco quindi u e v tali che u+v=x e uv=-p/3. Svolgendo i calcoli dalla 1 si ottiene Quindi se trovo due numeri u e v che soddisfano questo sistema allora x=u+v soddisfa l’equazione [1]. Sostituendo v e moltiplicando per u3 la prima equazione si ottiene un’equazione trinomia in z=u3 che si può risolvere come un’eq. di secondo grado…

E si ottiene la formula di Cardano-Tartaglia ESEMPI x³-2x+3=0 x³-15x-4=0