LE FUNZIONI ECONOMICHE Slide rielaborate dagli allievi con esercizi ed esempi tratti dal testo: M. Venè, F. Betti Matematica per istituti ad indirizzo economico commerciale, Classe quarta Milano Sansoni 2002 Prof. Palmira Ronchi ( palmira.ronchi@ssis.uniba.it)

Che cos’è l’Economia? L’economia è una scienza che studia in modo con cui i soggetti economici prendono le decisioni per utilizzare al meglio le loro risorse. Le decisioni dei soggetti economici devono essere razionali, quindi si affidano ai modelli e alle regole della matematica al fine di: • minimizzare i costi; • massimizzare i ricavi.

Cos’è una funzione economica? Le funzioni economiche sono delle funzioni che rappresentano l’andamento economico di un bene sul mercato, esse sono le funzioni di domanda, offerta, costo totale, costo marginale, costo unitario, ricavo e utile.

Il modello matematico Il modello matematico è un modello che rappresenta la realtà attraverso una funzione matematica che dovrà essere massimizzata o minimizzata e che dovrà rispettare dei vincoli di segno, tutte le funzioni sono studiate nell’intervallo x>=0, e dei vincoli tecnici, come ad esempio la massima capacità produttiva o le ore massime di lavoro ecc..

Il problema del fruttivendolo. Al giorno d’oggi il nostro mercato è caratterizzato da una competitività sempre più accesa, ciò significa che l’imprenditore deve essere capace di misurarsi con la concorrenza ottenendo le maggiore preferenze dei consumatori sui propri prodotti. Per raggiungere questo obiettivo è importante analizzare le funzioni economiche, cioè le funzioni di domanda e offerta, per determinare il prezzo di vendita. Tutti coloro che svolgono un’attività commerciale devono essere capaci di effettuare calcoli di questo genere. Facciamo un semplice esempio. Il fruttivendolo ha acquistato al mercato 30 Kg di pomodori, pagandoli € 1,03 al chilo. Il suo problema consiste nel prezzo di vendita, cioè “A quanto deve rivenderli?”. In un primo momento, il fruttivendolo decide di venderli a € 1,14 al chilo. Per essere sicuro della sua scelta deve calcolare il costo unitario dei pomodori. Il costo medio o unitario è dato dal rapporto tra costi totali e la quantità prodotta. Supponiamo che da questo calcolo egli ottenga un costo unitario pari a € 1,16. In questo caso, il fruttivendolo subirebbe una perdita perché il prezzo di vendita è minore del costo unitario. Ma se li vende a € 1,55, è sicuro che i clienti sia disposti a pagare tale cifra? Volendo sintetizzare il tutto, il fruttivendolo deve prevedere il comportamento della domanda e determinare se, a quel prezzo, esiste una domanda sufficiente a coprire i suoi costi.

La funzione di domanda La domanda di una merce è la quantità che viene richiesta ad un dato prezzo dagli acquirenti. La funzione di domanda è decrescente rispetto al prezzo, ciò significa che all’aumento del prezzo corrisponde una diminuzione della domanda. La domanda può essere: INDIVIDUALE: indica la quantità di merce che il singolo è disposto a chiedere ad un determinato prezzo, in un dato momento, in un dato mercato; GLOBALE: indica la quantità di merce che il complesso degli acquirenti in un mercato è disposto a chiedere ad un determinato prezzo, in un dato momento. In matematica la domanda è rappresentata dalla seguente funzione: x = f(p) x = quantità di merce richiesta p = prezzo Tale funzione è definita anche funzione di vendita perché mette in evidenza il prezzo al quale il produttore può vendere la quantità q della propria merce a seconda della domanda presente sul mercato.

Le più comuni funzioni di domanda sono rappresentate da: a) un segmento di retta: b) un arco di iperbole equilatera: c) un arco di curva esponenziale: d) una curva decrescente di asintoti x=0 e p=0: e) una curva decrescente di asintoti x=0 e p=0: c) a) b) d) e)

La funzione d’offerta Si definisce offerta di una merce la quantità totale immessa sul mercato dalla totalità dei produttori. L’offerta può essere: INDIVIDUALE: indica la quantità di merce che un individuo è disposto a vendere ad un determinato prezzo, in un dato momento, in un dato mercato. COLLETTIVA: indica la somma di tutte le offerte individuali. In matematica la funzione offerta è una funzione crescente rispetto al prezzo sempre nei limiti della capacità produttiva: x=g(p) Le curve dell’offerta più utilizzate dagli economisti sono: a) con a>=0, b>0; b) con a>0, b>=0 (irrazionale); c) con, b>0 ;

Il punto di equilibrio tra domanda e offerta Il mercato è in equilibrio quando la quantità domandata e quella offerta si equivalgono. Il prezzo che si viene a determinare tra l’incontro tra domanda e offerta e perciò chiamato prezzo di equilibrio. Il PUNTO DI EQUILIBRIO tra domanda e offerta si ottiene graficamente nel momento in cui il grafico della domanda e quello dell’offerta si intersecano e analiticamente nel momento in cui le due funzioni si equivalgono. Ciò avviene in un mercato di concorrenza perfetta nel quale i prodotti sono omogenei, gli operatori conoscono le informazioni di domanda e offerta , i produttori e i consumatori sono molto numerosi.

Punto di equilibrio domanda offerta Per poter capire meglio quanto detto prendiamo in considerazione un semplice esempio: xd= (36000-p2)/4 e xs= -265+12p date queste funzioni determiniamo il punto di equilibrio. Ricordiamo che affinché esista il punto d’equilibrio è necessario che xd = xs Mettendo quindi le funzioni a sistema e rispettando questa uguaglianza avremo che P= 170, e quindi a tale prezzo la quantità domandata sarà: xd= (36000-1702)/4 = 1775 che sarà uguale a quella offerta: xs = -265+(12*170) = 1775 Punto di Equilibrio(170; 1775) 320.51 480.77 641.03 801.28 961.54 1121.8

L’elasticità In generale definiamo elasticità di una funzione in un suo punto (elasticità puntuale) la quantità: l’elasticità di una funzione può essere intesa come il limite (se esiste) del rapporto tra la variazione relativa di f(x)e la variazione relativa della x variabile indipendente.

Coefficiente di elasticità Per osservare come la domanda (o l’offerta) varia al variare del prezzo si calcola il COEFFICIENTE DI ELASTICITA’. Se indichiamo con P1 , P2 due prezzi di uno stesso bene e con x1, x2 le corrispondenti quantità domandate, la variazione relativa della domanda e la variazione relativa del prezzo sono, rispettivamente: x2 -x1                    p2-p1 x1                              p1 Il coefficiente di elasticità risulta: x2 -x1 x1         p 1 x2 ~ x1 sd =-----------=---------------- p2~p 1 x 1 p 2~p 1 in generale in un punto è:                 *d= p'^

_ 2 À* _Pi + p2 Ax %i +x2 A/? Xj + x2 Ap Questa elasticità è l'elasticità d'arco. Se la variazione fra i prezzi p-t e P'j è notevole o non si conosce la legge della domanda, considerato l'arco di estremi I Py Xy I e I p2 X2 ) = s^ assume come valore del rapporto        il X valore assunto nel punto medio della corda, che ha coordinate                         ,                      ; V 2            2 ) perciò Yelasticità dell'arco è espressa dalla relazione: Pl+P2 _ 2 À* _Pi + p2 Ax %i +x2 A/? Xj + x2 Ap 2 Se la funzione della domanda è continua e derivabile, con un passaggio al limite del rapporto incrementale per r             , si definisce elasticità puntuale della domanda: _ p dx x cip x = f(p) Essendo           ^ *^ ^ funzione decrescente, sia l'elasticità dell'arco sia l'elasticità puntuale sono negative. Nelle applicazioni economiche si suole prendere£^ in valore assoluto. Distinguiamo i seguenti tre casi possibili. Se ~'d ■^ A , la domanda si dice rigida,o non elastica; si presenta questo caso quando la variazione relativa della domanda è minore della variazione relativa del prezzo (si tratta di beni di prima necessità come pane, medicinali ecc., oppure di beni di lusso). Se A, la domanda si dice anelastica, o a spesa costante; questo avviene quando la variazione relativa della domanda è eguale alla variazione relativa del prezzo. Se Sd ■^ A, la domanda si dice elastica; questo caso si verifica quando la variazione relativa della domanda è superiore alla variazione relativa del prezzo (ad esempio, spese voluttuarie). Il coefficiente di elasticità varia da punto a punto della curva della domanda.

Elasticità puntuale e d’arco: esempi Esempio: data la seguente funzione di domanda, xs=1000-100p-10p2 calcolare la sua elasticità nel punto p=5: l’elasticità della domanda rispetto al prezzo in un suo punto sarà: Ed=(dq/dp)*(p/q) Quindi: Ed=(-100-20p)*(p/1000-100p-10p2) Infine sostituendo p=5 e considerando il valore assoluto avremo che l’elasticità della funzione sarà uguale a 4. Questo rapporto esprime la variazione infinitesimale della quantità domandata rispetto a una variazione infinitesima del prezzo, cosa al quanto difficile poiché le variazioni nono sono mai di questo genere. Appunto per questo si utilizza il concetto di elasticità d’arco, che esprime il rapporto tra le variazioni relative del prezzo e della quantità e le loro medie aritmetiche.

Costi di produzione Il costo totale è uguale alla somma dei vari costi , ed è funzione della quantità x di merce prodotta. Il costo totale è espresso dalla funzione y=C(x) con x > = 0 Per l’analisi dei costi di produzione si definiscono altre due funzioni: il costo medio e il costo marginale. Il costo medio è dato dal rapporto tra il costo totale per produrre la quantità x e la quantità x prodotta. Il costo marginale può essere definito nel campo discreto e nel campo continuo. Si definisce costo marginale nel campo discreto il costo sostenuto per ottenere un’unità addizionale di prodotto, calcolandola sul rapporto incrementale tra l’incremento del costo e l’incremento della quantità prodotta. Si definisce costo marginale nel campo continuo la derivata della funzione del costo totale rispetto alla quantità prodotta.

Rappresentazione grafica della funzione del costo marginale y=200+0.50*x Antonia Amoruso V BM Anno scolastico 2003/2004 dx=h=2,34 cm Py=f(x)= 200,20 cm Qx=x+h= 2,74 cm Qy=f(x+h)= 201,37 cm Qy(0,00; 201,37) Py(0,00; 200,20) 50 2 1-----------------------------------1-----------------------------------1-----------------------------------1-----------------------------------1-----------------------------------1-----------------------------------1-----------------------------------I |---------------------1- i----------> Px(0,39;0,00) Qx(4,35; 0,00)

Rappresentazione grafica della funzione del costo unitario y=(10000+200*x+0.25*x^2)/x Antonia Amoruso V BM Anno scolastico 2003/2004 °dx=h=0,66 cm Py=f(x)= 14644,62 Qy=f(x+h)= 7606,63 Qx=x+h=1,35 x = 13/47 Py(0,00; 4644,62) 1,85 cm cm Qy(0,00; 7606,63) 0,66 5000 i0.5 i. -t-------------1-------------1-------------1-------------1- -i-------------1--------------1- -i-------------1-------------1-------------1-------------1-------------1-------------1- Px(0,69;0,00) Qx(1,08; 0,00)

Ricavo totale e utile netto Si definisce ricavo totale il prodotto della quantità venduta per il prezzo di vendita,ed è espresso dalla funzione R(x)=x . p(x). Nel caso di concorrenza perfetta p è costante. Il ricavo medio è uguale al rapporto fra il ricavo totale e la quantità venduta, e il ricavo marginale, se la funzione R(x) è derivabile, è dato dal rapporto tra la derivata del ricavo totale e la quantità prodotta. Si definisce utile netto la differenza tra il ricavo totale e il costo totale: U(x)=R(x)-C(x)

Calcolo del punto d’equilibrio tra costi e ricavi Break even point QUANTITA' RT=p*q CT=CF+CV*q COSTI FISSI RE=RT-CT LEGENDA 2748600 -2748600 P=148 € 10000 1480000 4048600 -2568600 CV= 130€ 23000 3404000 5738600 -2334600 CF= 2748600 36000 5328000 7428600 -2100600 49000 7252000 9118600 -1866600 62000 9176000 10808600 -1632600 75000 11100000 12498600 -1398600 88000 13024000 14188600 -1164600 101000 14948000 15878600 -930600 114000 16872000 17568600 -696600 127000 18796000 19258600 -462600 140000 20720000 20948600 -228600 153000 22644000 22638600 5400 166000 24568000 24328600 239400 179000 26492000 26018600 473400 192000 28416000 27708600 707400 205000 30340000 29398600 941400 218000 32264000 31088600 1175400 231000 34188000 32778600 1409400 244000 36112000 34468600 1643400 257000 38036000 36158600 1877400 270000 39960000 37848600 2111400 283000 41884000 39538600 2345400 296000 43808000 41228600 2579400 309000 45732000 42918600 2813400 322000 47656000 44608600 3047400

Rappresentazione del punto d’equilibrio tra costi e ricavi 70000000 60000000 50000000 40000000 30000000 20000000 10000000 0 RT=p*q CT=CF+CV*q COSTI FISSI QUANTITA'