Simon Salamon http://calvino.polito.it/~salamon UMI, Bari 24/09/07 STRUTTURE COMPLESSE e GEOMETRIA CONFORME Simon Salamon http://calvino.polito.it/~salamon TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAA

Geometria Hermitiana conformemente piatta Org oppure Geometria Hermitiana conformemente piatta TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAA

Geometria Hermitiana senza tantissimi tensori oppure Geometria Hermitiana senza tantissimi tensori TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAA

Il caso classico: dimensione 2 Strutture complesse ortogonali Il caso Euclideo: dimensione 4 Il caso Euclideo: dimensione 4 Teoremi di tipo Liouville Classificazione di quadriche

Il caso classico: dimensione 2 Strutture complesse ortogonali Il caso Euclideo: dimensione 4 Il caso Euclideo: dimensione 4 Teoremi di tipo Liouville Classificazione di quadriche

Superficie di Riemann Ogni superficie reale ammette una metrica Riemanniana indotta: Ogni superficie reale

Superficie di Riemann La scelta di un versore normale definisce una struttura complessa sullo spazio tangente: anche nel senso analitico…

diventa una varietà complessa e Coordinate isoterme Teorema Esistono coordinate per cui diventa una varietà complessa e una funzione olomorfa

Coordinate isoterme Esistono coordinate per cui Teorema Esistono coordinate per cui In dimensione (reale) 2, una struttura conforme orientata è equivalente ad una struttura complessa

Coordinate isoterme Esistono coordinate per cui Teorema Esistono coordinate per cui La curvatura Gaussiana è

La proiezione di Mercatore Se allora è la proiezione stereografica sul piano equatoriale

Il caso classico: dimensione 2 Strutture complesse ortogonali Il caso Euclideo: dimensione 4 Teoremi di tipo Liouville Classificazione di quadriche

Dimensioni superiori Sia una varietà orientata con una struttura conforme fissata Problema Trovare (anche su ) una struttura complessa ortogonale (SCO):

Scelte puntuali Data la scelta di determina un sottogruppo cioè un punto dello spazio è la varietà di spinori “puri”

Isomorfismi speciali

è lo spazio totale di un fibrato Spazi “twistor” è lo spazio totale di un fibrato su una sfera con fibra

Via un “ottavo” della curvatura è una SCO su Si annulla una componente, chiamata del tensore di Weyl . Inoltre per è conformemente piatta se ammette 8 SCO “indipendenti”

Via un “ottavo” della curvatura dim 4 determina le possibili SCO su Il tensore Ogni superficie di Del Pezzo ammette una struttura bi-Hermitiana dim 6 ? è conformemente piatta se ammette 8 SCO “indipendenti”

Il caso classico: dimensione 2 Strutture complesse ortogonali Il caso Euclideo: dimensione 4 Teoremi di tipo Liouville Classificazione di quadriche

Una struttura complessa ortogonale su Deformazioni è determinata da un’applicazione Una struttura complessa ortogonale su con il seguente sistema di integrabilità è una funzione olomorfa in

Tre soluzioni esplicite definita su tutto definita su definita su è una funzione olomorfa in

Tre soluzioni esplicite definita su tutto definita su definita su Problema Su quali altri domini esistono strutture complesse ortogonali (SCO)?

è una submersione Riemanniana. Il “grafico” di una SCO è una submersione Riemanniana. La geometria di è compatibile con lo splitting

è una submersione Riemanniana. Il “grafico” di una SCO Lemma Data una SCO su la sua immagine è una superficie complessa in . ha la forma dove è una SCO su Viceversa, ogni sezione complessa in è una submersione Riemanniana. La geometria di è compatibile con lo splitting

Le soluzioni precedenti Un piano contiene esattamente una fibra contiene per La quadrica

Il caso classico: dimensione 2 Strutture complesse ortogonali Il caso Euclideo in dimensione 4 Teoremi di tipo Liouville Classificazione di quadriche

Strutture “intere” I seguenti teoremi (di S.S. + J.Viaclovsky) caratterizzano le soluzioni di tipo Teorema 0 Sia una SCO definita su . Allora (cioè ) è costante

Se allora è conformemente costante (e si estende a ) Strutture “intere” Teorema 1 Sia una SCO su un aperto Se allora è conformemente costante (e si estende a ) Teorema 0 Sia una SCO definita su . Allora (cioè ) è costante

Se allora è conformemente costante (e si estende a ) Strutture “intere” Teorema 1 Sia una SCO su un aperto Se allora è conformemente costante (e si estende a ) Misura di Hausdorff

Eliminazione delle singolarità Il grafico di è un insieme analitico Shiffman 1968 Basato su Bishop 1964, generalizzazione di Remmert-Stein 1955 è analitico

Eliminazione delle singolarità Il grafico di è un insieme analitico Shiffman 1968 è analitico Chow, Mumford è algebrico, di deg 1

ammette una metrica Kähleriana completa conformemente piatta Quadriche “reali” Teorema 2 Sia una SCO su (che non estende a ). Il grafico di in è contenuto in una quadrica con dove agisce su ammette una metrica Kähleriana completa conformemente piatta

Il caso classico: dimensione 2 Strutture complesse ortogonali Il caso Euclideo in dimensione 4 Teoremi di tipo Liouville Classificazione di quadriche

Superfici quadriche in CP3 Si consideri una quadrica nondegenere è bi-olomorfa a

Il risultato dovrebbe dipendere da Il gruppo conforme Problema Trovare le orbite di sullo spazio delle quadriche Il risultato dovrebbe dipendere da parametri reali

Il gruppo conforme Trovare le orbite di sullo spazio delle quadriche Problema Trovare le orbite di sullo spazio delle quadriche Basta studiare l’azione del sottogruppo sullo spazio delle matrici reali 3x3 SVD Diagonalizzazione

Forma canonica Teorema 3 Qualsiasi quadrica nondegenere in è equivalente a quella associata a per qualche

Il luogo discriminante in S4 …è l’unione dove

2-tori in S4 Sia una quadrica nondegenere. Ci sono tre possibilità: Teorema 4 Sia una quadrica nondegenere. Ci sono tre possibilità: è una circonferenza in è un 2-toro liscio snodato è un 2-toro pinzato in

Il caso generico ha 2 componenti è un 2-toro liscio snodato un toro solido Esiste una SCO con dominio massimale COROLLARIO

Problemi aperti Caratterizzazione conforme dei 2-tori disciminanti in Studio di superfici cubiche e quartiche in contando rette “verticali” Un teorema di Liouville per basato sull’area

Bibliografia Apostolov-Gauduchon-Grantcharov, PLMS 1999 Atiyah-Hitchin-Singer, P Roy Soc Lond 1978 Bishop, Mich Math J 1964 Hitchin, arXiv:math/0608213 Pontecorvo, Diff Geom Appl 1992 Salamon-Viaclovsky, arXiv:0704.3422 Schoen-Yau, Invent Math 1988 Shiffman, Mich Math J 1968 Slupinski, J Geom Phys1996 Tricerri-Vanhecke, TAMS 1981

Bibliografia Apostolov-Gauduchon-Grantcharov, PLMS 1999 Atiyah-Hitchin-Singer, P Roy Soc Lond 1978 Bishop, Mich Math J 1964 Hitchin, arXiv:math/0608213 Pontecorvo, Diff Geom Appl 1992 Salamon-Viaclovsky, arXiv:0704.3422 Schoen-Yau, Invent Math 1988 Shiffman, Mich Math J 1968 Slupinski, J Geom Phys 1996 Tricerri-Vanhecke, TAMS 1981