IPERTESTO: I SISTEMI LINEARI I.T.C. “G.ARCOLEO”- GRAMMICHELE A.S. 2005/06 - CLASSE II A ALUNNI: S.Lonigro, S.Centorbi, F.Giarrusso, S.LaTerra, A. Tornello, G. Tornello Insegnante: Agata Ticli

I SISTEMI LINEARI

I SISTEMI LINEARI Si definisce un sistema lineare l’intersezione di due o più equazioni di primo grado. Simbolo di sistema Risolvere un sistema significa determinare l’insieme delle sue soluzioni. Si dice che un sistema è: IMPOSSIBILE se non ha soluzioni Ø; DETERMINATO se ha un numero finito di soluzioni; INDETERMINATO se ha un numero infinito di soluzioni ∞.

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA SULL’ASSE CARTESIANO P=r∩s r=s Ø Sistema Determinato (rette incidenti) Indeterminato (rette coincidenti) Impossibile (rette parallele) y y y r s r s r P x x x s

METODO DI SOSTITUZIONE Per risolvere un sistema di due o più equazioni lineari si devono seguire i seguenti passi: Si riduce il sistema a forma tipica; Si risolve una delle due equazioni rispetto ad una delle incognite, per esempio la “x” e si scrive Si sostituisce nell’altra equazione, l’espressione –by+c al posto della “x”; a Si sostituisce la soluzione trovata nella seconda equazione al posto della “y” nella prima equazione;

Esempio del metodo di sostituzione Riduzione in forma tipica; Risolvere rispetto ad una delle incognite e sostituire nell’altra equazione la soluzione trovata (-2y+4); Infine, sostituire l’ultima soluzione nell’altra equazione. Soluzione: (-2, 3)

RISOLUZIONE GRAFICA Soluzione (-2, 3) y r 6 3 -4 -2 4 x s 2 r x y 6 -4 6 -4 s x y 2 4 y r 6 3 2 -4 -2 4 x s

METODO DEL CONFRONTO Si deve scegliere la stessa incognita sia nella prima che nella seconda equazione; Uguagliare le due espressioni al secondo membro; Risolvere l’equazione che si presenta con una sola incognita; Si ripete la stessa procedura scegliendo l’altra incognita in entrambe le equazioni e si risolve come il primo passaggio.

Esempio del metodo del confronto Scegliere la stessa incognita; Uguagliare le due espressioni e risolvere l’equazione con una sola incognita; Ripetere la stessa procedura scegliendo l’altra incognita. Soluzione (-6, -5)

Procedura più veloce del metodo del confronto Ridurre in forma tipica; Scegliere la stessa incognita sia nella prima che nella seconda equazione; Uguagliare le due espressioni; Risolvere l’equazione che ci si presenta con una sola incognita; Sostituire la soluzione trovata al posto dell’altra incognita.

RISOLUZIONE GRAFICA r x y -15 -9 s x y -10 -12

METODO DI RIDUZIONE O ELIMINAZIONE Consiste nell’addizionare o sottrarre membro a membro le equazioni del sistema. Se i coefficienti dell’incognita da eliminare sono uguali si sottraggono membro a membro le due equazioni; Se tali coefficienti sono opposti si sommano membro a membro le due equazioni.

RISOLUZIONE GRAFICA r x y 3/2 3/5 s x y -8 8/5

Secondo esempio del metodo di eliminazione Se i coefficienti dell’incognita non sono né uguali né opposti si moltiplica un’equazione per un numero in modo che i coefficienti da eliminare divengano uguali o opposti.

RISOLUZIONE GRAFICA r x y -4 2 s x y 3 9

METODO DI CRAMER Per prima cosa si deve costruire una matrice: entità matematica costituita da un insieme di numeri, disposti ordinatamente secondo righe e colonne. Poi si deve trovare il determinante: si moltiplicano i termini della diagonale principale e si sottrae il prodotto dei termini della diagonale secondaria. Successivamente cerchiamo il determinante dell’incognita X e Y Infine il valore di ciascuna incognita è uguale a una frazione avente al numeratore il determinante di quell’incognita e al denominatore il determinante del sistema.

Esempio del metodo di Cramer Ridurre in forma tipica; Creare una Matrice; Trovare il determinante del sistema e i determinanti dell’incognite; Il valore di ciascuna incognita è uguale a una frazione avente al numeratore il determinante di quell’incognita e al denominatore il determinante del sistema.

RISOLUZIONE GRAFICA r x y 2 4/3 s x y -1/4 1/3

SISTEMA INDETERMINATO r =s x y -5 10/3 Sistema Indeterminato

SISTEMA IMPOSSIBILE Sistema Impossibile

RISOLUZIONE GRAFICA (Sistema impossibile) x y -5/6 5/8 r x y 4 -3

Lonigro Simona Tornello Giusy Tornello Antonino Giarrusso Francesca Realizzato da: Lonigro Simona Tornello Giusy Tornello Antonino Giarrusso Francesca La Terra Santino Centorbi Silvana A.S. 2005/2006 I.T.C. “G. Arcoleo” Grazie!!!