Elettrostatica 6 30 maggio 2011 Capacità elettrica Condensatore piano Condensatore cilindrico Costante dielettrica Cariche indotte nel dielettrico Energia elettrostatica Composizione di capacità

Capacità elettrica Si puo` definire per un numero arbitrario di conduttori Noi ci limiteremo a due conduttori caricati con cariche uguali e opposte La capacita` e` il rapporto tra la carica (in valor assoluto) presente su ciascun conduttore e la differenza di potenziale (pure in valor assoluto) tra i conduttori Ha le dimensioni di carica diviso ddp La sua unità è il coulomb diviso volt, cioè il farad

Condensatore piano Data una carica Q, per trovare C si determina preventivamente il campo E e da questo si trova il potenziale V Per il condensatore piano si usa anche il principio di sovrapposizione per i campi generati dalla carica +Q sul primo piatto e –Q sul secondo Poiché le densità di carica sui due piatti sono uguali in modulo, otteniamo infine

Condensatore piano Cioè il campo E è costante tra le due piastre La ddp tra i due piatti è E la capacità è - + E dl

Condensatore cilindrico Applichiamo la legge di Gauss ad una superficie cilindrica di raggio r e lunghezza L, coassiale al conduttore interno Da cui ricaviamo il campo - + E dl

Condensatore cilindrico La ddp è E la capacità è

Campo elettrico nella materia Se i conduttori non sono nel vuoto, ma immersi in un dielettrico, l’unico cambiamento macroscopico nel campo è una diminuzione di intensità per una costante er (maggiore di 1) che dipende dalla natura del dielettrico Ne segue che anche la ddp diminuisce dello stesso fattore Mentre la capacità aumenta dello stesso fattore

Campo elettrico nella materia La carica libera sulle piastre del condensatore polarizza il dielettrico, che si carica superficialmente con cariche legate La carica libera produce il campo La carica legata produce il campo Il campo del dielettrico diminuisce il campo delle piastre del condensatore Si ottiene così il campo risultante

Campo elettrico nella materia Poiché sappiamo che il campo totale vale Possiamo trovare il campo dovuto alla carica legata Dato che campo e densità superficiali sono proporzionali, otteniamo anche

Costante dielettrica er prende il nome di costante dielettrica relativa, è adimensionale Il prodotto e =e0 er prende il nome di costante dielettrica del materiale Per studiare i fenomeni elettrici nei materiali dielettrici si introduce, accanto a E, il campo D Ove si e` evidenziato che er puo` dipendere dal punto considerato nel dielettrico

Energia elettrostatica Sia data una distribuzione di carica q che genera un potenziale V. Un aumento di carica dq comporta un aumento di energia potenziale elettrica dU pari a L’energia totale accumulata partendo da carica iniziale nulla a carica finale Q è Espressioni alternative

Energia elettrostatica Nel processo di carica di un condensatore, viene generato un campo E tra le armature Il lavoro speso per caricare il condensatore può considerarsi come il lavoro necessario per generare il campo E Condensatore piano di area A, distanza d e con dielettrico Sostituendo nell’espressione dell’energia elettrica

Energia elettrostatica La quantità Ad è il volume V compreso tra le piastre Definiamo la densità di energia elettrostatica dividendo l’energia per il volume Nel caso generale la densita` di energia puo` cambiare da punto a punto e quindi dev’essere espressa in termini differenziali Inversamente l’energia si trova integrando la densita` nello spazio

Energia elettrostatica Si puo` estendere la relazione al caso generale, di cui non diamo la dimostrazione, nella forma

Composizione di capacità Composizione in parallelo. 1 e 2 hanno la stessa caduta di potenziale ai loro capi. Su 1 c’è la carica Q1 e su 2 la carica Q2 Vogliamo trovare un singolo condensatore di capacità C che a parità di ddp V accumuli la stessa carica totale Q=Q1+Q2 La capacità del condensatore equivalente è quindi la somma delle capacità dei condensatori 1 e 2

Composizione di capacità Composizione in serie. La ddp ai capi di 1 è V1 e ai capi di 2 è V2. Su 1 si accumula la carica Q1 e su 2 la carica Q2 Poiché tra i due condensatori la carica inizialmente è nulla, per la conservazione della carica avremo che Q1 è uguale a Q2 Vogliamo trovare un singolo condensatore di capacità C che su una ddp pari alla somma delle cadute su 1 e 2, accumuli la stessa carica Q L’inverso della capacità del condensatore equivalente è quindi la somma degli inversi delle capacità dei condensatori 1 e 2

Rigidita` dielettrica E` il massimo campo elettrico sostenibile dal dielettrico, prima che avvenga una scarica distruttiva Normalmente sui condensatori si riporta pero` la differenza di potenziale massima sostenibile