EFFETTO FIONDA

DEFINIZIONE DIMOSTRAZIONE CON CALCOLI CASI PARTICOLARI APPLICAZIONI PRATICHE

Definizione L'effetto fionda consiste nello sfruttare la spinta gravitazionale di un pianeta in orbita intorno al Sole. Quando una sonda si avvicina a una pianeta, acquista una velocità aggiuntiva grazie al fatto che il pianeta sta orbitando intorno al Sole. Il pianeta la trascina verso di sé durante la sua orbita, infliggendo alla sonda una spinta, proprio come accade al sasso lanciato da una fionda accelerata in avanti dal movimento della mano. La "fionda gravitazionale" o "biliardo interplanetario" è un modo furbo di pianificare l'orbita di un veicolo spaziale in modo da rendere minimo il consumo di carburante. Per attuare questa "fiondata" occorre lanciare la sonda verso la parte del pianeta che sta indietro rispetto al suo moto orbitale. L'incremento di velocità dipende dalla geometria dell'incontro, dalla massa del pianeta e naturalmente dalla velocità iniziale della sonda. Il veicolo aumenta la propria velocità a spese di quella del pianeta, ma questo scambio avviene in ragione inversa delle masse, per cui, dato che la massa del veicolo è enormemente inferiore a quella del pianeta, quest'ultimo rallenta in modo impercettibile.

Per capire meglio il fenomeno, analizziamolo in due sistemi di riferimento distinti. Nel sistema di riferimento del pianeta, la sonda si avvicina con una velocità v, percorre una traiettoria curva intorno ad esso per effetto della gravità, e si allontana con la stessa velocità v ma la direzione è variata di un angolo a. Dunque in questo sistema di riferimento la sonda non acquista maggiore velocità. Nel sistema di riferimento del Sole, invece, il pianeta è in moto e dunque alla velocità di avvicinamento della sonda va sommata vettorialmente la velocità del pianeta, sia prima che dopo l'incontro. In avvicinamento le due velocità sono discordi, in allontanamento invece la velocità del pianeta si somma a quella della sonda e dunque l'effetto netto è una accelerazione, a volte imponente,del veicolo spaziale.

Dimostrazione attraverso i calcoli Si suppone che la sonda spaziale abbia massa m e velocità iniziale u e che, dopo aver girato attorno al pianeta Venere per 180°, inverta il suo moto e torni indietro, con velocità w, lungo la stessa direzione iniziale. Si suppone poi che Venere vada incontro alla sonda con una velocità iniziale v e che z sia la sua velocità finale e M la sua massa.

Il fenomeno è equivalente ad un urto elastico unidimensionale. Se conosciamo le velocità u della sonda e v di Venere, è possibile trovare le loro velocità finali w e z . Per ricavare w e z occorre risolvere un sistema di due equazioni nelle due incognite. Queste due equazioni sono fornite da due principi fondamentali della fisica: il principio di conservazione della quantità di moto e quello della conservazione dell’energia. Applicando questi principi, nel nostro caso, si devono impostare le equazioni: E poichè si è supposto che il moto si svolga lungo una sola direzione, occorre risolvere il sistema:

Da cui: Dividendo la seconda equazione per la prima si ottiene il sistema: Dalla prima segue: E perciò:

Dalla seconda equazione si ricava w: Sostituendo w nella prima equazione si ricava z ( inoltre, essendo M >> m, conviene dividere il numeratore e il denominatore delle due ultime equazioni per M. );si ottengono così le soluzioni approssimate:

In definitiva, dopo l’incontro tra la sonda e Venere, quest’ultima ha conservato la sua velocità, mentre la sonda ha incrementato la propria del doppio di quella di Venere. Infatti, la velocità finale della sonda risulta: w = u + 2 v La sonda ha dunque aumentato la propria energia cinetica.

APPROFONDIMENTO TRIGONOMETRICO APPROFONDIMENTO TRIGONIOMETRICO La trattazione completa dell’effetto fionda è assai complessa per il fatto che la sonda non viaggia lungo la stessa direzione del pianeta col quale interagisce. L’effetto è riconducibile ad un urto elastico obliquo tra due masse di cui si conosce l’angolo iniziale tra le direzioni delle loro velocità. Con l’aiuto della trigonometria, si perviene alla velocità finale della sonda e alla deviazione del suo moto per effetto del pianeta.

Dal seguente sistema:

La velocità finale della sonda risulta: dove  è l’angolo tra le direzioni del moto della sonda e del pianeta prima dell’urto. L’angolo ß, formato tra le direzioni di moto dopo l’urto, è espresso dalla relazione: Per l’azione del pianeta la sonda ha subito una deviazione pari a: Con a =180°, ritroviamo la relazione:

Casi particolari Parete Fissa ( Sponda di biliardo ) Corpo Fisso Masse Uguali Masse Uguali con corpo inizialmente fermo

Parete Fissa (Sponda di Biliardo) E’ il caso: con M >> m. Quindi si ottiene: ovvero, il corpo mobile rimbalza con la stessa velocità in valore assoluto; la parete, solidale con il suolo, acquisisce una quantità di moto uguale alla variazione di quella del corpo incidente, ma la massa elevata impedisce variazioni apprezzabili della sua velocità.

Corpo Fermo In questo caso u = 0 , perciò se un corpo di massa m , inizialmente fermo, viene urtato da un corpo di massa M molto maggiore ( M >> m ), si ottiene: quindi il corpo di massa piccola (m), acquista una velocità doppia di quello di massa grande (M), che invece prosegue la sua corsa senza apprezzabili variazioni di velocità.

Masse Uguali E’ il caso con M = m . Si ottiene: quindi, dopo l’urto i due corpi si scambiano le velocità.

Masse Uguali con un corpo inizialmente fermo In questo caso abbiamo M = m e v = 0. Si ottiene: quindi, dopo l’impatto, il corpo inizialmente in movimento si ferma, mentre l’altro acquista la velocità iniziale del primo.

Applicazioni Pratiche La fionda planetaria Che cosa c'è in comune con le manovre "a fionda" dei veicoli spaziali? Precedentemente era stato mostrato che, quando una pallina da ping pong con velocità u = –20 km/h (positiva da sinistra verso destra, e negativa da destra verso sinistra) colpisce frontalmente la racchetta che viaggia a una velocità v = +20 km/h, la pallina rimbalza con una velocità vfinale = –u + 2v = +20 + 40 = 60 km/h E' possibile dimostrare che la stessa espressione vale sempre in quegli incontri in cui u e v giacciono sulla stessa linea (a parte il loro verso), vfinale = –u + 2v Consideriamo ora quattro situazioni: La pallina si muove da sinistra a destra e la racchetta si muove in verso opposto. In tal caso (–u) e v sono entrambe positive, per cui il valore assoluto di vfinale è sempre maggiore della velocità iniziale (–u). L'energia finale è aumentata. Efinale = (m/2) (vfinale)2

La racchetta non si muove affatto. Allora v=0 e vfinale = –u La velocità finale ha lo stesso valore assoluto di quella iniziale, soltanto il verso è scambiato. L'energia non è variata. Sia la pallina che la racchetta si muovono nello stesso verso, da sinistra verso destra, e la pallina sorpassa la racchetta, quindi in questo caso sia u che v sono negative. La velocità finale vfinale = –u + 2v è la somma di un numero positivo (-u) e di un numero negativo (2v). Il suo valore assoluto è quindi minore del valore assoluto (-u) della velocità iniziale: la pallina, dopo l'urto, si muoverà più lentamente. La sua energia è diminuita. In particolare, se v = u/2, un numero negativo (p. es. v = –10 km/h nell'esempio riportato), allora vfinale = 0 e la pallina esce dall'urto privata della sua velocità.

Un incontro tra un pianeta in movimento e un veicolo spaziale avviene in modo molto simile. Incontri frontali aumentano l'energia, mentre incontri in cui avviene un sorpasso la fanno diminuire. In un incontro in cui il pianeta e il veicolo spaziale si muovono in direzioni differenti, l'energia può aumentare o diminuire, a seconda delle condizioni, e inoltre varia la direzione del moto. Talvolta quello che si desidera è proprio diminuire l'energia. Supponiamo che una sonda scientifica sia stata inviata verso il Sole. Un veicolo spaziale che sia sfuggito alla gravità terrestre continuerà comunque a orbitare attorno al Sole a una velocità di circa 30 km/sec, e per uscire dal Sistema Solare ha bisogno di una ulteriore spinta di circa 12 km/sec. Raggiungere il Sole è invece molto più difficile: la sonda ha bisogno (almeno) di perdere tutta la sua velocità orbitale, e questo richiede una spinta di circa 30 km/sec in direzione opposta a quella in cui si sta muovendo. Perduta questa velocità, il veicolo inizierà la sua caduta libera verso il Sole. Per la Sonda Solare della NASA, destinata ad avvicinarsi al Sole entro 4 raggi solari (circa il 2% della distanza Terra-Sole), vi sono esigenze simili. Per quanto riguarda la potenza del razzo, il modo più economico per realizzare tale missione (anche se non il più rapido) potrebbe essere quello di inviare la sonda verso Giove, 5 volte più distante del Sole. Facendo compiere poi al veicolo un giro stretto intorno al pianeta e sorpassandolo, praticamente tutta la sua velocità orbitale intorno al Sole sarebbe perduta, e potrebbe così iniziare la sua caduta libera verso il Sole