Lezione 6 Perdita di energia Abbiamo introdotto la perdita di energia per collisioni, che avviene tramite scattering coulombiani sugli elettroni del materiale.  Questo è alla base di molti apparati usati per rivelare particelle cariche. Andremo ora un po’ più in dettaglio: dE/dx Range Risalita relativistica (bmin/bmax) e saturazione Fluttuazioni della perdita di energia Energia critica Rivelatori di Particelle

Lezione 6 Perdita di energia Per una singola collisione a parametro d’impatto b: La perdita di energia non dipende dalla massa della particella incidente Dipende dalla carica e dalla velocità della particella incidente Dipende dall’inverso della massa del bersaglio  favorito il trasferimento di energia agli elettroni atomici Va come 1/b2  grandi De per piccoli b2 Indichiamo con De il trasferimento di energia per un singolo urto e con DE la perdita di energia totale. Rivelatori di Particelle

Lezione 6 Perdita di energia Una particella veloce che attraversa la materia vede elettroni a varie distanze dal suo percorso. Se abbiamo N atomi per unità di volume con Z elettroni per atomo, il numero di elettroni dn che si hanno fra b e b+db in uno spessore dx di materia sarà: se vogliamo la perdita di energia dE/dx dovremo integrare su tutti i possibili parametri d’impatto, ovvero: Nell’ipotesi che ho un parametro d’impatto minimo e massimo. Rivelatori di Particelle

Lezione 6 Perdita di energia Introducendo il numero di Avogadro N0: Osserviamo che la perdita di energia dipende solo dalla carica (z2) e dalla velocità 1/v2 del proiettile, non dalla sua massa M. Vediamo ora di ricavare i valori minimo e massimo del parametro d’impatto b. Rivelatori di Particelle

Lezione 6 Perdita di energia bmin >0 in quanto DEmax non può divergere. Per collisioni frontali ho parametro d’impatto minimo e massimo di energia trasferita: DEmax=Tmax=2(b2g2)mc2 ma: z e Rivelatori di Particelle

Lezione 6 Perdita di energia Per ricavare bmaxosserviamo che l’elettrone è in realtà legato ad un atomo  per poterlo considerare libero il tempo di collisione deve essere minore del tempo di rivoluzione, ma tcoll~b/vg dove con w si intende la frequenza di rivoluzione dell’elettrone. Rivelatori di Particelle

Lezione 6 Perdita di energia Osserviamo: Un trattamento, sempre classico, ma più corretto (Bohr) considera gli elettroni come degli oscillatori armonici  bmax. Il risultato è comunque praticamente lo stesso: Il termine di Bohr (-b2/2) è una piccola correzione; I = energia media di eccitazione della targhetta. Questa formula ottenuta classicamente è valida per particelle incidenti pesanti (a o nuclei), per particelle più leggere dobbiamo usare una trattazione quantistica. Rivelatori di Particelle

Lezione 6 Perdita di energia La formula di dE/dx ricavata classicamente è comunque perfettamente adeguata per alcune osservazioni: Picco di Bragg: la maggioranza della perdita di energia si ha verso la fine del percorso dove la velocità della particella è più piccola  cura del cancro. x dE/dx Rivelatori di Particelle

Lezione 6 Perdita di energia Range: le particelle perdono energia e poi si fermano Dato un fascio monocromatico la profondità alla quale le particelle iniziali sono ridotte alla metà si chiama range medio. Il range rappresenta la distanza attraversata dalla particella ed è diversa dallo spessore attraversato a causa dello scattering multiplo. È misurato in g/cm2 o in cm. (vedi http://pdg.lbl.gov) Rivelatori di Particelle

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Lezione 6 Perdita di energia Legge di scala (Range). Supponiamo di conoscere il range di 1 protone come f(E/M)  il range di una particella a con energia Ea è : Le relazioni range energia sono spesso espresse R(E)=(E/Eo)n. e.g. il range in metri di protoni di bassa energia nell’aria puo’ essere approssimato con n=1.8 e Eo=9.3 MeV. Rivelatori di Particelle

Lezione 6 Perdita di energia Cenni sulla trattazione quantistica di dE/dx. Abbiamo trascurato: Gli scambi di energia sono discreti  modifica di bmax. Il risultato classico di scambi di energia possibili su un continuo è sbagliato, ma, in media, viene praticamente corretto. Natura ondulatoria delle particelle e principio d’indeterminazione  modifica di bmin. L’analogo quantistico di bmin è bmin~ħ/p. Bethe ricavò: Dove Tmax è la massima energia incidente trasferibile in una singola collisione ed I il potenziale di ionizzazione medio. Rivelatori di Particelle

Lezione 6 Perdita di energia Osserviamo che dE/dx: Dipende dalla carica della particella incidente (z2). (interazione Coulombiana). Per b crescente decresce come 1/b2 raggiungendo un minimo per bg ~3÷4 e poi risale in quanto log(b2g2) domina. (risalita relativistica). Dipende dal potenziale di ionizzazione medio del materiale. ( I dipende da Z, per Z≥20 I/Z~10 eV. (Per una lista delle proprietà elettromagnetiche degli elementi vedi Fernow pag. 39 e figura prossima diapositiva) Rivelatori di Particelle

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Lezione 6 Perdita di energia Effetto densità. La salita relativistica satura crescendo g  plateau di Fermi. In materiali densi la polarizzazione del dielettrico del materiale altera i campi della particella incidente dai valori nello spazio vuoto a quelli caratteristici di campi macroscopici in un dielettrico. La polarizzazione del mezzo agisce da schermo e modifica il massimo parametro d’impatto. Questo fenomeno è chiamato effetto densità in quanto dipende dalla densità del mezzo. Più denso è il mezzo tanto prima si raggiunge il plateau di Fermi  la salita relativistica è più importante nei gas che nei liquidi e nei solidi. La formula di Bethe Block diventa: E funziona fino al % per particelle fino al nucleo di a per b 0.1  1.0. Per basse velocità (b~0.05) non è più valida in quanto non sono più valide molte delle assunzioni di Bethe Block. Rivelatori di Particelle

Lezione 6 Perdita di energia dE/dx per composti e miscugli. Una buona approssimazione della perdita di energia per composti e miscugli è data dalla regola di Bragg (vedi range) Dove w1 , w2 …. Sono le frazioni in peso 1, 2 ….del composto: Possiamo definire dei valori efficaci come segue: E riscrivere la dE/dx in termini dei valori efficaci. Rivelatori di Particelle

Lezione 6 Perdita di energia Particelle della stessa velocità hanno praticamente la stessa dE/dx in materiali diversi, se escludiamo l’idrogeno. È presente una piccola diminuzione della perdita di energia all’aumentare di Z. In pratica, la maggioranza delle particelle relativistiche hanno una perdita di energia simile a quella del minimo MIP (minimum ionizing particle). La perdita di energia è normalmente espressa in termini della densità di area dS=rdx e le particelle ionizzanti al minimo perdono in media 1.94 MeV/(gr/cm2) in He, 1.08 in Uranio e ~4 MeV/(gr/cm2) in H2. Rivelatori di Particelle

Lezione 6 Perdita di energia Fluttuazioni della perdita di energia. Ricordiamo che la perdita di energia dE/dx (Bethe Block) è un valore medio. La reale perdita di energia per una particella che attraversa del materiale fluttua a causa della natura statistica delle sue interazioni con i singoli atomi del materiale. Rivelatori di Particelle

Lezione 6 Perdita di energia Gli apparati sperimentali (granularità limitata) non misurano <dE/dx>, ma l’energia DE depositata in uno strato di spessore finito dx. DE è il risultato di un certo numero i di collisioni con trasferimenti di energia Ei e sezioni d’urto ds/dE. ds/dW~1/W2  tendo a trasferire piccole quantità di energia Gli eventi in cui ho una grossa perdita di energia sono associati alla produzione di e di rinculo ad alta energia ( d rays )  la distribuzione della perdita di energia è tendenzialmente asimmetrica con una coda verso le alte energie. Rivelatori di Particelle

Lezione 6 Perdita di energia Fluttuazioni della perdita di energia…. Assorbitori spessi  teorema del limite centrale  distribuzione Gaussiana Assorbitori sottili  Landau se molto sottili, Vavilov se poco sottili. Straggling functions in silicon for 500 MeV pions, normalized to unity at the most probable value Dp/x. The width w is the FWHM. Bibliografia Fernow (Introduction to experimental particle physics) http://pdg.lbl.gov Rivelatori di Particelle

Lezione 6 Fluttuazioni di dE/dx Assorbitori spessi: limite gaussiano. Per assorbitori relativamente spessi la distribuzione della perdita di energia è gaussiana. Ciò deriva direttamente dal teorema del limite centrale: la somma di N variabili casuali, ciascuna che segue la stessa distribuzione statistica diventa distribuita gaussianamente nel limite di N∞. Se consideriamo come variabile casuale la dE, cioè l’energia persa in una collisione singola ed assumiamo che in ogni collisione la velocità b del proiettile non è cambiata (in maniera apprezzabile) in modo che s(p) è costante  l’energia totale persa è la somma di tutte le dE, tutte con la stessa distribuzione. Rivelatori di Particelle

Lezione 6 Assorbitori spessi Se il materiale è spesso (ma non troppo) o denso  N è grande quindi vale il teorema del limite centrale e la perdita totale di energia W è distribuita secondo una gaussiana Essendo x lo spessore del materiale, W la perdita di energia nell’assorbitore, la perdita di energia media, e s la deviazione standard. Rivelatori di Particelle

Lezione 6 Assorbitori spessi Bohr ha calcolato la deviazione standard s0 per particelle non relativistiche: Dove N è il numero di Avogadro, r la densità, A il peso atomico e Z il numero atomico del materiale. Estesa a particelle relativistiche diventa: Attenzione: Abbiamo assunto che la perdita di energia W è piccola rispetto ad E (energia iniziale) in modo che la velocità del proiettile non cambia  se il materiale è molto spesso questo non è più vero e quanto detto sopra non vale. Rivelatori di Particelle

Lezione 6 Assorbitori sottili Nel caso di assorbitori sottili (o poco densi) N non è così grande da far valere il teorema del limite centrale. Il calcolo diventa estremamente complicato a causa di trasferimenti di grosse quantità di energia (raggi delta) in una singola collisione  avrò una distribuzione di perdite di energia con una coda verso le alte energie, cioè asimmetrica. Rivelatori di Particelle

Lezione 6 Assorbitori sottili La probabilità che una particella incidente di energia E perda energia compresa fra W e W+dW attraversando un dx infinitesimo è: Dove na=N0r/A= numero di atomi per unità di volume, ds/dW= sezione d’urto differenziale per la particella incidente di perdere energia W in una singola collisione con un atomo. La probabilità totale di una collisione di perdere qualunque W nell’infinitesimo dx sarà: q si chiama rate di ionizzazione primaria. Rivelatori di Particelle

Lezione 6 Assorbitori sottili Semplice se dx è infinitesimo, ma complicato per dx finito. Consideriamo un fascio di N particelle di energia E. Sia (W,x) la probabilità che una particella perda un’energia fra W e W+dW dopo avere attraversato uno spessore x. La forma di  può essere determinata considerando come varia quando le particelle attraversano un ulteriore spessore dx. Il numero di particelle con perdita di energia fra W e W+dW cresce perché qualcuna che ad x aveva perso meno energia di W colliderà e perderà un’energia fra W e W+dW in dx. Il numero di particelle con perdita fra W e W+dW diminuisce perché alcune particelle che avevano già perso l’energia giusta prima del tratto dx ne perderanno ancora e quindi ne perdono di più di W+dW. Rivelatori di Particelle

Lezione 6 Assorbitori sottili Se assumiamo che le collisioni che avvengono successivamente sono statisticamente indipendenti, che il mezzo assorbitore è omogeneo e che la perdita totale di energia è piccola rispetto all’energia della particella incidente: Cioè: Equazione integro-differenziale molto difficile da risolvere. Le differenze nelle soluzioni derivano essenzialmente dalle assunzioni fatte sulla probabilità F(W) cioè dal trasferimento di energia per collisione singola. Ciascuno dei calcoli teorici ha un suo limite di validità ed una particolare zona di applicabilità a seconda del valore di un parametro k=/Emax ( rappresenta l’energia al di sopra della quale avrò almeno un raggio delta =rkz2(Z/A)(1/b2)x essendo x lo spessore attraversato). Rivelatori di Particelle

Lezione 6 Assorbitori sottili Teoria di Landau Valida per /Emax<0.01 Assunzioni: Perdita di energia piccola rispetto al massimo possibile in una singola collisione (/Emax piccolo) Perdita di energia grande se paragonata all’energia di legame degli elettroni (elettrone libero). Si trascurano quindi le piccole perdite di energia dovute alle collisioni lontane. Rivelatori di Particelle

Lezione 6 Teoria di Landau Con queste assunzioni c può essere fattorizzata come segue: e’ è il taglio sulla minima energia persa. Rivelatori di Particelle

Lezione 6 Teoria di Landau La funzione universale fL(l) può essere espressa come segue: Valutando fL(l) si ottiene per il valore più probabile per la perdita di energia: d= correzione per effetto densità e FWHM=4.02x Rivelatori di Particelle

Lezione 6 Assorbitori sottili Teoria di Vavilov Valida per 0.01<k<1. Caratterizzata da code un po’ meno asimmetriche. Osserviamo: Anche se il limite gaussiano si ha per k≥10 già per k≥1 la distribuzione assomiglia ad una gaussiana. Vavilov  landau per k  0 ed ad una gaussiana per k  ∞. Rivelatori di Particelle