STRUTTURA DI
Argomenti della lezione Prodotto scalare in Rn Distanza in Rn Topologia di Rn
Vettori di Rn
Vettore colonna X1 X2 X3 • Xn X =
Vettore riga XT = (X1, X2, X3, • Xn) XTT = X •
Prodotto scalare in uno spazio vettoriale V sul corpo R
è un’applicazione bilineare Un prodotto scalare è un’applicazione bilineare simmetrica definita positiva su V x V a valori in R
soddisfa le seguenti proprietà s: V x V R soddisfa le seguenti proprietà Simmetria Omogeneità Additività Positività
soddisfa le seguenti proprietà s: V x V R soddisfa le seguenti proprietà (S1) x, y V s(x, y) = s(y, x) A Î simmetria (S2) x, y V a A Î R s(ax, y) = a • s(x, y) omogeneità
Þ Î Î s: V x V R (S3) x, y, z V s (x + z, y) = A s (x, y) + s (z, y) additività s (x,x) > 0 e s (x,x) (S4) x A Î V = 0 x = 0 Þ positività
Il prodotto scalare su V si indica solitamente con le notazioni s(x, y) = x, y = (x, y) = x y • In Rn si ha pure la notazione x,y = x y = xT y = Si=1 xiyi • n nella quale si fa riferimento al prodotto righe per colonne delle matrici
S n i = 1 xi yi xTy = (x1 x2 x3 xn) • y1 y2 y3 yn =
Disuguaglianza di Buniakovski Cauchy Schwarz
Indicheremo con x o con x la norma o modulo del vettore x Î V (x Î Rn) In particolare, in Rn |x| = xi 2 _______
CASO DI R2 o R3
u v= u v cos q • u v q u v < u v •
Distanza in Rn
Proprietà della distanza (D1) (simmetria) (D2) (positività) (D3) (disuguaglianza triangolare)
Sfere e intervalli in R2. In generale, in Rn . s x0 x02 x0 = (x01, x02)T x01
Sfere e intervalli in R2. In generale, in Rn . b2 a2 a1 b1
Topologia di Rn
Punti distinti di R2 (Rn) hanno intorni disgiunti x . y
è punto interno è punto esterno è punto di frontiera per W
per W è punto interno esterno di frontiera